代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义-2025-2026学年人教版七年级数学下册

代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 考点目录 代入消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组 考点一 代入消元法解二元一次方程组 【知识点解析】 一、解题原理 从方程组中选一个易变形的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入其余方程，消去该 未知数，实现降元，适用于某未知数系数为士1的方程组。 二、解题思路（三步法：变→代→解回代） 1.变形：选一个方程，将其中一个未知数（如y)整理为y=ax+b的形式： 2.代入：把变形后的代数式代入另一个未变形的方程，消去该未知数，得到仅含一个未知数的一元一次方程； 3.解+回代：解一元一次方程得一个未知数的值，将其代入变形后的代数式，求另一个未知数，最终写方程组的解。 关键：变形后仅代入其余方程，避免代入原方程导致恒等式。 【例题分析】 例1.(24-25七年级下·河南南阳·月考)解方程组： x+2y=5 0)3x-y=1 3x+4y=2 2)12x-y=5 【答案】（①） x=1 y=2 (2) x=2 y=-1 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 x+2y=5① 【详解】(1)解： 3x-y=1②' 由②得y=3x-1③， 把③代入①得x+2(3x-1=5, 整理得7x=7, 解得x=1, 把x=1代入③得y=3×1-1=2, x=1 :原方程组的解为 y=2 3x+4y=2① (2)解： 2r-y=5②， 由②得y=2x-5③， 把③代入①得3x+42x-5)=2, 整理得11x=22, 解得x=2 把x=2代入③得y=2×2-5=-1, x=2 :原方程组的解为 y=-1 3(x+y_2x-y=2 例2.(24-25七年级下·四川绵阳·月考)解方程组： 5 4 x-2y=-1 x=3 【答案】 y=2 3(x+y_2x-y=20 【详解】解： 5 4 x-2y=-1② 由②得，x=2y-1③， 将③代入0得，32y-1+122y-)-y=2, 5 4 解得y=2, 将y=2代入③，得x=2×2-1=3, 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 x=3 因此该方程组的解为 y=2 [2x-y=4 例3.(24-25七年级下·吉林长春·月考)解二元一次方程组： x+3y=9' x=3 【答案】 y=2 【详解】解： 2x-y=4① x+3y=9② 由②得x=9-3y③ 把③代入①得2(9-3y)-y=4, -7y=-14, 解得y=2, 把y=2代入③得x=3, x=3 :原方程组的解为 y=2 【变式训练】 2x-y=2 变式1.(24-25九年级下·江苏盐城期中)解方程组： 3x+2y=-11 x=-1 【答案】 y=-4 2x-y=2g① 【详解】解： 3x+2y=-11e②' 由①得y=2x-2③， 将③代入②得3x+2(2x-2)=-11, 解得x=-1, 将x=-1代入③得 y=2×-1-2=-4, x=-1 所以方程组的解为 y=-4 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 [2x-3y=3 变式2.(25-26七年级上·安徽六安期末)解方程组： 4x-y=-41 X=- 【答案】 2 y=-2 2x-3y=3① 【详解】解： 4x-y=-4② 由②得：y=4x+4③； 将③代入①得：2x-34x+4)=3, 去括号得：2x-12x-12=3, 移项合并同类项得：-10x=15, 两边同时除以-10得：x=-3 将=代入@得：y=4( 3 +4=-6+4=-2; 3 X=- 故方程组的解为 2 y=-2 变式3.(24-25七年级下·广东广州月考)用代入法解下列方程组： x+y=8 (1) 7x-22x+y)=-1 2 2+=3 8x+3y=-1 [x=3 【答案】四y=5 x=-47 (2) y=125 x+y=8① 【详解】(1)解： 7x-2(2x+y)=-1② 化简方程②： 7x-4x-2y=-1 3.x-2y=-1③ 由方程①得：y=8-x, 代入方程③： 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 3x-2(8-x=-1 3x-16+2x=-1 5x=15 x=3 将x=3代入y=8-x,得：y=8-3=5 x=3 方程组的解为 y=5· 2 （2)解： x+5y=30 8x+3y=-1② 由方程①得：x=3- 5, 代入方程②： 3-3初 24、16 y+3y=-1 通分计算24-写=- 1 y-25 y=125 将y=125代入=3-，得：=3号x125=-47 5 [x=-47 方程组的解为 y=125· 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 考点二 加减消元法解二元一次方程组 【知识点解析】 一、 解题原理 通过给方程同乘常数，使方程组中某一个未知数的系数互为相反数或相等，再将方程两边相加/相减，消去该未 知数，实现降元，适用于未知数系数无士1的方程组，消元效率更高。 二、解题思路（四步法：配系数→加减→解回代） 1,配系数：观察方程组，选一个消元目标，给两个方程分别乘适当常数，使该未知数的系数相等或互为相反数； 2.加减消元：系数互为相反数则两方程相加，系数相等则两方程相减，消去该未知数，得一元一次方程； 3.解+回代：解一元一次方程得一个未知数的值，将其代入原方程组任意一个方程，求另一个未知数； 4.验根（可选）：将解代入原方程组，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 关键：配系数时等式两边同乘非零常数，加减时注意各项符号（尤其是相减时）。 【例题分析】 例1.(24-25七年级下山东聊城期中)解方程组： x+4y=13 (1) 2x+3y=16 xy-2=2 (2)23 3x+2y=12 x=5 【答案】(1) y=2 y=1 x+4y=13① 【详解】(1)解： 2x+3y=16②' ①×2得：2x+8y=26③， ③-②得：5y=10, 解得y=2, 6 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 把y=2代入②得：2x+6=16, 解得x=5, x=5 故原方程组的解是： y=29 E-y-2=20 (2) 23 3x+2y=12② ①×6并整理得：3x-2y=8③， ②+③得：6x=20, g器号 把x=，代入②得：10+2y=12, 解得y=1, 10 X= 故原方程组的解是： 3 y=1 [2x-y=1 例2.(25-26九年级下·浙江温州·开学考试)解方程组 x+y=5 【答案】原方程组的解为 x=2 y=3 2x-y=1① 【详解】解： x+y=5②’ ①+②，得3x=6, 解得x=2, 把x=2代入②，得y=3, x=2 故原方程组的解为 y=3 例3.(24-25七年级下山东烟台·期中)解方程组： 3(x-1=y+5 (1) 5(y-1=3(x+5) -y=5 3 (2) -y=1 4 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 [x=5 【答案】(1) y=7 x=48 (2) y=11 3x-y=8① 【详解】(1)解：整理得： -3x+5y=20②' ①+②得：4y=28, 解得：y=7, 把y=7代入①得：3x-7=8, 解得：x=5, 「x=5 0y=7 3y=50 x (2)解： 4y=1② x ①-②得：12 1 =4, 解得：x=48, 把x=48代入①得：16-y=5, 解得：y=11, [x=48 y=11 【变式训练】 变式1.(24-25七年级下·广西桂林·期中)解方程组： 7x+3y=15 (1) 2x-3y=12 2x-3y=4 6 (2) 5x+15y-5-0 3 x=3 【答案】（①） y=-2 8 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 25 x= 3 (2) y=- 22 9 [7x+3y=15① 【详解】(1)解： 2x-3y=12②' ①+②，得9x=27, 解得x=3, 将x=3代入①，得7×3+3y=15, 解得y=-2, x=3 方程组的解为 y=-2 2x-3y=4 (2)解： 6 5x+15y-5=0 3 2x-3y=24① 方程组整理，得 x+3y=1②' ①+②，得3x=25, 解得x=2 3’ 代入2.得曾 将x=25 +3y=1, 解得y= 22 9, 25 x= 3 “方程组的解为 y=-9 变式2.(25-26七年级下·湖南长沙月考)解方程组： x+3y=2 (1) 2x-y=-3 x-2y=1 25x+2y=17 【答案】（①） x=-1 y=1 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 x=3 Qfy-1 [x+3y=2① 【详解】(1)解： 2x-y=-3②' ①×2-②得2x+6y-(2x-y)=2×2--3),解得：y=1, 将y=1代入①可得x+3x1=2,解得：x=-1, 故方程组的解是 x=-1 y=1· [x-2y=1① (2)解： 5x+2y=17②' ①+②得6x=18,解得：x=3, 将x=3代入①可得3-2y=1,解得：y=1, 故方程组的解是 x=3 y=11 变式3.(25-26七年级下·河南南阳·期中)解方程（组）： (1) x+y=6① 2x-y=9② -2=11k+b① (2) -20=2k+b② [x=5 【答案】(1) y=1 [k=2 Q1b=-24 【详解】(1)解： x+y=6① 2x-y=9② ①+②，得3x=15, 解得x=5, 把x=5代入①，得5+y=6, 解得：y=1, 10代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 考点目录 代入消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组 考点一 代入消元法解二元一次方程组 【知识点解析】 一、解题原理 从方程组中选一个易变形的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入其余方程，消去该 未知数，实现降元，适用于某未知数系数为士1的方程组。 二、解题思路（三步法：变→代→解回代） 1.变形：选一个方程，将其中一个未知数（如y)整理为y=ax+b的形式： 2.代入：把变形后的代数式代入另一个未变形的方程，消去该未知数，得到仅含一个未知数的一元一次方程； 3.解+回代：解一元一次方程得一个未知数的值，将其代入变形后的代数式，求另一个未知数，最终写方程组的解。 关键：变形后仅代入其余方程，避免代入原方程导致恒等式。 【例题分析】 例1.(24-25七年级下·河南南阳·月考)解方程组： x+2y=5 )13x-y=1 「3x+4y=2 2)12x-y=5 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 3(x+y_2x-y=2 例2.(24-25七年级下·四川绵阳·月考)解方程组： 5 4 x-2y=-1 [2x-y=4 例3.(24-25七年级下·吉林长春·月考)解二元一次方程组： x+3y=91 【变式训练】 2x-y=2 变式1.(24-25九年级下·江苏盐城期中)解方程组： 3x+2y=-11 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 2x-3y=3 变式2.(25-26七年级上安徽六安期末)解方程组： 4x-y=-41 变式3.(24-25七年级下·广东广州月考)用代入法解下列方程组： x+y=8 (1) 7x-22x+y)=-1 [2 (2) +5y=3 8x+3y=-1 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 考点二 加减消元法解二元一次方程组 【知识点解析】 一、 解题原理 通过给方程同乘常数，使方程组中某一个未知数的系数互为相反数或相等，再将方程两边相加/相减，消去该未 知数，实现降元，适用于未知数系数无士1的方程组，消元效率更高。 二、解题思路（四步法：配系数→加减→解回代） 1.配系数：观察方程组，选一个消元目标，给两个方程分别乘适当常数，使该未知数的系数相等或互为相反数： 2.加减消元：系数互为相反数则两方程相加，系数相等则两方程相减，消去该未知数，得一元一次方程； 3.解+回代：解一元一次方程得一个未知数的值，将其代入原方程组任意一个方程，求另一个未知数： 4.验根（可选）：将解代入原方程组，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 关键：配系数时等式两边同乘非零常数，加减时注意各项符号（尤其是相减时）。 【例题分析】 例1.(24-25七年级下山东聊城期中)解方程组： x+4y=13 (0)2x+3y=16 xy-2=2 (2)23 3x+2y=12 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 2x-y=1 例2.(25-26九年级下·浙江温州开学考试)解方程组 x+y=5 例3.(24-25七年级下山东烟台·期中)解方程组： 3(x-1)=y+5 (0)5y-1=3x+5) -y=5 (2) 4y=1 【变式训练】 变式1.(24-25七年级下·广西桂林·期中)解方程组： 7x+3y=15 (1) 2x-3y=12 2x-3y=4 6 (2) 5x+15y-5=0 03 代入消元法与加减消元法解二元一次方程组讲义 变式2.(25-26七年级下·湖南长沙月考)解方程组： .x+3y=2 0012x-y=-3 x-2y=1 2) 5x+2y=17 变式3.(25-26七年级下·河南南阳期中)解方程（组）： x+y=6① (012x-y=92 [-2=11k+b① (2) -20=2k+b② 6