10.1.3 古典概型（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1随机事件与概率 10.1.3 古典概型 学 习 目 标 1 2 结合具体实例，理解古典概型的两大核心特征（有限性、等可能性），掌握古典概型的概率计算公式，能准确计算简单古典概型的随机事件概率； 通过情境探究、互动分析，经历从具体实例到抽象概念的推导过程，提升观察、归纳、推理能力，学会用列举法（直接列举、树状图）确定样本点个数； 核心素养：通过古典概型的学习，培养数学抽象、数学运算、数学建模素养，体会数学与生活的联系，增强数学应用意识； 新课引入 据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗同时出现“四”才能转败为胜，于是他一面举骰投掷，一面连呼“重四”，最终骰子停定恰好重四，唐明皇大悦，下令将骰子的四点涂为红色，这也是至今骰子幺、四两面为红色的由来。 问题 问题1 你能算出唐明皇转败为胜的概率吗？ 问题2 若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果？ 问题3 点数之和不大于7的概率又该如何计算？ 问题4 这类概率问题有什么共同特点？ 今天我们就通过《10.1.3 古典概型》的学习，来解决这些问题，掌握这类概率的求解方法。 新课引入 古典概型 从动手操作中寻找共同特征 小明和小红玩猜硬币游戏，抛一枚均匀硬币，正面朝上小明赢，反面朝上小红赢。这个游戏公平吗？为什么？ 掷一枚均匀的骰子，出现”点数为偶数”的概率是多少？ 一个袋中有3个红球、2个白球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 思考： 这三个情境有什么共同特点？ 互动探究 特征归纳 古典概型 试验 所有可能结果 每个结果出现的可能性 抛硬币 正面、反面（2种） 相等 掷骰子 1,2,3,4,5,6点（6种） 相等 摸球 5个球中的任意一个（5种） 相等 这些试验的样本空间有什么特点？ 每个基本事件发生的概率有什么关系？ 古典概型的两个特征： 1. 有限性：样本空间的样本点只有有限个 2. 等可能性：每个样本点发生的可能性相等 互动探究 公式推导 古典概型 问题链 抛硬币，正面朝上的概率是多少？ 掷骰子，出现”1点”的概率是多少？ 掷骰子，出现”偶数点”（即2,4,6点）的概率是多少？ P(A 知识讲解 古典概型的定义 古典概型 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型 易错提醒：① 仅满足“有限性”不一定是古典概型（如发芽试验）；② 样本点的“等可能性”是计算概率的前提，若不满足，不能使用古典概型公式。 知识讲解 古典概型的概率公式 古典概型 若试验是古典概型，样本空间 包含 个等可能的样本点，事件 包含其中 个样本点，则： 其中： - 表示样本空间中基本事件的总数 - 表示事件 包含的基本事件数 公式说明：① 计算概率的关键是准确求出n(Ω)和n(A)，确保列举样本点时“不重不漏”；② 公式适用于所有古典概型，不适用于非古典概型（如无限样本点、非等可能样本点的试验）。 知识讲解 求古典概型概率的一般步骤 古典概型 判断试验是否为古典概型（检验“有限性”和“等可能性”）； 确定样本空间Ω，求出样本点总个数n(Ω)； 确定事件A，求出事件A包含的样本点个数n(A)； 代入公式计算概率P(A)，结果化为最简分数（或小数）。 知识讲解 常用计数方法 古典概型 方法 适用场景 示例 列举法 基本事件较少时 抛硬币、掷骰子 列表法 两个步骤的试验 先后抛两枚硬币 树状图 多步骤试验 连续抛三次硬币 排列组合 基本事件较多时 从10人中选3人 典例分析 题型1 古典概型判断 [例1]　下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) (1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； (3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”． 第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性； 第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”； 典例分析 题型2 基础应用（单步试验） 例2. 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母，求取出的字母中含有 a 的概率。 第一步（判断） 是古典概型，4个字母中取2个，有限且等可能 第二步（计数） 样本空间：{ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共6个基本事件 - 事件 A：“含有 a” = {ab,ac,ad}，共3个基本事件 第三步（求值） P(A)== 典例分析 题型3 多步试验 例4. 袋中有3个红球（编号1,2,3）和2个白球（编号4,5），从中任取2个球。 解析： 样本空间：从5个球中取2个，共有10种。 {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} 事件 A：“都是红球” = {(1,2),(1,3),(2,3)}，共3种 , P(A)= (1) 无放回抽样： 一次性取出或先后取出不放回，求取出的2个球都是红球的概率。 (2) 有放回抽样： 先取一球，放回后再取一球，求两次都取到红球的概率。 样本空间：每次都有5种可能，共 5×5=25 种 事件 B：“两次都是红球”：第一次3种，第二次3种，共 3×3=9 种 。 P(B)= 关键提醒： “有序”与”无序”、“有放回”与”无放回”会影响基本事件总数！ 典例分析 题型4 综合应用（涂色问题） 例5. 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，求： （1）三面涂有颜色的概率； （2）两面涂有颜色的概率； （3）一面涂有颜色的概率； （4）各面都没有涂色的概率。 解析： 27个小正方体的位置分类： 位置 特征 数量 概率 顶点处 三面涂色 8个 棱上（不含顶点） 两面涂色 个 面上（不含棱） 一面涂色 个 内部 无涂色 1个 当堂练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个事件都是一个样本点． (　　) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (　　) (3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (　　) 2.思考：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ × √ √ 2.判断下列概率模型是否是古典概型： (1)从1~10中任取一个整数，求取到1的概率； (2)从区间[1,10]中任取一个数，求取到1的概率； (3)种下一粒种子观察它是否发芽 (4)在一次掷骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率。 是 不是 是 不是 当堂练习 3. 下列试验是古典概型的为________．(填序号) ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． 4.下列试验中是古典概型的是(　 　) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 ①②④ B 当堂练习 5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求=“第一次摸到红球” 的概率： 解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示 第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以 当堂练习 6.下列试验是古典概型的是（ ） A. 某人射击命中目标的概率 B. 在区间[0,1]上任取一个数的概率 C. 抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率 D. 从3件产品（2件正品，1件次品）中任取1件，取到正品的概率 答案：D（A、C不等可能，B无限个样本点） 7. 从2名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，选出的2人恰好是1男1女的概率为（ ） A. B. C. D. 解析： 设男生为，女生为。 样本空间：，共6种。 1男1女：，共4种。 学海拾贝 知识网络 古典概型 ├── 两个特征 │ ├── 有限性：样本点个数有限 │ └── 等可能性：每个样本点等可能 ├── 概率公式 │ └── P(A) = n(A)/n(Ω) └── 解题关键 ├── 判断是否为古典概型 ├── 准确计算n(Ω)和n(A) └── 注意"有序/无序"、"放回/不放回" 学海拾贝 易错提醒 混淆”有序”与”无序”：抽样问题中，有顺序和无顺序的基本事件总数不同 混淆”放回”与”不放回”：有放回时每次抽取相互独立，样本空间更大 遗漏或重复计数：列举时要做到不重不漏 判断失误：并非所有概率问题都是古典概型（如几何概型、伯努利试验等） 学海拾贝 思想方法总结 抽象概括思想：从具体试验中抽象出古典概型的概念，体现从特殊到一般的推理过程； 列举法（直接列举、树状图）：解决样本点个数较少的古典概型问题，核心是“不重不漏”； 分类讨论思想：在确定样本点和事件包含的样本点时，合理分类，避免遗漏。 感谢聆听! $