第八章《实数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版2024）

第八章《实数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根和立方根的定义与运算性质，对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：A．表示的算术平方根，结果为非负数，，故A错误； B．，故 B错误； C．，，故C错误； D．根据立方根的性质，开立方时，负号可以移到根号外，可得，故D正确． 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．2 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查正数平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， 将代入，可得两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 3．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数． B、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． C、，是整数，属于有理数． D、，是整数，属于有理数． 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 6．下列说法错误的是（    ） A．中的可以是正数、负数、零 B．中的不可能是负数 C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数 D．数的立方根只有一个 【答案】C 【分析】按照平方根和立方根的性质判断即可． 【详解】A. 中的可以是正数、负数、零，正确，不符合题意； B. 中的不可能是负数，正确，不符合题意； C. 0的平方根只有0，故原说法错误，符合题意； D. 数的立方根只有一个，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质． 7．已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过估算无理数的大小，得到的取值范围，即可求出整数的值。 【详解】∵， ∴， 不等式两边同乘得， 不等式两边同加得， 即， 又∵，且为整数， ∴． 故选C． 8．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】掌握同类项“所含字母相同，相同字母的指数也相同”的定义，根据定义列方程求出a,b的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】由同类项的定义可知，， 解得， ． 9．实数，，在数轴上的对应点的位置如下图所示，若，则，，，四个点中可能是原点的为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据题意分别假设，，，为原点，结合x，y，z的正负性及绝对值的几何意义，逐项判断即可． 【详解】解：A．若点是原点， 由数轴得， ∴， ∵ ∴，不符合题意； B．若点是原点， 由数轴得，，且 ∴， ∵ ∴，不符合题意； C．若点是原点， 由数轴得，，且 ∴， ∴ ∴，不符合题意； D．若点是原点， 由数轴得，， ∴， ∴ ∴，符合题意． 10．将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．64的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 8 【分析】平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．注意第二个空先求出，再计算平方根． 【详解】解：， 的算术平方根是8， ， 的平方根是， 故答案为：8，． 12．若实数满足，则的立方根是_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质和立方根的计算，解题的关键是利用“平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0”的性质求出、的值． 先根据非负数的性质，由推出且；再解出、的值，计算；最后求的立方根． 【详解】解：，，且， ，． 解得，， ， ． 故答案为：． 13．的相反数是___________． 【答案】 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】的相反数是． 14．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 【答案】 1 【分析】（1）先将原方程变形，根据平方根的意义可知方程的两根互为相反数，利用两根之和为列方程求解即可； （2）利用换元思想，将所求方程变形后，对比已知方程的根，得到关于的一次方程，进而求解． 【详解】解：（1）对方程两边同除以，得： ， ， ， ∴方程的两个根为， 所以两根互为相反数，因此两根之和为0，即： ， 整理得：， 解得：； （2）已知关于的方程的两根为：， 将方程移项整理，得： ， 令，可得， 因此或， 即或， 解得， 解得， 方程的根为． 15．下列结论： ①若，则； ②小丽每小时可以制作120朵小红花，则她制作的小红花数与制作时间之间成反比例关系； ③若关于、的多项式是三次三项式，则； ④为常数，若的最大值与最小值的差为5，则． 其中正确的结论是______．（填正确结论的序号） 【答案】 ①③④ 【分析】本题考查了立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，熟练掌握基础知识点是解题关键； 根据立方根和平方根，反比例的意义，多项式次数以及绝对值的意义，依次对每个结论进行判断即可． 【详解】①由，得，即，所以，正确； ②设制作时间为小时，则小红花数为，小红花数与时间成正比例关系，故错误； ③多项式为三次三项式，则最高次项次数为3，即，解得，所以或；当时，多项式为，是三次二项式，不符合；当时，多项式为，是三次三项式，正确； ④当时，在时，，故最大值为，在时，，故 最小值为：，差为，得； 同理，当时，最大值与最小值的差为，得；当时，最大值与最小值的差为0，不符合，故，正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？ ，，，，，，，，． 【答案】有理数：，，，，，；无理数：，，．都是实数． 【分析】根据有理数，无理数，实数的定义进行求解即可. 【详解】解：是有理数，是实数； 是有理数，是实数； 是无理数，是实数； 是有理数，是实数； 是有理数，是实数； 是无理数，是实数； 是有理数，是实数； 是有理数，是实数； 是无理数，是实数； ∴有理数有：，，，，，； 无理数有：，，； 全部都是实数． 【点睛】本题主要考查了有理数，无理数，实数的定义，熟知相关定义是解题的关键． 17．按要求解答下列各小题． (1)求等式中的值：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用立方根解方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义化简，再算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2） 18．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算题： (1) (2) (3) 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 20．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 21．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知，=1+（n为正整数），故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 【答案】(1)5， (2)2 (3) 【分析】（1）夹逼法进行求解即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； （2）解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴， ∵是整数，且，， ∴， ∴． 23．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，被开方数的非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据被开方数非负的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《实数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．2 B．7 C．14 D．49 3．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．中的可以是正数、负数、零 B．中的不可能是负数 C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数 D．数的立方根只有一个 7．已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 8．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C．3 D．9 9．实数，，在数轴上的对应点的位置如下图所示，若，则，，，四个点中可能是原点的为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．64的算术平方根是______，的平方根是______． 12．若实数满足，则的立方根是_____． 13．的相反数是___________． 14．（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________． （2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________． 15．下列结论： ①若，则； ②小丽每小时可以制作120朵小红花，则她制作的小红花数与制作时间之间成反比例关系； ③若关于、的多项式是三次三项式，则； ④为常数，若的最大值与最小值的差为5，则． 其中正确的结论是______．（填正确结论的序号） 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？ ，，，，，，，，． 17．按要求解答下列各小题． (1)求等式中的值：； (2)计算：． 18．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算题： (1) (2) (3) 20．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 21．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 23．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $