精品解析：河南商丘市睢县高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考测试数学试卷

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考测试卷 20260406 （考试时间：120分钟，分值：150分） 命题人：王克轶 审题人：刘红超 马建伟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.2）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解. 【详解】由已知，D为的中点，所以， 所以. 故选：D. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 4. 设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线的向量表示方法即可求解. 【详解】由题意可知,, 因为三点共线，所以,即， 所以 ，解得. 故选:A. 5. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：C 7. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】在在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再解即可得解. 【详解】由题意可知，在中，， 则， 所以， 在中，， 则， 由正弦定理得， 所以， 在中，， 则，所以， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为. 故选：D. 8. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入， 设，即原式， 因为，所以. 因此，的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】对A，因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 对B，设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 对C，设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项正确； 对D，因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项错误. 故选：BC. 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】AD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，， 根据正弦定理 ，所以有两解，所以有两解，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离． 【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则. 因为为圆锥底面圆的周长，即， 由弧长公式得，. 所以， 故答案为：． 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一. 【详解】法一：由正弦定理角化边得， 由， 所以. 由， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，则，， 因为为锐角三角形，，解得， 设，则，. 法二：由正弦定理角化边得. 由余弦定理，则. 由正弦定理，则. 则， 由为锐角三角形，得，. 所以，即，后续同法一. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， （2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解. 【小问1详解】 ，所以， 【小问2详解】 由可得 故 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 17. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【小问1详解】 因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 18. 如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． （1）求； （2）求． （3）用和表示． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算易得； （2）建立直角坐标系，求出点的坐标，利用向量的夹角求； （3）根据三点共线得，通过向量线性运算，将用和表示，从而将表示成，最后利用共线向量定理得到，求出的值即得. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 即， ，即． 【小问2详解】 如图，以为原点,直线为轴建立直角坐标系. 依题得到：，，，， 设点，由可得：， 即，解得：，所以， ，, 则，， 由． 【小问3详解】 三点共线，所以存在使得，， ， ， 又三点共线，所以，即． ． 【点睛】方法点睛：本题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算的应用，属于较难题. （1）对于求向量模长，可运用定义法，或者数量积的运算律计算； （2）对于夹角问题，一般转化成两向量夹角处理，通过建系用向量坐标计算可简化过程； （3）在求向量表达式中的参数时，常常需要运用共线向量定理解决. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考测试卷 20260406 （考试时间：120分钟，分值：150分） 命题人：王克轶 审题人：刘红超 马建伟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.2）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 4. 设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 7. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 8. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，则____________． 13. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； （2）若复数满足，求． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 17. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 如图，在中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． （1）求； （2）求． （3）用和表示． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $