11.3 一元一次不等式组（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“一元一次不等式组”，涵盖概念、解法及应用。课堂导入通过工程队抽水问题，衔接二元一次方程组概念与数轴表示不等式解集的旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动学习，通过类比二元一次方程组引出不等式组概念，培养类比推理能力。利用数轴表示解集渗透数形结合思想，发展几何直观，典型例题与分层练习结合，强化模型意识，助力学生用数学语言解决实际问题。

第11章 不等式与不等式组 11.3 一元一次不等式组 【学习目标】 1. 理解一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的解法，体会迁移思想，培养类比推理能力. 2. 会利用数轴表示一元一次不等式组的解集，进一步渗透数形结合思想，发展几何直观. 【学习重点】一元一次不等式组的解法. 【学习难点】用数轴表示一元一次不等式组的解集 【自主学习】 1. 二元一次方程组的概念. 2. 在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么? 问题 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围. 【合作探究】 探究点一、一元一次不等式组的概念 填一填：(1) 如果设用 x h 将污水抽完，那么积存的污水是 t. 根据已知条件我们知道 x 的取值范围要使 和 这两个不等式同时成立. (2) 将 (1) 中得到的两个一元一次不等式用 联立起来，便组成一元一次不等式组：. (3) 参考二元一次方程组的概念给出一元一次不等式组的概念. 一元一次不等式组的概念 把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作. 特征: ① 含同一个未知数，且未知数的次数为 1； ② 包含 2 个或 2 个以上的一元一次不等式； ③ 左边用一个大括号括起来. 判一判 判断下列不等式组是否为一元一次不等式组： (1) (2) (3) (4) 探究点二、解一元一次不等式组 怎样确定不等式组中 x 的取值范围呢？ 类比方程组的求解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 可以取值的范围. 问题：分别解不等式 3x＞1200 ①和 3x＜1500 ②，并把它们的解集在同一个数轴上面表示出来. 问题1：上面两个不等式是否有公共部分? 怎么表示公共部分的范围呢? 问题2：什么叫一元一次不等式组的解集? 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集. 解不等式组就是求它的解集. 合作探究:求下列不等式组的解集：你能发现什么规律? 第一组 第二组 第三组 第四组 x＞5 x＞3 x＜5 x＞3 x＜5 x＜3 x＞5 x＜3 x＞1 x＞2 x＜2 x＞1 x＜1 x＜2 x＞2 x＜1 第一组： 同大取大 第二组： 大小小大中间找 第三组： 同小取小 第四组： 大大小小无处找 归纳总结 求解方法：先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后利用数轴确定解集. 【练一练】 1.求下列不等式组的解集： 不等式组 不等式组 的解集 【典型例题】 例1 解下列不等式组： （1） （2） [练一练] 2. 解不等式组： 探究点二、一元一次不等式组的应用 [典型例题] 例2 已知不等式组 的解集为－1＜x＜1，则 (a＋1)(b－1) 的值为多少? 问题1：由 ① 得_____________，由 ② 得_____________. 问题2：方程组的解集应表示为______________________________. 追问：3＋2b＜x＜ 和 －1＜x＜1 都是不等式组的解集.它们之间有什么联系?请完整的写出该问题的解答过程. 例3 x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1) 与 都成立？ [练一练] 3. 若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是( ) A. a≥l B. a＜－1 C. a≤1 D. a≤－1 课堂检测 1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(　　) A. B. C. D. 2.不等式组的解集是(　　) A. x＜1 B. x≥3 C. 1≤x＜3 D. 1＜x≤3 3. 在平面直角坐标系中，若点Q(m，－2m＋4)在第一象限，则m的取值范围是 ____________________. 4. 如果不等式组 的解集是x ≥1，那么m的取值情况是______. 5. 解下列不等式组： (1) (2) 6. 某次知识竞赛共有20道题，每题答对得5分，答错或不答都扣3分. (1)小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ (2)小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题. 参考答案 【自主学习】 1.含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组 2.画数轴、定边界点、定方向. 【合作探究】 探究点一、一元一次不等式组的概念 判一判 解：(1) 不是； (2) 是；(3) 不是；(4) 是. 探究点二、解一元一次不等式组 练一练1. x＞-3 -5＜x≤-3 x＜-3 无解 典型例题例1（1）解：解不等式①，得x＞2.解不等式②，得x＞3.不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为 x＞3. （2）解：解不等式①，得 x≥8，解不等式②，得 x < 4/5.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解. 练一练2.解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＜-3. 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图. 由图可知，不等式①②的解集的公共部分就是 x＜-3，所以这个不等式组的解集是 x＜-3. 探究点三、一元一次不等式组的运用 问题1 x＜a+1/2 x＞3＋2b 3＋2b＜x＜a+1/2 追问 解：由不等式组得 , 因为不等式组的解集为 －1＜x＜l， 所以 解得 所以 (a＋1)(b－1)＝2×(－3)＝－6. 例3 解：由题，解不等式组 得- ，故 x 可取的整数值有 -2，-1，0，1，2，3，4. 练一练3. a 课堂检测 1.a 2. D 3. 0＜m＜2　4. m＝1　 5.解：(1)－1＜x＜1. (2)－3＜x≤2. 6.(1)解：设小明答对了x道题，则由题意得5x－3(20－x)＝68，解得x＝16.故小明答对了16道题. (2)依题意，得 解得161/4 ≤y≤183/4 . ∵y是正整数，∴y＝17 或 18. 答：小亮答对了17道题或18道题. 学科网（北京）股份有限公司 $