8.1.2 三角形内角和与外角和（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦三角形内角和与外角和，通过剪拼、折叠操作引导学生直观发现内角和，再用平行线“移角”证明定理，衔接直角三角形性质及外角性质，构建从操作到推理的学习支架。 其特色是融合直观探究与逻辑推理，剪拼折叠培养几何直观，多种证明方法发展推理意识，典例中方程思想和一题多解提升应用能力。助力学生建立数学思维，教师可借实例高效教学。

2. 三角形的内角和与外角和 第 8 章 三角形 8.1 与三角形有关的边和角 七年级下册数学（华师版） 1. 通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°； 2. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数； (重点、难点) 3. 掌握三角形的外角的性质及外角和. (重点、难点) 学习目标 剪拼法 可以将其中两角剪下并移至另一顶点处拼接成一个角. 将三角形纸片分别按下面方法进行剪拼、折叠等操作，你能发现什么？ 情境导入 折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角. 2 1 2 2 3 3 钝角三角形 1 1 1 3 3 锐角三角形 1 1 2 2 3 3 直角三角形 2 折叠法 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 三角形的内角和 如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC. 则 ， 所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°. 又 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 1 探究新知 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 你还能想出其他的方法推出这个结论吗？ 知识要点 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为3x°， ∠C 为 (x＋15)°， 从而有 3x＋x＋(x＋15)＝ 180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99 ， x＋15＝48. 答：∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 典例精析 例 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 典例精析 问题 ：如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B + ∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 直角三角形的内角性质 2 A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 知识要点 解：在Rt△ABD 中， ∵∠1 +∠B = 90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠B = 90°－∠1(等式性质). 又∵∠1 = 45°(已知)， ∴∠B = 90°－45° = 45°(等量代换). 在△ABC 中， ∵∠B +∠C + ∠BAC = 180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠BAC = 180°－∠B－∠C(等式性质). 又∵∠B = 45°(已求)，∠C = 65°(已知)， ∴∠BAC = 180°－45°－65° = 70°(等量代换). 例3 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45°，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 典例精析 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗? 由三角形的内角和等于 180°，容易得出下面的结论： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳总结 问题 1　在右图中，外角 ∠ACD 与它不相邻的内角∠A，∠B 之间有什么大小关系？ 可以利用“三角形的内角和等于 180° ”的结论. 三角形的外角的性质 3 外角 相邻内角 不相邻内角 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 因为 ∠ACD +∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 所以 ∠ACD - ∠A - ∠B = 0（等量减等量，差相等） 于是 ∠ACD =∠A +∠B. 由此得到： 2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 如图，∠CAD = 100°，∠B = 30°，求∠C 的度数. 解：因为∠B +∠C =∠CAD， 所以∠C =∠CAD - ∠B， 所以∠C = 100° - 30° = 70°. 做一做 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 问题 2 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②， ∠ACD +∠3 = 180°③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 三角形的外角和等于 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD = 2(∠1+ ∠2+ ∠3) = 360°. 要点归纳 例 4 (一题多解法)如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 典例精析 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：延长 CD 交 AB 于点 F (解题过程同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 A B C D ( ( ( 1 3 2 ( 重要发现： ∠BDC = ∠1+ ∠2+ ∠3. 1. 已知 △ABC 中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝_____. 2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_______. 3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______. 80° 20° 50° 4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°， ∠C= 76°，则∠DAC 的度数为________. 34° 当堂练习 解：∵∠ADC 是△ABD 的外角. 5. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求∠B，∠C 的度数. 在△ABC 中， ∠B +∠BAC +∠C = 180°， ∴ ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又∵∠B = ∠BAD， A B C D 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的方法及其目的 内容 三角形内角和等于 180° 当堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360° 推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $