15.3 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，通过轮船航行、捐款等现实问题导入，结合复习回顾的一元一次方程与分式知识，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生理解分式方程概念及解法原理。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过“一化二解三检验”步骤与验根强调培养数学思维，用框图总结与典例精析提升数学语言表达。学生能在探究中掌握方法，教师可借助分层练习与方法总结高效教学。

15.3 可化为一元一次方程的 分式方程 第 1 课时 分式方程及其解法 第 15 章 分 式 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 1. 什么是一元一次方程 ? 2. 什么是分式 ? 只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都 是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元 一次方程. 形如 ( A、B 是整式，且 B 中含有字母) 的式子，叫做分式. 复习回顾 问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度. 分式方程的概念 1 分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得 探究新知 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？ 思考 上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？ 分母中都含有未知数. 分式方程的概念 分式方程的特征 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. (1) 是等式； (2) 方程中含有分母； (3) 分母中含有未知数. 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3). 解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得 80(x - 3) = 60(x + 3)， 解这个整式方程，得 x = 21. x = 21 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 21 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳总结 例1 解方程： 解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得 解这个整式方程，得 x = 1. 典例精析 x = 1 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 80(x-3)=60(x+3) 两边同乘(x+3)(x-3) 当x=21时，(x+3)(x-3)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 1 = 2 两边同乘(x2－1) 当 x=1 时，(x2－1)=0 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验——必不可少的步骤 怎样检验？ 归纳总结 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根. 如例1 中，把 x = 1 代入 x²－1，其值为 0， 可知 x = 1 是原分式方程的增根. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 解 方程两边都乘以 x ( x - 7 ) ，约去分母，得 100 ( x - 7 ) = 30x. 解这个整式方程，得 x = 10 . 例2 解方程： 检验: 把 x = 10 代入 x ( x - 7)，得 10×(10 - 7) ≠ 0 所以 x = 10 是原方程的解. 典例精析 例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零． 典例精析 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 方法总结 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 当堂小结 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( ) D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　) A. B. C. D. D 当堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( ) A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8 C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8 A 4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5 D 5.解方程： 解： 方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得 x = 9. 检验：当x = 9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 6. 解方程： 解： 方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x-1)(x+2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 7. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入最简公分母，得 所以原方程的解为 8.若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以 x -2， 得 2 - x + m = 2x - 4， 合并同类项，得3x = 6+m， ∴m = 3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴ x = 2，∴ m = 0. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $