27.2.1 点和圆的位置关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件围绕“点和圆的位置关系”及“过不共线三点画圆”展开，涵盖点与圆位置关系的数量化判定、三角形外接圆与外心等核心知识。以飞镖游戏情境引入，通过合作探究构建d与r的数量关系，逐步过渡到过点画圆及外接圆应用，形成“情境-探究-例题-练习”的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，如飞镖靶子、破损圆盘复原问题引导学生观察现实世界；通过合作探究与典例精析培养数学思维，如推导位置关系判定及外心性质；以符号表达和模型应用强化数学语言，如用d与r关系描述位置、外接圆解决实际问题。助力学生直观理解知识，教师可借助丰富实例提升教学效率。

27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 1. 点和圆的位置关系 优翼九下数学教学课件（HS） 情境引入 想一想 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 导入新课 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . A . . 合作探究 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系 新课讲授 问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O 上 点 P 在⊙O 外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分 别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的 位置关系是点 A 在 ，点 B 在 ，点 C 在 . 圆内 圆上 圆外 2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP = ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 O D 练一练 点和圆的位置关系 r P d P r d O P r d O R r P O d 点 P 在⊙O 内 d＜r 点 P 在⊙O 上 d = r 点 P 在⊙O 外 d＞r 点 P 在圆环内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 知识要点 O 例1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4. （1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与 ⊙A 的位置关系如何？ 解：∵ AB = 3 ＜ 4， ∴ 点 B 在⊙A 内． ∵ AD = 4， ∴ 点 D 在 ⊙A 上． ∵ ＞ 4， ∴ 点 C 在 ⊙A 外. 解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外， ∴ 3＜r＜5. (2) 若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围？(直接写出答案) 3 4 · 问题1 如何过一个点 A 画一个圆？过点 A 可以画多少个圆？ 合作探究 · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可； 可画无数个圆. A … 过不共线三点画圆 问题2 如何过两点 A、B 画一个圆？过两点可以画多少个圆？ · · · · A B 作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可； 可画无数个圆. … 问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ D E G F 经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. 经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置. 经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. ● O A B C 有且只有一个 位置关系 不在同一直线上的三个点确定一个 圆. 归纳总结 D E G F ● O A B C 作法：1、连接 AB，作线段 AB的垂直平分线 MN； 2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O； 3、以 O 为圆心，OB 为半径画圆. 所以⊙O 就是所求作的圆. O N M F E A B C 已知：不在同一直线上的三点 A、B、C. 求作： ⊙O，使它经过点 A、B、C. 练一练 问题4：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法： 1、在圆弧上任取三点 A、B、C； 2、作线段 AB、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心； 3、以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆. ⊙O 即为所求. A B C O 试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C三点的圆. A B C O 三角形的外接圆及外心 1. 外接圆 ⊙O 叫做△ABC 的________， △ABC 叫做⊙O 的____________. 2. 三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 概念学习 A B C O 到三角形三个顶点的距离相等. 性质： ● 判一判： 下列说法是否正确？ (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置. 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于斜边的中点处； 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 经过三角形的三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. 要点归纳 例2 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO＝60°，若△AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D(0，3)． (1)求∠DAO 的度数； (2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°. 典例精析 (2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积． (2)∵ 点 D 的坐标是(0，3)，∴ OD＝3. 在直角△AOD 中， OA＝OD · tan∠ADO＝ ， AD＝2OD＝6， ∴ 点 A 的坐标是( ，0)． ∵ ∠AOD＝90°，∴ AD 是圆的直径， ∴ △AOB外接圆的面积是 9π. 例3 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径． 解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC. D 则OD＝5 cm， 在Rt△OBD 中， 即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm. 解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圆的半径． 2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( ) M R Q A B C P A. 点 P B. 点 Q C. 点 R D. 点 M B 1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)， 则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( ) A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上 C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外 B 当堂练习 4. 已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 . 5 5. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB = 20°，则∠C 的度数是_____. 70° 3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A . 上 外 上 6. 判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点 （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ） √ × × × 7.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 D 8. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm， BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径. C B A O 解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC. 故点 O 是△ABC 的外心. ∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm， ∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm. 即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm. 能力拓展：一个 8 米×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为 5 米，你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由. 点和圆的位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 位置关系数量化 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 不在同一直线上的三个点可确定一个圆 一个三角形的 外接圆是唯一的 注意：过同一直线上的三个点不能作圆 点 P 在圆环内 r≤d≤R R r P O d 课堂小结 $