学易金卷：高一数学下学期期中考试模拟02（北京专用）（范围：人教B版选择性必修第三册）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ 14．___________________ ____________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟（人教B版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 8．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 10．已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为___________． 12．已知，则的值为__________. 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 14．已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 15．对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的有     ①．函数是以为“类周期”的“类周期函数” ②．函数是“类周期函数” ③．函数是以2为“类周期”的“类周期函数” ④．设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 17．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18．（13分）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 19．（15分）已知平面向量，满足：，. (1)求； (2)求； (3)若向量与的方向相反，求m的值. 20．（15分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件． (1)确定的解析式； (2)求单调增区间； (3)若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围． 条件Ⅰ：的最小值为； 条件Ⅱ：图象的一个对称中心为； 条件Ⅲ：的图象经过点． 21．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟（人教B版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 8．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 10．已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为___________． 12．已知，则的值为__________. 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 14．已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 15．对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的有     ①．函数是以为“类周期”的“类周期函数” ②．函数是“类周期函数” ③．函数是以2为“类周期”的“类周期函数” ④．设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 17．（14分）已知函数.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18．（13分）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 19．（15分）已知平面向量，满足：，.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求； (2)求； (3)若向量与的方向相反，求m的值. 20．（15分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件． (1)确定的解析式； (2)求单调增区间； (3)若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围． 条件Ⅰ：的最小值为； 条件Ⅱ：图象的一个对称中心为； 条件Ⅲ：的图象经过点． 21．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟（人教B版） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟（人教B版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D A D B A D B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． -1 14. 0 / 15.①③④(答对1个得3分，答对2个得4分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【详解】（1）因为， 所以，则， 所以；（7分） （2）当与垂直时， 则有， 解得．（13分） 17．（14分） 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为：；（7分） （2）由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：.（14分） 18．（13分） 【详解】（1）∵是第三象限角，且， ∴， ∴；（6分） （2）（13分） 19．（15分） 【详解】（1）∵，， ∴， 则， 所以. 则， ∴.（4分） （2）∵， ∴， ∴.（8分） （3）∵，， ∴， . 又∵向量与的方向相反， ∴向量与向量共线， 则， 解得：或． 当时，向量与向量的方向相同，不满足题意； 当时，向量与向量的方向相反，满足题意. 综上可得：．（15分） 20．（15分） 【详解】（1）由函数图象上相邻两条对称轴间的距离为，得其最小正周期， 解得，此时， 选条件Ⅰ、Ⅱ；由，得， 由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，所以. 选条件Ⅰ、Ⅲ：由，得， 由函数的图象过点，得，即， 由，得，则，解得， 所以. 选条件Ⅱ、Ⅲ：由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，因此， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以.（6分） （2）由（1）知，， 由，解得， 所以单调增区间是.（9分） （3）由（1）知，，当时，， 由图象的对称轴只有一条落在区间上，得，解得， 所以的取值范围为.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；（7分） （2）令，得，解得， 即，因，则，解得， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米； （3）由题意知，， 因中间间隔5个座舱，则有， 依题意，，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟（人教B版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同角的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意， 选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误； 选项C：与终边相同，含义相同，故C正确； 选项D：当时，与终边不同，故D错误. 故选：C 2．已知点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】分析得出，，根据角终边的位置与三角函数值符号的关系可得出结论. 【详解】因为点在第二象限，则，， 若，则角的终边在第三象限、轴负半轴或第四象限， 若，则角的终边在第一象限或第三象限， 综上所述，角的终边在第三象限. 故选：C. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件利用诱导公式可求，再由平方关系求结论. 【详解】因为，， 所以，又，则， 所以. 故选：D. 4．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 5．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为，且， 若，则，可得， 所以，即充分性成立； 若，例如，则，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可. 【详解】由题图，，，，而， 所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，，. 故选：D 7．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 8．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 9．已知函数，则（    ） A． B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式与二倍角公式将函数化为，即可判断选项A，B；利用对称轴公式即可判断C；利用正弦函数的单调性即可判断选项D； 【详解】 对于选项A：由上边推导知选项A错误； 对于选项B：由以上推导得到最大值为，故选项B错误； 对于选项C：令，不存在整数k使得，故选项C错误； 对于选项D:当时，，正弦函数在区间上单调递增，故选项D正确； 故选：D 10．已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解. 【详解】因为，所以与在方向上的数量投影相同. 将，，…，，平移到同一起点， 以所在直线为轴，同一起点为坐标原点建系， 因为，所以，，…，的终点在半径为1或2的圆上， 如图，作与轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点， 此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域. 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 12．已知，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果． 【详解】由，则 故答案为： 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 14．已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 【答案】 0 / 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解. 【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则， 由，且函数的图象在点附近是上升的，得， 即，因此，所以； ，而点在的图象上，则，即， 又，则或，解得或， 所以的最小值为. 故答案为：0； 15．对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的有     ①．函数是以为“类周期”的“类周期函数” ②．函数是“类周期函数” ③．函数是以2为“类周期”的“类周期函数” ④．设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 【答案】①③④ 【分析】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断. 【详解】对于①，由是以为周期的周期函数， 而， 由题意可知函数是以为“类周期”的“类周期函数”，①正确； 对于②，函数定义域为，若函数是“类周期函数”， 因为，而， 要使对恒成立，就要对恒成立， 即对恒成立， 所以当且仅当时，上式成立， 则不存在常数使得对取内每一个值时， 都有等式恒成立， 所以函数不是“类周期函数”，②错误； 对于③，， 所以（非零常数） 所以函数是以2为“类周期”的“类周期函数”，③正确； 对于④，， 所以是类周期函数，且， 设满足，由得， ， 又，知道在上的最小值是上获得的， 而，所以在上的最小值为， 由，得， 由此可知，， 又， 知道在上的最大值是在上获得的，而， 所以在上的最大值为23,故值域为,④正确. 故选：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，则， 所以； （2）当与垂直时， 则有， 解得． 17．（14分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为：； （2）由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 18．（13分）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值； （2）利用诱导公式求解. 【详解】（1）∵是第三象限角，且， ∴， ∴； （2） 19．（15分）已知平面向量，满足：，. (1)求； (2)求； (3)若向量与的方向相反，求m的值. 【答案】(1)11 (2) (3)． 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解. （2）根据平面向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算即可求解. （3）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出向量与的坐标；再根据向量共线的坐标表示列出方程求出m的值；最后验证m的值是否满足题意即可. 【详解】（1）∵，， ∴， 则， 所以. 则， ∴. （2）∵， ∴， ∴. （3）∵，， ∴， . 又∵向量与的方向相反， ∴向量与向量共线， 则， 解得：或． 当时，向量与向量的方向相同，不满足题意； 当时，向量与向量的方向相反，满足题意. 综上可得：． 20．（15分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离是，再从如下的条件Ⅰ、条件Ⅱ、条件Ⅲ中选择两个作为一组已知条件． (1)确定的解析式； (2)求单调增区间； (3)若图象的对称轴只有一个落在区间上，求a的取值范围． 条件Ⅰ：的最小值为； 条件Ⅱ：图象的一个对称中心为； 条件Ⅲ：的图象经过点． 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）求出函数的最小正周期，求得的值，选择Ⅰ、Ⅱ，求出值，由条件Ⅱ得关于的等式结合的取值范围，求得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅰ、Ⅲ，求出值，由已知条件得，由的范围，得的值，即可得函数的解析式；选择Ⅱ、Ⅲ，由条件Ⅱ得出关于的等式结合的取值范围，求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出值，即可得函数的解析式. （2）利用正弦函数单调性列出不等式，求解得单调增区间. （3）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由函数图象上相邻两条对称轴间的距离为，得其最小正周期， 解得，此时， 选条件Ⅰ、Ⅱ；由，得， 由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，所以. 选条件Ⅰ、Ⅲ：由，得， 由函数的图象过点，得，即， 由，得，则，解得， 所以. 选条件Ⅱ、Ⅲ：由图象的一个对称中心为，得， 而，则，，因此， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以. （2）由（1）知，， 由，解得， 所以单调增区间是. （3）由（1）知，，当时，， 由图象的对称轴只有一条落在区间上，得，解得， 所以的取值范围为. 21．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？ 【答案】(1)，； (2)5分钟 (3)17.5分钟 【分析】（1）理解题意依次求得,由公式计算出，代点求出即得； （2）依题意，解三角方程即可求得； （3）依题意可得，由此解得，，由（2）知，即得时，. 【详解】（1）由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，； （2）令，得，解得， 即，因，则，解得， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米； （3）由题意知，， 因中间间隔5个座舱，则有， 依题意，，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同. / 学科网（北京）股份有限公司 $