第七章 万有引力与宇宙航行 期中复习素养提升讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

高一物理下学期期中综合复习 第七章 万有引力与宇宙航行 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 一. 开普勒定律与万有引力定律 . . 二.人造卫星 1. 天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 2. 人造卫星分类 (1)极地卫星:运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星:轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，周期T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 3.卫星的发射与变轨 （1）在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G＜m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点），G＞m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 4.变轨过程物理量变化分析 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA＞v1＞v3＞vB。 （2）向心加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA＞aB。 （3）周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1＜T2＜T3。 （4）机械能 在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。 5.宇宙飞船与空间站的对接 宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。 三、宇宙速度 四．天体的“追及相遇”问题 1.天体运动中的“追及相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。以地球与某行星的运动为例： （1）如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”（也称为“某星冲日”现象）。 （2）如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。 2.两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。 角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近 相距 最远 ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数 关系 相距 最近 －＝n，（n＝1，2，3，…） 相距 最远 －＝n－，（n＝1，2，3，…） 五、双星和三星模型 1、双星问题 模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称为双星系统，如图所示。 特点 （1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1r1，＝m2r2。 （2）两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 （4）两颗星的轨道半径与质量成反比，即＝。 （5）双星的运动周期T＝2π。 （6）双星的总质量m1＋m2＝。 2. 三星模型 模型构建：宇宙中三个星体组成的系统，星体间的万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力。 两类三星模型 （1）三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示），对于质量为m的星体有G＋＝ma。 （2）三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示），对于其中一个星体有G×cos 30°×2＝ma。 【核心考点】 考点一　　开普勒三定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 例1 (2024·浙江6月选考，8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　) A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比 D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比 考点二　万有引力定律的理解和应用 1. 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示(设地球质量为M)。 (1)在赤道上: G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上:G＝mg2。 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。 2 .星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。 3 .万有引力的“两个推论” 推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 考查角度1　万有引力定律的应用 例2 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1 考查角度2　“挖补法”求解万有引力 例3 (2025·重庆九龙坡模拟)如图甲所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体(球心在OP连线上，右端位于O点)，如图乙所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　) A.F B.F C.F D.F 考查角度3　万有引力与重力的关系 例4 (2024·湖南长沙模拟)2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为k，下列说法正确的是(　　) A.倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方 B.地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等，所以看起来是静止的 C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 考点三　天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算方法 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 例5 (2025·陕西宝鸡模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝ C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝ 考点四　卫星运动参量的分析 1.人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，地球同步静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 2.物理量随轨道半径变化的规律 G⇒公式中r指轨道半径，r越大，v、ω、a越小，T越大(高轨低速大周期) 3. 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力 的一个分力 轨道半径 r同>r物＝r近 角速度 ω近＝，ω同＝ω物＝，有ω近>ω同＝ω物 线速度 v近＝，v同＝ω同(R＋h)＝，v物＝ω物R，有v近>v同>v物 向心加 速度 a近＝R＝，a同＝(R＋h)＝，a物＝R，有a近>a同>a物 【例6】(2025·重庆南开中学月考)2023年11月16日，中国北斗系统正式成为全球民航通用的卫星导航系统。如图，北斗系统空间段由若干地球同步卫星a、倾斜地球同步轨道卫星b和中圆地球轨道卫星c等组成。将所有卫星的运动视为匀速圆周运动、地球看成质量均匀的球体，若同步卫星a的轨道半径是地球半径的k倍，下列说法正确的是(　　) A.卫星c的线速度小于卫星a的线速度 B.卫星b有可能每天同一时刻经过重庆正上方 C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为1－ D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为1＋ 考点五　宇宙速度 1.第一宇宙速度的推导 方法一:由G＝m，得v1＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二:由mg＝m得v1＝ m/s≈7.9×103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 例7 (2024·湖南卷，7)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 考点六 双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 例8 （2025·辽宁二模）厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　） A.角速度等于红矮星绕O点运动的角速度 B.轨道半径大于红矮星的轨道半径 C.向心力大小约为红矮星的3倍 D.向心加速度小于红矮星的向心加速度 考点七 多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 例9 （2025·河南商丘期末）天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，质量均为M的P、O、S三颗星位于同一直线上P、S两颗星围绕中央星O在同一半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，已知万有引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则（　　） A.P星和S星的角速度相同 B.P星和S星的线速度相同 C.P、O、S三颗星所受合外力大小相等 D.P星的周期为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一物理下学期期中综合复习 第七章 万有引力与宇宙航行 高中物理必修二素养提升 【知识解读】 一. 开普勒定律与万有引力定律 . . 二.人造卫星 1. 天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 2. 人造卫星分类 (1)极地卫星:运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星:轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，周期T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 3.卫星的发射与变轨 （1）在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G＜m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点），G＞m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 4.变轨过程物理量变化分析 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA＞v1＞v3＞vB。 （2）向心加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA＞aB。 （3）周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1＜T2＜T3。 （4）机械能 在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。 5.宇宙飞船与空间站的对接 宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。 三、宇宙速度 四．天体的“追及相遇”问题 1.天体运动中的“追及相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。以地球与某行星的运动为例： （1）如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”（也称为“某星冲日”现象）。 （2）如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。 2.两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。 角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近 相距 最远 ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数 关系 相距 最近 －＝n，（n＝1，2，3，…） 相距 最远 －＝n－，（n＝1，2，3，…） 五、双星和三星模型 1、双星问题 模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称为双星系统，如图所示。 特点 （1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1r1，＝m2r2。 （2）两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 （4）两颗星的轨道半径与质量成反比，即＝。 （5）双星的运动周期T＝2π。 （6）双星的总质量m1＋m2＝。 2. 三星模型 模型构建：宇宙中三个星体组成的系统，星体间的万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力。 两类三星模型 （1）三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示），对于质量为m的星体有G＋＝ma。 （2）三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示），对于其中一个星体有G×cos 30°×2＝ma。 【核心考点】 考点一　　开普勒三定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 3.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 4.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 例1 (2024·浙江6月选考，8)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则(　　) A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比 D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比 答案　D 解析　由开普勒第二定律可知，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误;由万有引力定律和牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，结合题图可知，小行星乙的远日点到太阳的距离等于地球的公转半径，故小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，B错误;根据开普勒第三定律可得，则，C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比，D正确。 考点二　万有引力定律的理解和应用 1. 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是物体的重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示(设地球质量为M)。 (1)在赤道上: G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上:G＝mg2。 (3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黄金代换)。 2 .星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g':mg'＝，得g'＝，所以。 3 .万有引力的“两个推论” 推论1:在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 考查角度1　万有引力定律的应用 例2 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1 答案　B 解析　悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G得×2＝，故B正确。 考查角度2　“挖补法”求解万有引力 例3 (2025·重庆九龙坡模拟)如图甲所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为的小球体(球心在OP连线上，右端位于O点)，如图乙所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　) A.F B.F C.F D.F 答案　C 解析　设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得M＝ρ·πR3，则小球体的质量M'＝ρ·π，球体对该质点的万有引力大小F＝G，故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余＝F－G，解得F剩余＝F，故C正确。 考查角度3　万有引力与重力的关系 例4 (2024·湖南长沙模拟)2023年11月16日，中国北斗系统正式加入国际民航组织标准，成为全球民航通用的卫星导航系统。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球半径与同步卫星的轨道半径之比为k，下列说法正确的是(　　) A.倾斜地球同步轨道卫星有可能保持在长沙的正上方 B.地球静止轨道卫星与地面上的点线速度大小相等，所以看起来是静止的 C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 答案　D 解析　倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，如果某时刻在长沙正上方，则24小时后就又在长沙正上方，但不能保持在长沙正上方，故A错误;地球静止轨道卫星与地面上的点角速度相等，由v＝ωr可知，地球静止轨道卫星的轨道半径大于地面上的点的轨道半径，因此静止轨道卫星的线速度大小大于地面上的点线速度大小，B错误;根据题意，对同步卫星，由万有引力提供向心力有＝m·，在地球北极有＝mg极，在赤道上有＝mg赤＋mR，联立可得g赤＝g极，则地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为，C错误，D正确。 考点三　天体质量和密度的计算 天体质量和密度的计算方法 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝，m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 例5 (2025·陕西宝鸡模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝ C.月球的第一宇宙速度v＝ D.月球的平均密度ρ＝ 答案　D 解析　由平抛运动规律可得h＝g月t2，L＝v0t，联立得月球表面的重力加速度g月＝，故A错误;在月球表面，由万有引力等于重力得G＝mg月，将g月＝代入上式得月球的质量m月＝，故B错误;由牛顿第二定律得G＝m，将m月＝代入上式得月球的第一宇宙速度v＝，故C错误;月球的平均密度ρ＝，故D正确。 考点四　卫星运动参量的分析 1.人造卫星运行轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，地球同步静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。 2.物理量随轨道半径变化的规律 G⇒公式中r指轨道半径，r越大，v、ω、a越小，T越大(高轨低速大周期) 3. 近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力 的一个分力 轨道半径 r同>r物＝r近 角速度 ω近＝，ω同＝ω物＝，有ω近>ω同＝ω物 线速度 v近＝，v同＝ω同(R＋h)＝，v物＝ω物R，有v近>v同>v物 向心加 速度 a近＝R＝，a同＝(R＋h)＝，a物＝R，有a近>a同>a物 【例6】(2025·重庆南开中学月考)2023年11月16日，中国北斗系统正式成为全球民航通用的卫星导航系统。如图，北斗系统空间段由若干地球同步卫星a、倾斜地球同步轨道卫星b和中圆地球轨道卫星c等组成。将所有卫星的运动视为匀速圆周运动、地球看成质量均匀的球体，若同步卫星a的轨道半径是地球半径的k倍，下列说法正确的是(　　) A.卫星c的线速度小于卫星a的线速度 B.卫星b有可能每天同一时刻经过重庆正上方 C.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为1－ D.地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为1＋ 答案　BC 解析　根据G＝m得v＝，可知轨道半径越大，线速度越小，所以卫星c的线速度大于卫星a的线速度，A错误;卫星b是倾斜地球同步轨道卫星，周期与地球自转相同，若某一时刻出现在重庆正上方，则过24小时之后又在重庆正上方，B正确;在地球北极处，有G＝mg1，在地球赤道处有G－mR＝mg2，对于地球同步卫星有G＝mkR，解得＝1－，C正确，D错误。 考点五　宇宙速度 1.第一宇宙速度的推导 方法一:由G＝m，得v1＝ m/s≈7.9×103 m/s。 方法二:由mg＝m得v1＝ m/s≈7.9×103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min。 2.宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 例7 (2024·湖南卷，7)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　) A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 答案　BD 解析　地球第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力提供向心力有G＝m，结合mg＝G，可得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，则v月＝v地，可知返回舱在绕月轨道上相对月球的速度小于地球第一宇宙速度，选项A错误，B正确;根据G＝mR，又GM＝gR2，可得T＝，可知·，选项C错误，D正确。 考点六 双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2。 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 例8 （2025·辽宁二模）厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　） A.角速度等于红矮星绕O点运动的角速度 B.轨道半径大于红矮星的轨道半径 C.向心力大小约为红矮星的3倍 D.向心加速度小于红矮星的向心加速度 答案：AD 解析：中子星与红矮星组成双星系统，它们同时绕连线上某点O做匀速圆周运动，则此中子星绕O点运动的角速度等于红矮星绕O点运动的角速度，故A正确；中子星与红矮星之间的万有引力是一对相互作用力，大小相等，由万有引力提供向心力，可知中子星与红矮星做匀速圆周运动的向心力大小相等，则有m中ω2r中＝m红ω2r红，m中a中＝m红a红，由于中子星质量大于红矮星质量，则中子星的轨道半径小于红矮星的轨道半径，中子星的向心加速度小于红矮星的向心加速度，故B、C错误，D正确。 考点七 多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 例9 （2025·河南商丘期末）天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位。如图所示，质量均为M的P、O、S三颗星位于同一直线上P、S两颗星围绕中央星O在同一半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，已知万有引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则（　　） A.P星和S星的角速度相同 B.P星和S星的线速度相同 C.P、O、S三颗星所受合外力大小相等 D.P星的周期为 答案：A 解析：由于P、S位于同一轨道上，P、S的角速度相同，由v＝ωR可知，P、S两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项A正确，B错误；由对称性可知，P、S对O星的万有引力等大反向，O星所受合外力为0，O、P对S星的万有引力的合力FS＝＋＝，P星所受合外力与S的之大小相等，方向相反，而O星所受合外力大小为0，选项C错误；由＝MR，解得T＝，则D错误。 1 学科网（北京）股份有限公司 $