精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟二模中考数学试题

初三年级南京中考第二次模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 画在图纸上的某一零件的长度是25，若比例尺是，则该零件实际长度是（ ）． A. B. C. D. 2. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 5. 如图，是等边的外接圆，是的直径，过点D作的切线交的延长线于点E．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 6. 已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 若，则______． 8. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 10. 某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 11. 一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 12. 若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是________．（填写一个即可） 13. 如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 14. 如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 15. 在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD． 19. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 21. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 22. 甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 23. 已知抛物线的对称轴是． （1）求的值及抛物线的顶点坐标． （2）当时，的取值范围是___________． （3）若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________． 24. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 25. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． （1）把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 26. 如图，在中，，过，两点的交于点，． （1）求证：与相切； （2）若，， ①求的长； ②的半径为________． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． （1）【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） （2）【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． （3）【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级南京中考第二次模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 画在图纸上的某一零件的长度是25，若比例尺是，则该零件实际长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查比例线段，解题关键在于掌握运算法则． 比例尺＝图上距离：实际距离．依题意列出比例式，根据比例的基本性质即可得出零件的实际长度． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离． 设零件的实际长度为x， ； 解得：（）； 故选C． 2. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 3. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误； ∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确． 故选D 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 5. 如图，是等边的外接圆，是的直径，过点D作的切线交的延长线于点E．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，因为是等边三角形，所以，因为是的直径，与相切于点，所以，则，求得，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 是等边三角形， ， 是的直径，与相切于点，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 已知函数的图象过点，，，则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质． 由于二次函数图象经过点， ，，将这三点坐标代入，用表示a的值，根据一次函数的性质即可作答． 【详解】解：∵图象经过点， ，， 将这三点坐标代入， 得， ∴， ∴， ∵ ∴随的增大而减小， ∵, ∴当时，a的值最大， 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知比例关系，用b和d表示a和c，再代入所求分式进行化简. 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 8. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 10. 某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用，熟练掌握利用平均变化率公式 建立方程是解题的关键． 根据平均每年减少的百分率 ，依次表示出一年后和两年后的废气排放量，再根据两年后排放量为144万立方米这一条件，列出方程． 【详解】解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x， 根据题意列方程得， 故答案为：． 11. 一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的底面周长与侧面展开图弧长的关系，解题的关键是利用侧面展开图为半圆这一条件，建立底面周长与半圆弧长的等式求解母线长． 圆锥底面周长等于侧面展开图半圆的弧长；设母线长为，底面半径，底面周长为，半圆的弧长为；通过等式求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥底面周长：， 侧面展开图半圆的弧长：， 由底面周长等于侧面展开图弧长，得：， ∴． 故答案为：． 12. 若抛物线与轴有两个公共点，则的值可以是________．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴有两个公共点，需对应方程的判别式大于零，从而得出 即可． 【详解】解：抛物线方程为，展开得， ∵抛物线与x轴有两个公共点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 因此k可取任意负数，例如 ． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 14. 如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重点是利用分类讨论思想分析与的对应角关系． 根据勾股定理求出，分和，利用对应边成比例讨论即可． 【详解】在Rt中，，，，是的中点， ，， 当， ，即， 解得； 当， ，即， 解得， 或， 故答案为：或． 15. 在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴，垂足为M，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点问题；设，则，得出，则直线与相切时，求得最小值，即可求解． 【详解】解：设，则 ∴ 设，则 ∵点C的坐标为，的半径为2，P为上的一点，轴， 根据勾股定理可得 代入，得， 整理得 当时直线与相切，则取的最小值， ∴ 解得： ∴当切点在点的左侧时，取得最小值， 即的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ∴． 18. 如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD． 【答案】 解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 【解析】 【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题是通过相似三角形的性质来证明相交弦定理，关键是根据圆周角定理求出相等的角． 19. 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类； （3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 【答案】（1）64，120，30 （2） （3）人，建议合理即可 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由A的人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以的占比即可求解，再由总人数减去组的人数即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可，建议合理即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：64，120，30； 【小问2详解】 解：总人数人，则中位数为第和人视力的平均数，而组人，组人， ∴中位数在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 21. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，； （2） 教练的理由为： 甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差， 所以成绩比较稳定， 所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）变大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【小问1详解】 解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 22. 甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 23. 已知抛物线的对称轴是． （1）求的值及抛物线的顶点坐标． （2）当时，的取值范围是___________． （3）若，请画出的函数图象（不列表），记作．当直线与恰有3个交点时，则的值为___________． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为， （2） （3）b的值为0或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移； （1）利用对称轴即可求出m值，进而求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，求得时的函数值，最小值为顶点的纵坐标，即可求解； （3）先求出翻折部分的函数解析式，画出的图象，再利用平移得到，数形结合即可判断出直线与恰有个交点时的情况，即可得出结论． 【小问1详解】 的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 【小问2详解】 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，取得最小值为， ∵ ∴当时取得最大值， 当时，的取值范围是 【小问3详解】 解：函数W的图象如图所示， ∵，顶点坐标为； 是由平移得到的且过； 由图可知， ①当时，恰与W有3个交点； ②将的图象向上平移后与只有一个交点时，与恰有三个交点， 令，整理得， 与只有一个交点， ， ， 综上，当直线与W恰有3个交点时，b的值为0或． 24. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 【答案】（1） 解：令，则， ∵，，， ∴， ∴方程有实数根， ∴该函数的图像与轴总有公共点； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质以及最值的求解方法，解题的关键是熟练掌握这些知识点进行求解． （1）令，得一元二次方程，证明方程总有实数根，即可证明函数图像与x轴有交点； （2）利用配方法将一般式写成顶点式，得到顶点坐标的纵坐标，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴该函数图像的顶点纵坐标为， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为0． 故答案为：． 25. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为． （1）把桥拱看作一个二次函数的图像，以所在的直线为轴，以的中点为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为，宽为（横断面如图②），以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【答案】（1）船船不能安全通过此桥． （2） 把，代入，得 ， 当船行至桥时水位上升高度为， 船顶距高为． ， 船不能安全通过此桥． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题，熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键． （1）以中点为原点、所在直线为轴建立坐标系，根据的长度确定、两点坐标，设出二次函数的交点式；再结合水位上升后水面的宽度，确定点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数表达式； （2）先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距的高度；最后通过比较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过． 【小问1详解】 解：为16m，的中点为原点， 点，的坐标分别是，． 可设此函数的表达式为， 当水位上升时，水面宽为， 点的坐标为， 把，代入， ， 解得． 此函数的表达式为，即． 【小问2详解】 略 26. 如图，在中，，过，两点的交于点，． （1）求证：与相切； （2）若，， ①求的长； ②的半径为________． 【答案】（1） 证明：如图，在优弧上取一点E，连接，，，， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又为的半径， ∴与相切； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）如图，在优弧上取一点E，连接，，，， 设，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆内接四边形的两个对角互补和补角性质得到，根据圆周角定理可得，则，进而可得，利用切线的判定可得结论； （2）①证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解； ②过A作于H，于F，设半径，证明四边形是矩形得到，，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去） ∴； ②过A作于H，于F，设半径， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，即的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． （1）【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） （2）【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． （3）【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 【答案】（1） 解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． （2） 证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， （3）①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ② 【解析】 【分析】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）作，与交于点E，点E即为所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间的距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $