专题 二次函数的应用（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 二次函数的应用 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1. 利润最值问题 2025年连云港：15题考查了动态抛物落地问题 2025年南通：24题考查了面积问题 2025年徐州：26题考查了图形运动问题 2025年四川：23题考查了表格类型问题 中档—压轴解答题（9–12 分），第 22–25 题，利润、面积、抛射、拱桥 / 隧道、分段 + 参数约束五大方向必考。 2. 图形面积问题 3. 动态抛物落地模型 4.分段二次函数综合 5.图形运动问题 6.新定义/表格/图象类型 题型1 利润最值问题 1.利润相关基础公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2.销量与售价的联动关系 题干常给出：每涨价/降价1元，销量减少/增加件，据此可列销量的一次函数表达式。 例：设商品原价为元，进价为元，原销量为件；若涨价元，则单件售价为元，单件利润为元，销量为件；若降价元，则单件售价为元，销量为件。 3.二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 解题步骤 1.审题设元 （1）明确已知量：进价、原售价、原销量、销量随售价的变化规律（如每涨1元销量减5件）。 （2）设自变量：若涨价，设涨价元（）；若降价，设降价元（）；也可直接设新售价为元。 （3）设因变量：设总利润为元。 2.列销量与单件利润的表达式 （1）单件利润 = 新售价 进价（需用含的式子表示） （2）销量 = 原销量 变化量（涨价取“”，降价取“”，变化量=） 3.构建总利润的二次函数解析式 （1）代入公式： 单件利润 销量 （2）化简整理：将解析式化为一般式 （） 4.确定自变量的取值范围 根实际意义列不等式组，核心约束条件： （1）单件售价 进价 新售价 进价 （2）销量 5.求最值并检验作答 （1）计算顶点横坐标： （2）判断是否在取值范围内： ① 若在范围内：将代入解析式，，此时对应的售价为； ② 若不在范围内：根据二次函数的增减性（时，开口向下，自变量离越近，值越大），取取值范围的端点值计算最大利润； （3）检验结果的实际合理性，规范书写答案（带单位）。 【例1】（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【变式1-1】（2026·广西南宁·一模）某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； (2)超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【变式1-2】（2025·湖北十堰·二模）利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示． 任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 题型2图形面积最值 解题步骤 1.设元设关键边长为 x（尽量设短边 / 底边，好计算）。 2.用约束关系，把另一边用含 x 表示（关键：总长度、周长、围栏总长为定值，推另一边） 3.列面积公式S=长×宽，整理成标准二次函数：S=ax2+bx+c 4.定自变量取值范围（必写！扣分重灾区）边长＞0，列出不等式，锁定 x 的实际区间 5.求最值开口向下→顶点取最大值；顶点超区间→取两端比较大小 必考模型 模型 1：围栏围矩形（靠墙 / 不靠墙） 靠墙只算三边总长，快速表示宽和长，直接套面积配方求最大面积。 模型 2：抛物线内接矩形 / 三角形 用坐标找上下高、左右宽，用「竖高 × 水平宽」列面积，转化二次函数求最值 【例2】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【变式2-1】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【变式2-2】（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 题型3 动态抛物落地模型 解题步骤： 1.建坐标系（必踩分）一般：出手点/喷水口设 (0,h)，地面为x轴，竖直为 y 轴。 2.设解析式优先顶点式好算：y=a(x−h)2+k(h,k) 是最高点顶点。 3.代已知点求 a把出手点、经过的篮筐/落点代入，反求系数 a。 4.求落地 / 到达问题 · 落地：令 y=0，解方程得 x（水平落地距离） · 过定点：把篮筐坐标代入，判能不能投进 · 求最大高度：直接看顶点纵坐标 k 5.验实际意义距离、高度必须＞0，舍去负数、不合理解。 三大类常考题型 1 求最大高度 直接读顶点y，不用解方程。 2 求落地水平距离 令y=0，解正根x。 3 能否命中（篮筐 / 挡板） 把目标x代入解析式，算 y；和实际高度对比：相等→命中；偏大 / 偏小→不进。 【例3】（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【变式3-1】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2)若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 【变式3-2】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 题型4 分段二次函数综合 解题步骤： 1.划区间、标分界明确：x≤m、x>m（或左 / 中 / 右三段），分界点单独验证归属。 2.逐段求解析式平移、翻折、对称分别列式；每段单独定 a、顶点、开口。 3.做题先看 x 落在哪一段给 x 先判区间→再代入本段式子，严禁跨段乱代。 4.最值问题：逐段求 + 全局比大小每段内： · 对称轴在区间内→取顶点最值 · 对称轴在外→取区间端点最值最后把各段最值放一起，选全局最大 / 最小。 5.交点 / 方程解：分段解方程 + 筛根在哪段解方程，根必须落在本段区间内，否则舍去。 三大高频秒杀： 1 翻折形成分段（上折下、右折左） · x 轴翻折：y→−y · y 轴翻折：x→−x分界处连续 / 不连续看图，端点必验算。 2 平移拼接分段 左段一个抛物线，右段平移出新抛物线；只改顶点，a不变。 3 含参分段 + 整点 / 计数 参数动→分界动→区间动；临界位置：刚好过点、刚好相切、刚好贴整点。 【例4】（2026·贵州黔东南·一模）在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物．如图1是小星家房前晾衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱的高为2米，米． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图3，的高度为1.55米，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图3中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，随值的增大而减小，求出的取值范围． 【变式4-1】（2026·陕西西安·二模）冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 【变式4-2】（2026·安徽蚌埠·二模）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 题型5 图形运动问题 解题步骤： 1.标运动信息速度、方向、起点、终点、运动总时间。 2.用 t 表示线段长路程 = 速度 × 时间AP=vt，PB=总长−vt 3.画临界位置找到图形形状改变的时刻（拐角、重合、分离、垂直、平行）。 4.分段讨论不同时间段，图形形状 / 表达式不同，必须分段列式。 5.列方程 / 函数求最值面积、周长、相似、等腰、直角，全部用 t 建模求解。 6.验范围t 必须在运动时间内，长度为正，舍去不合理解。 【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【变式5-1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为． (1)当正方形的边恰好落在上时，求边长． (2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中） (3)求的最大值． 【变式5-2】（2026·广西钦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 题型6 新定义/表格/图象类型 新定义题解题步骤： 1.圈关键词如：“友好点”“关联点”“倍高点”“等距点”“限高函数” 等，把文字翻译成： 2.翻译列式例：点 P 在抛物线上，满足“到x轴距离 = 到某直线距离”→ 直接列方程：∣y∣=d 3.结合二次函数性质开口、对称轴、顶点、Δ、区间范围。 4.验点筛解不在图像上、不在区间内、重复点一律舍去。 表格信息题解题步骤： 1.找对称点→秒出对称轴 2.看增减→判开口 3.找零点/顶点 4.判断命题真假只看表格能确定的才选，猜图像趋势一律不选。 图像信息题型： 从图上直接抓 6 个信息 1.开口方向 → 定 a 正负 2.与 y 轴交点 → 定 c 3.对称轴 x=−2ab​ 4.与 x 轴交点个数 → 定 Δ 5.特殊点坐标（顶点、交点） 6.区间正负：y>0 或 y<0 的范围 【例6】（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 【变式6-1】（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【变式6-2】（2026·江西上饶·一模）综合与实践 【问题背景】9·3抗战胜利80周年纪念活动后，某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．这场晚会吸引了众多观众前来观看，在入场时，排队现象成为关注焦点．某数学小组针对此次晚会，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系．如图是晚会安检的示意图． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 【模型构建】晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为________（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为________； (2)【模型应用】 在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该晚会主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟（包含10分钟）内开始减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支； 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由． 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 2．（2026·山西晋城·一模）如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 3．（生活情景题）（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 4．（2026·河南洛阳·一模）某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为（单位：），沙包距甲的水平距离记为（单位：），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，如果甲在处将沙包抛给乙，乙恰好在处接到沙包． 【建立模型】 (1)求抛物线的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 【应用模型】 (2)丙竖直跳起，拦截的最大高度为，求丙拦截沙包成功的运动范围； (3)如果乙在处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平距离不大于．求的最大值． 5．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示． 素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称． 素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴． 素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上． (1)求抛物线、的函数表达式； (2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值． 6.（生活情景题）（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 7．（综合实践）（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 8．（生活情景题）（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 9.（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 10．（生活情景题）（2026·河南商丘·一模）丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． (1)求图2中抛物线的表达式； (2)记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ (3)图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 11．（探究题）（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 12．（生活情景题）（2025·河南洛阳·三模）小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且． 任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式． 任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 13．（信息阅读题）（2025·广西柳州·一模）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 二次函数的应用 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1. 利润最值问题 2025年连云港：15题考查了动态抛物落地问题 2025年南通：24题考查了面积问题 2025年徐州：26题考查了图形运动问题 2025年四川：23题考查了表格类型问题 中档—压轴解答题（9–12 分），第 22–25 题，利润、面积、抛射、拱桥 / 隧道、分段 + 参数约束五大方向必考。 2. 图形面积问题 3. 动态抛物落地模型 4.分段二次函数综合 5.图形运动问题 6.新定义/表格/图象类型 题型1 利润最值问题 1.利润相关基础公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2.销量与售价的联动关系 题干常给出：每涨价/降价1元，销量减少/增加件，据此可列销量的一次函数表达式。 例：设商品原价为元，进价为元，原销量为件；若涨价元，则单件售价为元，单件利润为元，销量为件；若降价元，则单件售价为元，销量为件。 3.二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 解题步骤 1.审题设元 （1）明确已知量：进价、原售价、原销量、销量随售价的变化规律（如每涨1元销量减5件）。 （2）设自变量：若涨价，设涨价元（）；若降价，设降价元（）；也可直接设新售价为元。 （3）设因变量：设总利润为元。 2.列销量与单件利润的表达式 （1）单件利润 = 新售价 进价（需用含的式子表示） （2）销量 = 原销量 变化量（涨价取“”，降价取“”，变化量=） 3.构建总利润的二次函数解析式 （1）代入公式： 单件利润 销量 （2）化简整理：将解析式化为一般式 （） 4.确定自变量的取值范围 根实际意义列不等式组，核心约束条件： （1）单件售价 进价 新售价 进价 （2）销量 5.求最值并检验作答 （1）计算顶点横坐标： （2）判断是否在取值范围内： ① 若在范围内：将代入解析式，，此时对应的售价为； ② 若不在范围内：根据二次函数的增减性（时，开口向下，自变量离越近，值越大），取取值范围的端点值计算最大利润； （3）检验结果的实际合理性，规范书写答案（带单位）。 【例1】（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】（1）由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为，即可设销售额与销售单价之间的关系式为，再代入求解即可； （2）①利用即可求解销售数量与销售单价之间的关系式，再由每件利润乘以销售数量即可求解单价为18元/个时的销售利润； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元，由①得，销售数量，由建立起二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 【变式1-1】（2026·广西南宁·一模）某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； (2)超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为元． (3)销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为，从已知条件可以列出关于，的二元一次方程组，进而求出，； （2）设售价应定为元，根据题意可得，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元．根据题意可得，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为． 因为函数图象经过点，，可得 解得 所以与之间的函数关系式为． （2）解：设售价应定为元．根据题意，可得 ． 解得（舍去），． 所以，售价应定为元． （3）解：设最大利润为元．根据题意，可得 ． 变形，得． 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值为． 所以销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【变式1-2】（2025·湖北十堰·二模）利用以下素材解决问题． 商品利润问题 素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：． 素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示． 任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______． 任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？ 任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【答案】任务1：，；任务2：未来40天中第4天和第28天的单价是26元；任务3：第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，关键是能够根据题意分两种情况列出函数关系式． 任务1：分别利用待定系数法求解即可； 任务2：分别令，，解方程即可； 任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质分别求出最大值即可． 【详解】解：任务1：当时，设y关于t的函数关系式为， 代入得：， 解得：， ∴y关于t的函数关系式为； 当时，设y关于t的函数关系式为， 代入，得：， 解得：， ∴y关于t的函数关系式为； 故答案为：，； 任务2：①当时，令， 解得：， ②当时，令， 解得：， ∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元； 任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元， ①由题意得：， ∴当时，取最大值450， 即当时，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元； ②由题意得：， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随t的增大而减小， ∴当时，取最大值405， 即当时，第21天的日销售利润最大，最大日销售利润是405元； 综上，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元． 题型2图形面积最值 解题步骤 1.设元设关键边长为 x（尽量设短边 / 底边，好计算）。 2.用约束关系，把另一边用含 x 表示（关键：总长度、周长、围栏总长为定值，推另一边） 3.列面积公式S=长×宽，整理成标准二次函数：S=ax2+bx+c 4.定自变量取值范围（必写！扣分重灾区）边长＞0，列出不等式，锁定 x 的实际区间 5.求最值开口向下→顶点取最大值；顶点超区间→取两端比较大小 必考模型 模型 1：围栏围矩形（靠墙 / 不靠墙） 靠墙只算三边总长，快速表示宽和长，直接套面积配方求最大面积。 模型 2：抛物线内接矩形 / 三角形 用坐标找上下高、左右宽，用「竖高 × 水平宽」列面积，转化二次函数求最值 【例2】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键． 【变式2-1】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为． (1)的长为___________；（用含的代数式表示） (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少． 【答案】(1) (2)能，12 (3)当时，花园面积最大，最大值为 【分析】（1）根据列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解； （3）根据矩形的面积公式列出S与x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：的长为； （2）解：根据题意，得． 整理，得．解得． ∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和， ∴． ∴． ∴的值为12． （3）解：由题意得：． ∵． ∴当时，花园面积最大，最大值为． 【变式2-2】（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为；曲线所对应的函数解析式为 (2)长为，宽为 【分析】题目主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的性质，矩形的性质，理解题意，综合运用函数的相关知识点是解题关键． （1）根据题意得出点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）设的长度为m，得出，结合图形得出，的面积是定值4，确定，利用二次函数的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵点A到线段的距离为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴，即点B的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将A，B代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设曲线对应的反比例函数解析式为， 将D代入得：， ∴曲线所对应的函数解析式为； （2）解：如图所示： 设的长度为m， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积是定值4， ∴当的面积最大时，的面积最大， ， 当时，有最大值4， ∴点N的坐标为， ∵， ∴点M的横坐标和点N的横坐标相同， 把代入得，， ∴点M的坐标为， ∵， ∴点M的纵坐标和点Q的纵坐标相同， 把代入得， ∴点Q的坐标为， ∵点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ∴． 题型3 动态抛物落地模型 解题步骤： 1.建坐标系（必踩分）一般：出手点/喷水口设 (0,h)，地面为x轴，竖直为 y 轴。 2.设解析式优先顶点式好算：y=a(x−h)2+k(h,k) 是最高点顶点。 3.代已知点求 a把出手点、经过的篮筐/落点代入，反求系数 a。 4.求落地 / 到达问题 · 落地：令 y=0，解方程得 x（水平落地距离） · 过定点：把篮筐坐标代入，判能不能投进 · 求最大高度：直接看顶点纵坐标 k 5.验实际意义距离、高度必须＞0，舍去负数、不合理解。 三大类常考题型 1 求最大高度 直接读顶点y，不用解方程。 2 求落地水平距离 令y=0，解正根x。 3 能否命中（篮筐 / 挡板） 把目标x代入解析式，算 y；和实际高度对比：相等→命中；偏大 / 偏小→不进。 【例3】（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 【变式3-1】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：某商业综合大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图，已知火情发生点P距地面的高度为米，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，车载水枪距离地面3米高．以水枪出水口为原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)操控水枪首次喷水时，经观测，水流在水平距离出水口8米处达到最大高度，最高点距离地面13米，有效压制了蔓延的火势． ①求首次喷水时，水流所在抛物线的函数表达式． ②试判断首次喷出的水流能否精准射中点P，并说明理由． (2)若此时距地面高度为12米的5楼窗台内又发生火情，着火点Q距水枪出水口的水平距离为13米，原水流轨迹无法覆盖，且现场地形限制，消防车无法进一步靠近，为覆盖更高处的火情，需要通过向上平移喷头来调整水流位置，消防员调整水枪后，新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准抵达5楼窗台隐患点，直接写出喷头向上平移的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)①，②不能精准射中点P，理由见解析 (2)米 【分析】（1）①由题意可得抛物线的顶点坐标为，设函数的表达式为，再将原点代入求得a的值即可确定函数解析式；②将代入函数解析式求得y的值，然后与比较即可解答． （2）设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为，由题意可得，再将点代入解析式求得n的值即可解答． 【详解】（1）解：①由题意得：，抛物线的顶点坐标为 设函数的表达式为， 将原点代入上式，得，解得， 首次喷水的抛物线表达式为， ②首次喷出的水流不能精准射中点P． 理由：将代入中，得 ， 首次喷出的水流不能精准射中点P． （2）解：设喷头向上平移的距离为n米，则此时的抛物线解析式为， 由题意可得Q的坐标为，即， 将代入可得： ，解得：， 所以喷头向上平移的距离米． 【变式3-2】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 题型4 分段二次函数综合 解题步骤： 1.划区间、标分界明确：x≤m、x>m（或左 / 中 / 右三段），分界点单独验证归属。 2.逐段求解析式平移、翻折、对称分别列式；每段单独定 a、顶点、开口。 3.做题先看 x 落在哪一段给 x 先判区间→再代入本段式子，严禁跨段乱代。 4.最值问题：逐段求 + 全局比大小每段内： · 对称轴在区间内→取顶点最值 · 对称轴在外→取区间端点最值最后把各段最值放一起，选全局最大 / 最小。 5.交点 / 方程解：分段解方程 + 筛根在哪段解方程，根必须落在本段区间内，否则舍去。 三大高频秒杀： 1 翻折形成分段（上折下、右折左） · x 轴翻折：y→−y · y 轴翻折：x→−x分界处连续 / 不连续看图，端点必验算。 2 平移拼接分段 左段一个抛物线，右段平移出新抛物线；只改顶点，a不变。 3 含参分段 + 整点 / 计数 参数动→分界动→区间动；临界位置：刚好过点、刚好相切、刚好贴整点。 【例4】（2026·贵州黔东南·一模）在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物．如图1是小星家房前晾衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱的高为2米，米． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图3，的高度为1.55米，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图3中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，随值的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3)的取值范围是或． 【分析】（1）将代入解析式即可求解； （2）根据的最低点可知抛物线的表达式，再根据的高度可知的长度即可求解； （3）由题可知和的对称轴，在根据图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 抛物线经过点, 将代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式为： （2）解：当时，则， ∴， 由题可知：的最低点离地面米， ∴抛物线的表达式为 将代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为 当时，即 解得：，（舍去） ∴． （3）解：由（2）可知，抛物线:,抛物线:的对称轴分别为和， ∴当或时，随的值的增大而减小， 将新函数图象向右平移个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，， 如图所示， ∵平移不改变图形形状和大小， 当或时，随值的增大而减小， ∴当时，随值的增大而减小， 结合函数图象，得的取值范围是： 且，得， 且，得， 由题意知， 综上所述，的取值范围是或． 【变式4-1】（2026·陕西西安·二模）冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 【答案】(1)7.6米 (2) 【分析】（1）根据段的抛物线最低点到y轴的距离为．设抛物线的解析式为．把，代入，解方程组即可得抛物线的解析式，根据中心对称得段的抛物线的顶点坐标为，即得段的抛物线的函数解析； （2）根据小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求出小华在斜坡上的落点高度为，代入段的抛物线的函数解析式，解方程即得答案． 【详解】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为． ∵， ∴B坐标为． ∵段的抛物线最低点到y轴的距离为． ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵段的抛物线与段的抛物线关于点成中心对称， ∴段的抛物线的顶点坐标， ∴段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为， ∴小华在斜坡上的落点高度为， 令解得，（舍去）． 答：落点到的水平距离是． 【变式4-2】（2026·安徽蚌埠·二模）在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 【答案】(1) (2)王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由见解析，点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式即可； （2）根据求出的长，从而可求出当时，对应的值，与米比较大小，即可判断；再令，求出对应的的值，即可得到点的坐标； （3）根据待定系数法求出抛物线的关系式，由抛物线的对称性知的最大值，令，可求得对应的的值，进而可得对应的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为，且当时，． ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得， 当时，， 王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网， 此时，当时，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：抛物线经过点， ，解得（舍去）或， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，即， 的最大值为（米)， 当时，即， 解得（舍去）或， 当时，（米)， ． 题型5 图形运动问题 解题步骤： 1.标运动信息速度、方向、起点、终点、运动总时间。 2.用 t 表示线段长路程 = 速度 × 时间AP=vt，PB=总长−vt 3.画临界位置找到图形形状改变的时刻（拐角、重合、分离、垂直、平行）。 4.分段讨论不同时间段，图形形状 / 表达式不同，必须分段列式。 5.列方程 / 函数求最值面积、周长、相似、等腰、直角，全部用 t 建模求解。 6.验范围t 必须在运动时间内，长度为正，舍去不合理解。 【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 【变式5-1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为． (1)当正方形的边恰好落在上时，求边长． (2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中） (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，交于点，可证，根据锐角的边的长为，面积为，可得边上的高为，根据相似三角形的性质即可求出的值； （2）根据正方形与的位置关系，分两种情况求出关于的函数关系式； （3）根据关于的函数关系式，分情况求出最大值，通过比较得到的最大值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点，交于点， 锐角的边的长为，面积为， 设边上的高为， 根据题意可得：， 解得：， 即， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 解得：； （2）解：当时，如下图所示， 则有； 当时，如下图所示， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，； （3）解：同（2）可得， 当时， 最大值为； 当时， 整理可得：， 当时，有最大值，最大值为； 综上所述，的最大值为． 【变式5-2】（2026·广西钦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①，；②或 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 题型6 新定义/表格/图象类型 新定义题解题步骤： 1.圈关键词如：“友好点”“关联点”“倍高点”“等距点”“限高函数” 等，把文字翻译成： 2.翻译列式例：点 P 在抛物线上，满足“到x轴距离 = 到某直线距离”→ 直接列方程：∣y∣=d 3.结合二次函数性质开口、对称轴、顶点、Δ、区间范围。 4.验点筛解不在图像上、不在区间内、重复点一律舍去。 表格信息题解题步骤： 1.找对称点→秒出对称轴 2.看增减→判开口 3.找零点/顶点 4.判断命题真假只看表格能确定的才选，猜图像趋势一律不选。 图像信息题型： 从图上直接抓 6 个信息 1.开口方向 → 定 a 正负 2.与 y 轴交点 → 定 c 3.对称轴 x=−2ab​ 4.与 x 轴交点个数 → 定 Δ 5.特殊点坐标（顶点、交点） 6.区间正负：y>0 或 y<0 的范围 【例6】（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 【答案】(1) (2)8个 (3)469个 【分析】本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆： （1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得： 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（2）知，， 将代入，得， 解得，，（不合题意，舍去） 所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具； （3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，    由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离， ∴， ∴ ∵的长为， ∵的周长为， ∴的直径，即， ∴， 设第一层有x个正六边形模具， ∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算， 所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为， ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取12； ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取13； 将代入，得，； 将代入得，， ∵， ∴最多可以放下469个正六边形模具 【变式6-1】（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 【变式6-2】（2026·江西上饶·一模）综合与实践 【问题背景】9·3抗战胜利80周年纪念活动后，某地区举办了一场以铭记抗战历史为主题的大型文艺晚会．这场晚会吸引了众多观众前来观看，在入场时，排队现象成为关注焦点．某数学小组针对此次晚会，研究了排队人数与安检时间、安排安检通道数之间的关系．如图是晚会安检的示意图． 【研究条件】条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：该晚会场地最多可开设10条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人． 【模型构建】晚会前30分钟开始安检，统计发现现场总人数y（人）与安检时间x（分钟）的关系为：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开设4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为________（用含x的式子表示），排队人数w与安检时间x的函数解析式为________； (2)【模型应用】 在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该晚会主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟（包含10分钟）内开始减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支； 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由． 【答案】(1)； (2)排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人 (3)可开设6条安检通道，理由见解析 【分析】（1）根据已入场人数等于每条通道每分钟安检的人数乘以通道数，再乘以安检时间可得第一空的答案；根据排队人数现场总人数已入场人数可得第二空的答案； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可； （3）设开设了m条通道，根据排队人数现场总人数已入场人数列出w关于x的关系式，根据二次函数的增减性求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：若开设4条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为，若排队人数为w，则w与x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为345． 答：排队人数在第15分钟达到最大值，最大人数为345人． （3）解：可开设6条安检通道，理由如下： 设开设了m条通道， 则， ∴对称轴为直线． ∵排队人数在安检开始10分钟（包括10分钟）内开始减少， ∴，即． 又∵最多开设10条安检通道， ∴． ∵需尽量少安排安检通道，且m为正整数， ∴m最小值为6， ∴可开设6条安检通道． 1．（2026·云南曲靖·模拟预测）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)每件商品的售价应定为40元 (2)商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的关系式，再根据总利润（售价进价）销售量建立方程求解即可； （2）根据总利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与之间函数关系式为， 把和代入中得： 解得， 与之间函数关系式为； 根据题意，得，即， 整理得， 解得，（舍去）． 答：每件商品的售价应定为40元． （2）解：由题意得：． ， ∴当时，w有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 2．（2026·山西晋城·一模）如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程为8米 (2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程； （2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 【详解】（1）解：根据题意可得：喷水口的坐标为，上边缘抛物线的最高点A的坐标为， 设上边缘抛物线的解析式为： 将代入得：， ， 解得． 因此，上边缘抛物线的解析式为： 当时，， （舍），． 即米． 答：上边缘喷出水的最大射程OC为8米． （2）解：因为绿化带水平宽度米，竖直高度米． 所以，当时， 当时：（米）米 当时：（米）米 因为时，，所以上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 解决方法： 设抛物线向右平移个单位，则关系式为 将代入上边缘函数关系式，得： （舍）， （米） 当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 3．（生活情景题）（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)脚手架总长度的最大值为米； (3)米 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， （2）解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； （3）解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2026·河南洛阳·一模）某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为（单位：），沙包距甲的水平距离记为（单位：），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，如果甲在处将沙包抛给乙，乙恰好在处接到沙包． 【建立模型】 (1)求抛物线的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 【应用模型】 (2)丙竖直跳起，拦截的最大高度为，求丙拦截沙包成功的运动范围； (3)如果乙在处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平距离不大于．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)k的最大值为14 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可解答； （2）求得当时，x的值，结合甲与乙之间的距离分析即可解答； （3）根据题意可知抛物线的顶点为最高点，此时顶点的横坐标，解得k值即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得，， 根据题意可知甲与乙之间的距离为， 丙拦截沙包成功的运动范围为在距离甲8到10米的地方，即； （3）解：， 抛物线的顶点为最高点，此时顶点的横坐标， 解得， 的最大值为14． 5．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示． 素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称． 素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴． 素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上． (1)求抛物线、的函数表达式； (2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为 (2)宣传画的周长的最大值为米 【分析】（1）根据题意，抛物线的顶点为，且过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式为，再根据对称性求出抛物线的函数表达式； （2）设点，根据对称性表示出点和点的坐标，进而表示出和，计算得矩形的周长，根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且在抛物线上， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设，由对称性可知， 点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴矩形的周长 ， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：宣传画的周长的最大值为米． 6.（生活情景题）（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入计算即可得出结果； （2）求出点的坐标为，由二次函数的平移规律可得向右移动后的表达式为，代入计算即可得出结果； （3）当时，，，求出，即可得出无人机升至某高度时需向右移动，设顶点向右平移米，则，，当时，，，表示出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 7．（综合实践）（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 8．（生活情景题）（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于，，的方程组，求解即可； （2）当时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点的坐标为，再代入求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； （3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． 9.（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意可得，将代入解析式，求得函数值，与比较大小，将代入解析式，求得，将横坐标与比较，即可求解． （3）设的表达式为，点的横坐标为，则，，分别将，代入解析式，求得的值，结合题意，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ． 10．（生活情景题）（2026·河南商丘·一模）丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． (1)求图2中抛物线的表达式； (2)记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ (3)图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3)长为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：以O为原点，以为x轴，以为y轴建立坐标系， 则点、的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得，令， 解得：（舍去）或， 即； （3）解：设点， 由（2）知点， 设抛物线的表达式为：， 由顶点纵坐标得，， 解得：或（不合题意，舍去）， 即长为． 【点睛】本题以丢弹球游戏为实际背景，核心是将弹球飞行轨迹抽象为二次函数模型，通过顶点式、交点式建立抛物线解析式，结合顶点坐标公式与方程求解实现实际距离计算，充分体现了数形结合思想与数学建模在游戏场景中的应用，是二次函数解决实际运动问题的典型范例． 11．（探究题）（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】(1) (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）①根据题意可得当两物资相撞时，，据此列出方程，解方程即可求解； ②根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物质的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，号无人机的速度为：， ∴， 根据图可得：时，， 代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，， 解得：（负值已舍去）， 当时，， 解得：（负值已舍去）， ∵， 故两物资落点间的水平距离为米． （3）解：①当两物资相撞时，， 即， 解得：， 将代入，得 解得：， 故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米； ②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为， 将，，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度， 当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 12．（探究题）（2025·河南洛阳·三模）小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且． 任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式． 任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：找来的木棍不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． 任务1：根据题意，设曲线所在抛物线的函数表达式为，先求得，，进而得到该抛物线的对称轴为直线，则，再将代入求得，进而可求解； 任务2：设点坐标为，点坐标为，且．先求得直线的解析式为，根据题意，可得，整理得，利用判别式可得该方程无实数解，进而可得结论． 【详解】解：任务1：因为曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，所以设曲线所在抛物线的函数表达式为． 已知，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，． ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 把代入得：， 解得， ∴曲线所在抛物线的函数表达式为； 任务2：找来的木棒不符合要求．理由： 设点坐标为，点坐标为， 因为，所以． 设直线的解析式为， 将，代入可得 ，解得， 所以直线的解析式为． 由于点在抛物线上，点在直线上，且，则， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解， 所以不存在的值使得， 即小华的爸爸找来的木棍不符合要求． 13．（信息阅读题）（2025·广西柳州·一模）钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $