9.1.2 用坐标描述简单几何图形（分层题型专练，3夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第九章 平面直角坐标系 9.1.2 用坐标描述简单几何图形 （分层题型专练） 题型一 坐标系中三角形简单的问题 1．如图，是由的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（   ） A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2 2．如图，若由点，，确定的的面积为2，则的值为_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为___________． 4．如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为______． 5．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b及的值； (2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标． 题型二 坐标系中四边形简单的问题 1．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 4．如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为______． 5．如图，正方形中，顶点，都在平面直角坐标系的轴上，点在点右侧．若点的坐标为，则点的坐标为______． 6．如图，在四边形中，，，已知． (1)点的坐标为 ； (2)在轴上找一点，使得． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 题型三 坐标系中面积问题 1．在平面直角坐标系中，由点，点，点组成的三角形的面积为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在平面直角坐标系中有三点：A，B，O，则的面积为（    ）平方单位． A．3 B．4 C．5 D．6 4．在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 题型一 求坐标系中符合条件的点的个数 1．对于两定点，若线段外存在点使得的面积为10，则点为线段的“满10点”．在平面直角坐标系中，已知，则在四边形的各边上为线段的“满10点”个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．若在第一象限内存在一点D，且横坐标、纵坐标均为整数，使得，则满足条件点D的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 根据面积求参数的值 1．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 2．已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，其中，若该三角形的面积为，则的值是______． ∵ ，，，其中, ∴，，，, ∵, ∴， 解得， 故答案为:． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且的面积为3，则________． 题型三 一题多解问题 1．已知直线轴且与轴的距离等于7，则直线与轴交点坐标是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4，那么点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为____________． 1．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为_______． 4．在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题： ①若轴，则； ②若轴，则； ③若，则A、B、C三点在同一条直线上； ④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为． 其中真命题有__________（填序号）． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 6．如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 平面直角坐标系 9.1.2 用坐标描述简单几何图形 （分层题型专练） 题型一 坐标系中三角形简单的问题 1．如图，是由的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（   ） A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据坐标系中点的位置可得，据此根据对应点坐标之间的关系可得答案． 【详解】解；由题意得，， ∴点A的横坐标和纵坐标都乘以2得到点的坐标，点B的横坐标和纵坐标都乘以2得到点的坐标， 故选；B． 2．如图，若由点，，确定的的面积为2，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，利用三角形的面积公式得出关于的一元二次方程是解题的关键． 根据坐标上点和点的位置，可以得到的长为,由点的坐标，可知以为底的三角形的高为，由三角形的面积公式列式解答即可． 【详解】解： 且的面积为2． ，化简得． 解得：． 故答案为：1． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系中求图形的面积是解题的关键． 先求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可：根据即可得解． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 4．如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，点坐标的规律运算，理解等边三角形的性质，图形翻转规律，找出点不同位置的坐标规律是解题的关键． 分别算出，，，，，，得到每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 翻转第一次：，， 翻转第二次：，， 翻转第三次：，， ∴每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位， ∴， 即翻转了次点的纵坐标位置与初始位置相同， ∴点的纵坐标为， 横坐标的长度为， ∵起始位置点对应的是， ∴横坐标为， ∴点， 故答案为： ． 5．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【答案】(1)6 (2)或或或 （1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解； （2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点B到的距离为3， ∴的面积是； （2）解：由题意得，， 当P点在x轴上， ∴ 解得， ∵ ∴点P坐标为或； 当点在轴上时，记线段与y轴交于， ∵ ∴ ∴， ∴点P坐标为或， 综上：点P坐标为或或或． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b及的值； (2)若点M在y轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）根据非负数的性质解得的值，再根据三角形面积公式求得的值即可； （2）设点的坐标为，则，由题意可得，可得，解方程即可获得点的坐标． 【详解】（1）解：∵，, ∴， ∴，， ∴，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得 或， 故点的坐标为或． 题型二 坐标系中四边形简单的问题 1．如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴轴， ∵长方形对边平行且相等， ∴， ∴轴， ∴，即， 故选：D． 2．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，坐标与图形综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据，，，，结合图形，可分别求出三角形（左）、梯形（中）、三角形（右），再求和即可． 【详解】解：∵一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示）， ∴这块地皮的面积是 ()， 故选：C． 3．如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平面，熟练掌握平行于轴的直线上点的纵坐标相同是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相同得到的纵坐标相同，点的纵坐标相同，据此即可求解． 【详解】解：∵轴， ∴的纵坐标相同，点的纵坐标相同， 故符合题意的只有C， 故选：C． 4．如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为______． 【答案】 【分析】该题考查了坐标与图形，根据坐标的特点，长方形的面积，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，由长方形的面积为6，得到， 得到， 故． 故答案为：． 5．如图，正方形中，顶点，都在平面直角坐标系的轴上，点在点右侧．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的性质，，，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 6．如图，在四边形中，，，已知． (1)点的坐标为 ； (2)在轴上找一点，使得． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与平面综合，坐标系中三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，横坐标差的绝对值即为两点的距离求解即可； （2）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴或． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形的面积 题型三 坐标系中面积问题 1．在平面直角坐标系中，由点，点，点组成的三角形的面积为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键． 由坐标得到轴，，确定点C在直线上运动，且与轴平行，则由即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴，， ∵， ∴点C在直线上运动，且与轴平行， ∴， 故选：C． 2．若点在x轴上，点在y轴上，则三角形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是根据点的位置求其坐标，三角形的面积，先求解，，再求解三角形的面积即可． 【详解】解：点在x轴上，点在y轴上， ，， 解得，， ∴，， ∴三角形的面积为， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中有三点：A，B，O，则的面积为（    ）平方单位． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求图形面积；求面积有以下两种方法：（1）补形法：计算某个图形的面积，如果它的面积难以直接求出，那么就设法把它补成面积较容易计算的图形；（2）分割法：把所求部分的图形分割成若干份规则的图形，求它们的面积和．过A作轴，过B作轴，两直线交于点E，根据求解即可． 【详解】解：如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点E， ， ， （平方单位）， 故选：． 4．在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：，例如，．当时，所有满足该条件的点围成的图形的面积为（   ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征． 根据的定义和可知或，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形． 【详解】解：∵， ∴或． 如图， ①当时，点P满足或， 在图象上，线段即为图中正方形的右边，线段即为图中正方形的左边； ②当时，点P满足，或， 在图象上，线段即为图中正方形的上边，线段即图中正方形的下边． 则所有满足该条件的点围成的图形为边长为4的正方形， ∴所有满足该条件的点围成的图形的面积为， 故选：D． 题型一 求坐标系中符合条件的点的个数 1．对于两定点，若线段外存在点使得的面积为10，则点为线段的“满10点”．在平面直角坐标系中，已知，则在四边形的各边上为线段的“满10点”个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，熟练掌握新定义，平面直角坐标系中点的坐标特点，是解题的关键．先根据，得出轴，且，根据“满10点”定义得出点P到的距离为2，根据点C到的距离为，点O到的距离为2，得出和上只有点O到的距离为2，在和上各有1个点到直线的距离为2，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴轴，， ∵， ∴点P到的距离为2， ∵，， ∴点C到的距离为，点O到的距离为2， ∴和上只有点O到的距离为2，在和上各有1个点到直线的距离为2， ∴在四边形的各边上为线段的“满10点”个数是，故C正确． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．若在第一象限内存在一点D，且横坐标、纵坐标均为整数，使得，则满足条件点D的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据网格的特点结合题意画出图形，写出点D的坐标即可． 【详解】解：如图所示， 根据图形可知， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 题型二 根据面积求参数的值 1．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 2．已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，其中，若该三角形的面积为，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．利用坐标法计算三角形面积，通过建立方程求解的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ，，，其中, ∴，，，, ∵, ∴， 解得， 故答案为:． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，且的面积为3，则________． 【答案】2或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积等知识点，根据点、的坐标得出在轴上，，根据三角形的面积即可求出． 【详解】解：∵点，， ∴在轴上，， ∵的面积为 3 ， ， 解得：或， 故答案为：2或． 题型三 一题多解问题 1．已知直线轴且与轴的距离等于7，则直线与轴交点坐标是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟练掌握平行于x轴的特点，注意进行分类讨论．根据直线轴且与轴的距离等于7，分两种情况，求出直线与轴交点坐标即可． 【详解】解：∵直线轴且与轴的距离等于7， ∴当直线a在x轴上方时，直线与轴交点坐标是，当直线a在x轴下方时，直线与轴交点坐标是， 故选：A． 2．已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，根据三角形的面积求出点的坐标是解题的关键．设点P的坐标为，根据三角形的面积为4即可求出x的值． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， ，的面积为4， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故选：C． 3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4，那么点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴点N的纵坐标为2． ∵点N到y轴的距离为4， ∴点N的横坐标为4或， ∴点N的坐标为或； 故选：B． 4．若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出即可． 【详解】解：如图，设， 由题意：， 或， 或， 故答案为：或． 1．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 2．平面直角坐标系中由两点，规定，则称点为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点，，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标有（   ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义． 根据“和点四边形”的定义，需考虑点C为A、B的和点，或A、C的和点为B，或B、C的和点为A三种情况，分别计算点C的坐标，再判断选项中符合条件的个数． 【详解】解：当C为A、B的和点时： C的坐标为，对应选项①． 当B为A、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项②． 当A为B、C的和点时： 设C的坐标为，则，解得，，对应选项③． 选项④验证： 不存在任何情况使得④满足上述条件． ∴点C的坐标有3个． 故选C． 3．在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ， ， 与的面积相等， ， ， 或， 点的坐标为或． 故答案为：或． 4．在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题： ①若轴，则； ②若轴，则； ③若，则A、B、C三点在同一条直线上； ④若，三角形的面积等于8，则点C的坐标为． 其中真命题有__________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据平行x轴的点的坐标特点，平行y轴点的坐标特点，点与直线的关系，坐标与图形的面积关系，解答即可． 【详解】解：，， ∵轴， ∴， ∴， 故①正确； ∵轴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴，， ∴在直线上，不在上面； 故③错误； ∵，，， ∴在直线上，，， ∴， 点A到直线的距离为， ∵三角形的面积等于8， ∴， 解得， 故点C的坐标为 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行x轴的点的坐标特点，平行y轴点的坐标特点，点与直线的关系，坐标与图形的面积关系，熟练掌握坐标的特点是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 6．如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 【答案】(1)建系见解析，长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、 (2)，，三点坐标分别为：，， 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，求点的坐标，理解题意是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系即可得出结果； （2）根据题意结合图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系： ∵长方形草坪（长12米、宽8米）， ∴， ∴长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、； （2）∵喷头在草坪中心， ∴过点A作轴，轴， ∴， ∴， ∵石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米； ∴即， ∵花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米， ∴ ． 7．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 学科网（北京）股份有限公司 $