精品解析：山西忻州某校2025-2026学年高一下学期4月拉练数学试题

高一数学拉练试题（4月6日） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】，所以， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为存在量词命题：，， 故选:C. 3. 设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出底角为，然后利用余弦的二倍角公式求解即可 【详解】由题意得，底角为， 则． 故选：B 4. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，选定为基底，用其表示，再根据向量的数量积求解公式即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 因为四边形是菱形，且，， 故可得； 又， 故. 故选：B. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 为不共线向量，若，则 B. C. 若，则与不一定共线 D. 若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据向量加法的平行四边形法则得到及矩形的判定定理的即可判断； 对于B：由向量数乘的运算法则即可判断； 对于C：对向量是否为零向量进行分类讨论； 对于D：利用平面向量的基本定理直接判断. 【详解】对于A：为不共线向量，则两向量均为非零向量，又由得以向量模长为邻边的平行四边形的两对角线长度相等，因此该平行四边形为矩形，即邻边垂直，故A正确； 对于B：由向量数乘的运算法则知，B正确； 对于C：若均为非零向量，因为，则共线；若为零向量，则不一定共线，故C正确； 对于D：由平面向量的基本定理知，只有当非零且不共线时可以作为一组基底，平面内任意向量都可以表示为故命题才成立.故D不一定成立. 故选：D. 6. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集. 【详解】解：因为，则 所以，则为偶函数， 当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以，即，解得或， 所以的解集为 故选：D. 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 8. 在直角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把用表示，然后由数量积为0可得的关系，再由直角三角形，中不可能是直角，不妨设是直角，则，从而可求得，即． 【详解】因为是的重心，所以， ，， 因为， 所以， 所以，又是直角三角形，而，所以不可能是直角，不妨设是直角，则，因此，，， ． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量垂直的数量积表示，解题关键是把用表示，利用数量积为0建立的关系式，结合直角三角形求得结论．本题也可在假设为直角的情况下建立坐标系，用坐标表示向量的数量积，计算更加方便． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项，化，根据的终边所在象限即可判断； 对于选项，计算得扇形的半径，继而利用扇形的面积公式计算即可； 对于选项，根据终边相同的表示公式进行化简，即可判断； 对于选项，取，验证即可. 【详解】对于选项，且为第二象限角， 为第二象限角，错误； 对于选项，扇形的半径为， 因此，该扇形的面积，正确； 对于选项，因为， 所以与角终边相同的最小正角是，正确； 对于选项，取，则角为锐角， 但，即角为锐角，错误. 故选：BC. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确. 【详解】由题意， ，A错误； ，，所以B正确，C错误； ，D正确. 故选：BD. 11. 已知定义在上的函数，设，，为三个互不相等的实数，且满足，则的可能取值为（ ） A. 15 B. 26 C. 32 D. 41 【答案】BC 【解析】 【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：作出的图像如图： 当时，由，得， 若，，互不相等，不妨设， 因为， 所以由图像可知，， 由，得， 即，即， 则，所以， 因为， 所以， 即， 所以的取值范围是． 故选：BC． 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 已知为锐角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出，则. 【详解】, ，， . 故答案为：. 13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量的坐标． 【详解】向量在向量方向上的投影为， 由于向量在向量方向上的投影向量与共线，且 ， 可得所求向量为， 故答案为：． 14. 已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】令，进而作出的图象，然后通过数形结合求得答案. 【详解】令，现作出的图象，如图： 于是，当时，图象有交点，即函数有零点. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】15. 16. 【解析】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【小问1详解】 ，可得 又 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且． （1）在图中，以A为起点作出向量，使得； （2）在（1）的条件下，求． 【答案】（1）作图见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量； （2）利用向量，为基底，求. 【小问1详解】 ，以A为起点作出向量，如图所示， 【小问2详解】 由图中网格可得：， 由，，且 则有 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值，判断在上的单调性并说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递减，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数为上的奇函数，由求得，再根据函数的单调性定义证明其单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， ，即， 此时，有，满足为奇函数，符合题意； 在上单调递减，理由如下： 任取，且， 则， ，，， ，， 即，故在上单调递减； 【小问2详解】 因， 是奇函数，， 在上单调递减，， 解得，即的取值范围为. 18. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求证：函数为奇函数. （2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数图象关于对称，求，进而得到函数解析式，从而证明； （2）由函数图象的变换规律，得到的解析式，即可求出单调增区间. 【小问1详解】 因为的图象关于直线对称， 所以， 得，，因为，所以当时，， 所以， 所以， 因为， 所以为奇函数成立. 【小问2详解】 由（1）可得：， 将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍， 则 由可得， ， 故函数的单调递增区间是 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）证明：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用二倍角公式得到，，再由正弦定理可得，最后由余弦定理得，分类讨论得解. （2）由（1）得，变形为，由正弦定理可得化为，再结合三角函数值域即可求解. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. 【小问2详解】 由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学拉练试题（4月6日） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 为不共线向量，若，则 B. C. 若，则与不一定共线 D. 若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为 6. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数，设，，为三个互不相等的实数，且满足，则的可能取值为（ ） A. 15 B. 26 C. 32 D. 41 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 已知为锐角，，则__________. 13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 14. 已知函数， 则使函数有零点的实数的取值范围是____________ 四、解答题（本大题共5题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且． （1）在图中，以A为起点作出向量，使得； （2）在（1）的条件下，求． 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值，判断在上的单调性并说明理由； （2）已知，求实数的取值范围. 18. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求证：函数为奇函数. （2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）证明：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $