北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习(一) 数学试题

北京市东城区2025一2026学年度第二学期高三综合练习（一） 数学 2026.4 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷土作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 (1)已知集合A={x一2<x<2},B={x|x<1},则AUB= (A)(-2,1) (B)(1,2) (C)(-∞，1) (D)(-∞，2) (2)已知复数x=(2i一1)(a一i)为纯虚数，则实数a= (A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 (3》双面线2-菁-1的焦距为 (A)1 (B)√2 (C)2√2 (D)4 (④)在△ABC中，已知∠B=吾，Q=5,c=23,则6= (A)√5 (B)√6 (C)√7 (D)22 (5)实数a,b满足a十b≥0，ab<0,则 (A)a+b>2-ab (B)|a-b≥2√-ab (C)a2+b2>-2ab (D)a2-b|≥-2ab 高三数学第1页（共6页】 (6)已知x十4x3+7x2十7x十3=(x十m)4十A(x十m)2+B(x+m)十C,则实数m= (A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2 (7)已知AB为圆O:x2+y2=4的一条弦，弦AB绕点O旋转一周扫过的区域为Ω. 若点(1,1)∈2，则|AB|的取值范围为 (A)[1,2] (B)[√2,2] (C)[2,4] (D)[22,4 (8)在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=2BC,BB1>BC,则 (A)棱BC1上存在点P,使得PB=PD (B)棱B1C1上存在点P,使得PB⊥PD (C)棱CD上存在点P,使得PB=PD (D)棱CD上存在点P,使得PB⊥PD (9)已知函数f(x)的定义域为R,对实数xo,设集合A={x|f(x)≥f(x)》,集合 B={x|f(x)≤f(-x)},那么“Hx∈R,B={x-x∈A}”是“f(x)为 奇函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 ，(D)既不充分也不必要条件 (10)已知等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，且公差均不为0.若a1o十b=10, 则a5十b1o的最小值为 (A)15 (B)10 (C)9 (D)5 高三数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=一1，那么C的焦点到准线的 距离为 (12)已知sin(5+a)=sin(r十a),则a可以为 (l3)设单位向量a,b满足a⊥b.若c=a十2b,则c=__;若a十b与ta十b的 夹角为5，且>1，则实数= (14)在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构 的等比数列a,则= 1 成公比为 ；为研究纯五度音程与纯四度 a1 音程的关系，从该等比数列{an}中寻找两项a,a,使得 as 最小， a 则s一t= .(参考数据：1og23≈1.585) (15)已知函数f(x)的定义域为[0，+∞)，且f(x十2)=f(x).当x∈[0,2)时， x, 0≤x≤1， f(x)= 设k为大于1的正整数，给出下列四个结论： 2-x,1<x<2 ①存在x∈(0,1)，使得f(2x)=x且f(3x)=x; ②方程f(kx)=x的解的个数为k; ③若号为方程f(x)=x的解，则的最小值为4； ④对任意有理数xo∈(0,1)，存在k,使得f(kxo)=xo· 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f(x)=sinwxcoSwx十√3 sinwx十m(aw>0). (I)若ω=2，f(交)=0，求实数m的值； (Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使f(x)存在且 唯一，求f(x)在区间[，]上的取值范围. 条件①：f)=0; 条件②，f(x)的最小正周期为π； 条件③：f(x)的最大值与最小值之和为0. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条 件分别解答，按第一个解答计分 (17)(本小题14分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，AD∥BC,AD=2BC=2√3，AD⊥BD, ∠BAD=30°，E为AD的中点，PE=√3. (I)设平面PAD∩平面PBC=l,求证：BC∥L; (Ⅱ)若PE⊥平面ABCD,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值. 高三数学第4页（共6页） (18)(本小题13分) 某种机床运行三个月后，需对A,B,C这三项指标是否合格进行检测.现随机 抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表.用“×”表示该指标不合格，用“○”表示 该指标合格， 机床 10 指标 A X O B C 设各机床之间相互独立.用频率估计概率 (I)某台机床运行三个月后，估计这台机床的A指标合格的概率； (Ⅱ)规定A指标合格记1分，B指标合格记2分，C指标合格记2分；若某项指标 不合格，该项指标记0分.将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分.现 从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大·8的概率； (Ⅲ)设随机变量X表示一台机床合格指标的个数.随机抽取10台机床进行检测， 记事件T=“这10台机床中合格指标个数为0,1,2,3的机床台数分别为1,2,3,4” 判断X服从下面哪个分布，事件T发生的概率更大.（结论不要求证明） 分布1 分布2 X 0 1 3 0 1 2 3 0.2 0.2 0.2 0.4 0.1 0.3 0.2 0.4 (19)(本小题15分) 已知椭圆C号+苦=1o>6>0)经过点0,1，离心率为 y2 3 (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过点D(1,0)作斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点，点E(3,)不在直 线l上，直线AE,BE分别交直线x=2于点M,N.求证：四边形DMEN为 平行四边形 高三数学第5页（共6页） (20)(本小题15分) 已知函数f(x)的定义域为（号，十∞），f(1)=1,函数g(x)=xn(2x-1).对任意 (号，十o),曲线y=fx)在点A(,f)处的切线方程为y一f)=g(0(x一). (I)求f(x)的最小值； (Ⅱ)讨论g(x)的单调性； (Ⅲ)已知f(3)<3ln5+1,求过点(2,1)且与曲线y=f(x)相切的直线的条数. (21)(本小题15分) 已知正整数数列A:a1,a2,…,an(n≥4)，令S=a1十a2十…十an·给定非负整数， 若对任意的a,(1≤≤n),都存在正整数i,i2,…,in(1≤i<i2<<in≤n,m>l), 且rt{i,i2,…,im},使得(S-ar)一2(a,十a十…十an)川=，则称数列A具 有性质P(). (I)直接写出数列A1:1,1,2,2和A2:1,1,1,3是否具有性质P(1); (Ⅱ)若数列A具有性质P(k),判断1,2能否同时为A中的项，并说明理由； (Ⅲ)已知n为奇数，A:a1,a2,…,a.(n≥7)是首项为1，公差为2的等差数列， 求证：数列A具有性质P(0) (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 北京市东城区2025一2026学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 2026.4 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)A (3)D (4)C (5)B (6)A (7)D (8)C (9)B (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)2 (12)4 压（答案不唯一） (13)√52+√3 (14)多 5 (15)②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：(I)因为w=2,f(T)=0, 所以sin受cos受+3sim2受+m=5+n=0. 獬得=一√5.……5分 (Ⅱ)选择条件①②. f(x)in2(1c0s2)m -sn2wx-受)+9+m 因为f(x)的最小正周期为π， 所以吗亮 解得ω=1. 水爱)=m(号-爱++m=州十夏-0，即m=- 2 2 所以f()=sin(2x-号). 因为警≤≤x,所以<2x-晋<要 所以一1≤f(x)≤0. 所以函数f(x)在区间否，]上的取值范围是[-一1,0].…13分 高三数学参考答案及评分标准第1页（共6页） 选择条件②③ f(x)= sin2wx (1-c0s20x)fm 2 -sin(2ox- )+5+m 3 2 因为f(x)的最小正周期为π， 所以% 解得ω=1. x)的最大值为m+1+,最小值为m一1+ 2 所以最大值与最小值之和为2m+V5=0.即m=一 所以f(a)=sin(2x-受). 因为号≤≤，所以≤2-吾< 所以-1≤f(x)≤0. 所以函数f(x)在区间[受]上的取值范围是[-1,0].…13分 (17)(共14分) 解：(I)因为AD∥BC,ADC平面PAD,BC在平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因为BCC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=I, 所以BC∥儿.………5分 (Ⅱ)取AB的中点F,连接EF, 2. P 因为E为AD中点， 所以EF∥BD 因为AD⊥BD, E 所以EF⊥AD. 又因为PE⊥平面ABCD,ED,EFC平面ABCD,x 所以PE⊥ED,PE⊥EF. 如图建立空间直角坐标系E一xy之， 则A(0,一√3,0)，B(2,W3,0),C(2,23,0),D(0,√3,0)，P(0,0w3) 因此A巾=(05W5),AB=(2,25,0),B=(-2,-√3√3)，BC=(0,W3,0). 高三数学参考答案及评分标准第2页（共6页） m·Ap=0,3y+3x=0, 设平面PAB的法向量为m=(x1,yM1,之)，则 即 m.Ai=0,2x+231=0. 令x1=3,则y1=一1,1=1.于是m=(5,一1,1). 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,之2)， n·BC=0,fW3y2=0, 则 即 n·Bd=0,-2.2-52+3x=0. 令x2=√3，则y2=0,x2=2.于是n=(W3,0,2). 设平面PAB与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos(m,n=m·m= mn 7 所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为厘， …14分 (18)(共13分) 解：(I)设事件M=“这台机床的A指标合格”， 样本中A指标合格的机床有6台， 所以P(0=合=子 所以这台机床A指标合格的概率估计为号 …3分 (Ⅱ)设事件M1=“一台机床评分为5”； 设事件M2=“一台机床评分为4”； 则P(M)=子，P(M)= 这两台机床评分总和大于8的概率估计为 PM)PM)+P(M,)P(M)+P(M,)P(M)=号×吉+专×号+号×号 8 = 25 10分 (Ⅲ)分布2 ........ 13分 (19)(共15分) 6 a 3, 解：(I)由题意得 b=1, 解得a=√3，b=1. a2=b2+c2, 所以椭圆C的方程为号十y=1,………5分 高三数学参考答案及评分标准第3页（共6页） (Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x一1). 线段DE的中点为(2,2) {y=k(x-1), 由 得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0, x2+3y2=3, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 6k2 3k2一3 则x1+x:=1十312=1+3k 直线AE的方程为)一号一3》直线BE的方程为一”身x一3》 x1一3yw=n-2二2n 令x=2,得点M,N的纵坐标分别为yw=n-二，y x2-3 因为yM十yw=2n-一”-y2一n x1-3x2-3 =2m-y-1)(.2-3)+(2-)(2-3) （x1-3)(x2-3) =2m-Ck1-k-1)(2-3)+(kx2-k-n)(1-3) (x1-3)(x2-3) =2n-2kx-（4k+m)(+2)+6k+6m x1x2-3(x1十x2)+9 2kX2-1 =21一 3次2+-(4+0 2k2 3k2+7+2k+2m k2-16k 3k2+13k2+1+3 =2m-26+1 2k2+1 =21一n =1. 所以线段DE与MN的中点重合. 所以四边形DMEN为平行四边形.…15分 (20)(共15分) 解：(I)由题意得f(x)=xln(2x-1),x∈（分，+∞）， 所以当x∈（号，1）时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=1时，函数f(x)取最小值，故f(x)的最小值为∫(1). 因为(1)=1，所以函数f(x)最小值为1.…5分 高三数学参考答案及评分标准第4页（共6页）