27.4 正多边形和圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“正多边形和圆”，涵盖正多边形定义、对称性、外接内切圆及中心、半径等概念与计算。通过生活图案导入，从定义辨析（矩形、菱形是否正多边形）到对称性探究，再到性质推理，构建连贯知识支架。 其亮点是以问题驱动和实例探究培养数学思维与几何直观，如通过正方形推理外接内切圆培养抽象能力，例题（亭子地基计算）结合辅助线作法提升空间观念。小结系统梳理知识，助力学生构建结构，教师可高效教学，学生提升应用与表达能力。

27.4 正多边形和圆 第27章 圆 优翼九下数学教学课件（HS） 下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗? 图片引入 导入新课 问题1 什么叫做正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？ 矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等； 菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等. 注意 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 正多边形的对称性 新课讲授 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 归纳 O A B C D 问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H ∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC. 同理，OA = OD，OB = OC. ∴OA = OB = OC = OD. ∴正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆. 观察与思考 正多边形的性质 O A B C D E F G H ∵ AC 是∠DAB 和∠DCB 的平分线，BD 是∠ABC 和∠ADC 的平分线， ∴ OE = OH = OF = OG. ∴ 正方形 ABCD 还有一个以点 O 为圆心的内切圆. 所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同. 想一想 O A B C D E R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 知识要点 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角 = 中心角 完成下面的表格： 练一练 如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF： ① 它的中心角等于 度； ② OC BC(填＞、＜或＝）； ③ △OBC 是 三角形； ④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积 的 倍. ⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________. C B D O E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 探究归纳 S正多边形 = 例1 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). 抽象成 C D O E F A B 4 m 利用勾股定理，可得边心距 亭子地基的面积 4 m O A B C D E F M r 解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 在 Rt△OMB 中，OB = 4，∠BOM = 30°，MB = 亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)， (1) 正 n 边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P (2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间有什么关系？ a R r (3) 边长为 a，边心距为 r 的正 n 边形的面积是多少？ 其中 l 为正 n 边形的周长. 想一想： 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，则∠ADE 的度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° · A B C D E O 练一练 C 2. 作边心距，构造直角三角形. 1. 连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形中常见的辅助线作法 方法归纳 O 边心距 r 边长一半 半径 R B M 中心角的一半 2. 若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个 正多边形的边数是 . 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表： 2 1 2 8 4 2 2 12 3 当堂练习 4. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_____cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则其中心角为 度 (不取近似值). _______ 5.如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于 4，求 ⊙O 的面积． 解：∵ 正方形的面积等于 4， 则半径为 ∴ ⊙O 的面积为 ∴ 正方形的边长 AB = 2. A B C D E F P 6. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 ，点 P 为六边形内任一点，则点 P 到各边的距离之和是多少？ 解：过 P 作 AB 的垂线，分别交 AB、DE于 H、K，连接 BD，作 CG⊥BD 于 G. H K ∴ P 到 AF 与 CD 的距离之和，及 P 到 EF、BC 的距离之和，均为 HK 的长. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴ AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF. G A B C D E F P ∴ 点 P 到各边的距离之和为 3BD = 3×6 = 18． H K ∵ BC = CD，∠BCD =∠ABC =∠CDE = 120°， ∴ ∠CBD =∠BDC = 30°，BD∥HK，且 BD = HK. ∵ CG⊥BD， ∴ BD = 2BG = 2BC·cos∠CBD = 6. G 拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN. (1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °， 图③中∠MON = °； (2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系. 90 72 120 . A B C M N O 图① A B C D M N O 图② A B C D E M N O 图③ 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 课堂小结 $