26.1 二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数定义，通过复习函数、一次函数及一元二次方程等旧知搭建学习支架，引导学生从正方体表面积、矩形花圃面积等现实问题中抽象出二次函数关系。 其亮点是以现实情境问题链驱动，通过观察数据、归纳共性培养抽象能力（数学眼光），典例与变式训练强化定义辨析（数学思维），当堂练习结合球队比赛、本息计算等实例提升应用意识（数学语言）。助力学生理解概念本质，教师可高效开展教学。

26.1 二次函数 第26章 二次函数 优翼九下数学教学课件（HS） 1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). 导入新课 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 . y = 6x2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 探究归纳 二次函数的定义 导入新课 问题2 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ 如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2. 将计算结果写在下表的空格中： A D B C 我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式. （0＜x＜10） 即 （0＜x＜10） AB长 x (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长 12 面积y(m2) 48 18 16 14 10 8 6 4 2 18 32 42 50 48 42 32 18 问题3 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10元出售，一天可售出 100 件.该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大? 分析：销售利润 = (售价-进价)×销售量. 根据题意，得 想一想，为什么要限定 ？ 问题 1-3 中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次式表示的 y = 6x2 想一想 （0＜x＜10） 二次函数的定义： 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数. 温馨提示： (1) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (2) a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； (3) 等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量) ① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x²； ③ y = x2； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = (x+3)² - x². 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 典例精析 y = 6x + 9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等. 方法归纳 解： （1）由题意知 解得 （2）由题意知 解得 m = 3. 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视. 注意 例2 (1) 当 m 取何值时，此函数是 正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？ 二次函数定义的应用 1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？ 解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数. 变式训练 解： 由题意得 所以 m ≠ ±3. 解： 由题意得 【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例3 已知二次函数 (k 为常数). （1）求 k 的值； （2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式，得 （2）当 k = 2 时， 二次函数的值 此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数关系式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值. 归纳总结 2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数 C 1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 . -3x2 -16 12 当堂练习 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5. ① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数. 1 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y = 2x＋1 B． C．y = 3x2＋1 D． C 5. 若函数 是二次函数，求： （1）a 的值； （2）函数关系式； （3）当 x = -2 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 a = -1. （2）函数关系式为 （3）将 x = -2 代入函数关系式中，得 6.（1） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ （2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是 10 (万元)，那么请你写出两年后的本息和 y (万元)的表达式(不考虑利息税). y = 10(x + 1)² = 10x² + 20x + 10. 7. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求： （1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x = 3 时矩形的面积. 解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2. 二次函数 定 义 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a ≠ 0，a，b，c 是常数) 课堂小结 $