6.2 第5课时 二元一次方程组与实际问题（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（华东师大版）

该教案聚焦二元一次方程组解决实际问题，通过古算题情境导入，衔接方程组解法知识，搭建从理论到应用的学习支架，引导学生从实际问题中抽象等量关系。 以和差倍分、变化率、方案选择三类问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实（如船载重量与容积关系），用数学思维推理运算（列解方程组），用数学语言表达模型（设计租车方案），提升应用能力，助力教师高效开展实际问题教学。

第6章　一次方程组 6．2　二元一次方程组的解法 第5课时 二元一次方程组与实际问题 1．会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理． 2．体会运用二元一次方程组求多项式中的待定系数，感受方程思想的广泛应用． 3．经历和体验利用方程组解决实际问题的过程，掌握应用二元一次方程组解决实际问题的步骤，体会方程组是刻画现实世界中有多个未知数的有效数学模型． 重点：列出二元一次方程组解决实际问题． 难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组．　　　 一、情境导入 古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？ 二、合作探究 探究点：利用二元一次方程组解决实际问题 【类型一】 和差倍分问题 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？ 解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2)乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为300吨；(4)船的容积为1200立方米． 未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x，y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即甲种货物质量x＋乙种货物质量y＝船的总载重量300甲种货物体积6x＋乙种货物体积2y＝船的总容积1200. 解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解得 答：甲、乙两种货物各装150吨． 方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等． 【类型二】 变化率问题 今年初，某企业积极制定规划，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加10%，总支出比去年减少10%.已知该企业去年的利润(利润＝总产值－总支出)为200万元，求今年的总产值、总支出分别是多少万元. 解析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为(1＋10%)x万元，总支出为(1－10%)y万元，根据“利润＝总产值－总支出”可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入(1＋10%)x，(1－10%)y中，即可求出结论． 解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为(1＋10%)x万元，总支出(1－10%)y万元．根据题意得解得∴(1＋10%)x＝(1＋10%)×1100＝1210，(1－10%)y＝(1－10%)×900＝810. 答：今年的总产值为1210万元，总支出为810万元． 方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长后的量＝原量×(1＋增长率). 【类型三】 方案选择问题 某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 解析：(1)设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方案；(3)根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 解：(1)设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得解得 答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨． (2)依题意，得3a＋4b＝31，∴a＝.又∵a，b均为正整数，∴或或∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． (3)方案1所需租金为100×9＋120×1＝1020(元)；方案2所需租金为100×5＋120×4＝980(元)；方案3所需租金为100×1＋120×7＝940(元).∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元． 方法总结：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)结合题意a，b均为正整数即可得出各租车方案；(3)根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用． 三、板书设计 列方程组解决问题 通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识． 学科网（北京）股份有限公司 $