5.1.2 弧度制课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度换算及弧长和扇形面积公式，通过生活单位制类比导入，回顾初中角度制，结合弧长与半径比值探究引出弧度定义，搭建新旧知识学习支架。 其亮点是以数学抽象构建概念，通过问题链引导发现弧长与半径比值不变性，结合数学运算设计例题变式强化换算技能，注重逻辑推理证明公式并对比角度制公式。学生能提升数学思维，教师可直接用分层练习与总结表格，提高教学效率。

第5章 三角函数 5.1.2 弧度制 学习目标：1.认识与理解弧度制的相关概念（数学抽象）； 2.理解与掌握弧度制与角度制的换算关系（数学运算）； 3.了解弧度制中的弧长公式与扇形面积公式（数学抽象）. 教学重点：弧度制与角度制的换算关系； 教学难点：认识与理解弧度制的相关概念. 教学目标 1千克=2.2046226磅 1米=3.2808399英尺 0摄氏度=32华氏度 （一）情景：日常生活中，有些量可以用不同的单位进行度量．例如度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；度量质量可以用千克、磅等不同的单位制；度量温度可以用℃ (摄氏温度) 、 F (华氏温度) 、 K (热力学温度)等不同单位制． 一.角度制与弧度制的概念 （二）初中的角度制：以度（°）、分（′）、秒（″）为单位来衡量角的大小就叫做角度制. 其中用角度制来度量角时，把一个周角 360等分, 每一份圆弧所对的圆心角就是1°的角．角度制量角用的是六十进制. 1度（°）=60分（′）=3600秒（″） 1分（′）=60秒（″） 一.角度制与弧度制的概念 （三）问题：日常的运算多数是十进制, 角的度量能否像长度的度量一样，可以用除角度制（六十进制）以外的十进制方式来度量呢？ 一.角度制与弧度制的概念 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． (一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？ 一.角度制与弧度制的概念 注1：角度制的弧长公式 （平分法） （其中为半径，为弧所对圆心角的度数） 注2： (一)情景问题： 在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比分别为多少？ 一.角度制与弧度制的概念 据初中所学习的弧长公式 (其中为弧所对圆心角的度数) 可得 故在半径分别为1cm、2cm、5cm的圆中, 圆周角所对的弧长与半径之比都为 对于函数解析式 ∵ 为一个常数（定值） ∴ 与圆心角 的大小 成正比例关系 又∵正比例系数 ∴ 随圆心角 的度数 的增大而增大 故我们可以用弧长与半径的比值来表示这个圆弧所对圆心角的大小 1.弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 一.角度制与弧度制的概念 注： 用弧度制表示角时,可以省略单位“rad”．如“2rad”可以写成“ 2 ”． 但是, 在用角度制表示角时, 不能省略单位度“°”. 我们把半径为1的圆叫做单位圆，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角 正角α 负角α 零角α 2.弧度制角的分类 同时规定，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零. 注：角α的正负由角α的终边的旋转方向决定 一.角度制与弧度制的概念 3.弧度制角的大小 规定：半径为,弧长为的圆心角的大小为 即 “圆心角的绝对值等于它所对弧长与半径之比” 一.角度制与弧度制的概念 （一）探究 ∵半径为的圆的周长是, ∴据弧度制角的大小公式可知 周角360º的弧度数为 故 360° 二.角度制与弧度制的转换 一般地，只需根据       两边同除以180 两边同除以π 就可以进行角度和弧度的换算了. 弧度数=角度数× 角度数=弧度数×     二.角度制与弧度制的转换 【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2)－300°； 二.角度制与弧度制的转换 (3)2； 常见特殊角的角度与弧度对应表：                         二.角度制与弧度制的转换 提示： ，， 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 二.角度制与弧度制的转换 【变式1】把下列角度化成弧度. 【解】（1）22°30′= （1）22°30′ （2）-210° （3）1200°   （2）-210°=   （3）1200°=   二.角度制与弧度制的转换 【变式2】把下列弧度化成角度. 【解】         二.角度制与弧度制的转换 【例】利用弧度制证明下列关于扇形的公式 三.弧长公式与扇形面积公式 证明（1）由弧度制的定义可知 ∵已知 ∴ 故 成立 【例】利用弧度制证明下列关于扇形的公式 三.弧长公式与扇形面积公式 知识梳理 三.弧长公式与扇形面积公式 1.角度制的弧长公式与扇形面积公式（） （1） (平分法) （2） (平分法) 2.弧度制的弧长公式与扇形面积公式（） （1） (定义法) （2） (类三角形法) 【例2】已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 【解】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 整理得R2-5R+4=0，解得R=1或R=4. 当R=1时，l=8，此时，θ=8>2π，舍去. 当R=4时，l=2，此时，θ=. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为. 三.弧长公式与扇形面积公式 【变式1】已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 半径r＝10 cm， 三.弧长公式与扇形面积公式 【变式2】已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则l+2r=4，所以l=4-2r 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1， 所以当r=1时，S最大，且Smax=1， 此时，θ==2. 故当r=1，θ=2时，扇形的面积最大，最大值为1. 解 三.弧长公式与扇形面积公式 23 课堂小结 弧度数=角度数× 角度数=弧度数×     弧度制与角度制相互转换         课堂小结 弧度制中的弧长公式与扇形面积公式 练习（第175页） 练习（第175页） 3．用弧度表示： （1）终边在x轴上的角的集合； （2）终边在y轴上的角的集合． 练习（第175页） 练习（第175页） 练习（第175页） 6．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数． 练习（第175页） 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 3．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 习题5.1（第175页） 4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 不等于1弧度．这是因为长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长，所以等于半径长的弦所对的圆心角大于1弧度． O B A 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） C 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 10．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积S1． （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下来的，而剩余部分的面积为S2 ，求S1与S2的比值； （2）要使S1与S2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1°）？ 习题5.1（第175页） 11.（1）时间经过4 h（时），时针分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次．你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t 关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．） 习题5.1（第175页） 习题5.1（第175页） 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 习题5.1（第175页） 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 习题5.1（第175页） 72°＝72×＝. －300°＝－300×＝－. 2＝2×°＝°. －＝－×°＝－40°. (4)－. 已知扇形的圆心角α＝60°＝， 则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)， 面积S＝lr＝××10＝(cm2). $