第8章 三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件系统梳理了三角形的分类、三线（高、中线、角平分线）、内角和与外角和、三边关系及多边形性质，通过知识框架图将概念、定理与应用串联，构建“定义-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于融合方程思想、分类讨论等数学思维，如通过设未知数求角度（例5）、分类讨论等腰三角形边长（例6），培养学生推理意识与抽象能力。针对训练分层设计，从基础判断到综合计算，适配不同学生需求，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

小结与复习 第 8 章 三角形 七年级下册数学（华师版） 底边和腰不相等的等腰三角形 按边分 按角分 三边互不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 一、三角形的分类 要点梳理 注意：① 三角形的高是线段； ② 锐角三角形三条高全在三角形的内部； 直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部； 钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部. ③ 三角形三条高所在直线交于一点． 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：① AD 是 △ABC 的边 BC 上的高； 　　　　② AD⊥BC 于 D； 　　　　③∠ADB =∠ADC = 90°. 二、三角形的高、中线、角平分线： 注意：① 三角形的中线是线段； ② 三角形三条中线全在三角形的内部； ③ 三角形三条中线交于三角形内部一点； ④ 中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 2. 三角形的中线：连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法：① AD 是 △ABC 的边 BC 上的中线； 　　② BD = DC = BC. 注意：① 三角形的角平分线是线段； ② 三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④ 用量角器画三角形的角平分线． 　3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段. 1 2 表示法： ① AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分线. ② ∠1=∠2= ∠BAC. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°． 三、三角形内角和与外角和 推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于和它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于 360°． 注意： 1. 三边关系的依据是：两点之间线段最短. 2. 判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形. 3. 三角形第三边的取值范围是： 两边之差 < 第三边 < 两边之和 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边. 四、三角形的三边关系 五、多边形的性质 n边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2) ×180°. 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 360 °. 正多边形的性质：各边都相等，各内角也都相等. 正 n 边形每个内角的度数是 正 n 边形每个外角的度数是 用相同正多边形可以铺满地面的条件： 正多边形的每个内角都能被 360º 整除. 用多种正多边形可以拼成平面的条件： 围绕一点拼在一起的多种正多边形的内角之和为 360º. 考点一 三角形的角平分线、中线和高 例 1 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积 B. 直角三角形的高线只有一条 C. 三角形的三条角平分线都在三角形内 D. 钝角三角形内只有一条高线 B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断. 考点讲练 三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别相交于一点，其中中线平分三角形面积，直角三角形有两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形外面. 1. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 比 △ACD 的周长大 6 cm，则 AB 与 AC 的差为（ ） A B C D 12 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 2 cm B 针对训练 方法总结 　2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线 BD， CE 交于点 O． (1) 若 ∠A = 80°，则 ∠BOC = ． 　(2) 你能猜想出 ∠BOC 与 ∠A 之间的数量关系吗？ 130° ∠BOC = 90°+ ∠A A B C O E D 考点二 三角形的三边关系 例 2 已知两条线段的长分别是 3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边，得 8-3 < a < 8+3，∴ 5 < a < 11. 又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm 或 9cm. 【分析】根据三角形的三边关系满足 8-3 < a < 8+3 解答即可. 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用. 方法总结 3. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 ( ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 4. 在等腰三角形 ABC 中，它的两边长分别为 8cm 和 3cm ，则它的周长为________. C 19cm 5. 以线段 3、4、x-5 为边组成三角形，那么 x 的取值范围是 . 6 < x < 12 针对训练 考点三 三角形内角和与外角和 例 3 下列条件，能判定 △ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠A+∠B=2∠C C. ∠A=∠B=30° D. ∠A=    ∠B=    ∠C 【分析】根据“三角形内角和定理和为 180°”求出各选项中 △ABC 的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． D 三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．其推论为直角三角形两锐角互余及有两个角的和为90°的三角形是直角三角形．已知三角形中的三角之间关系，可运用方程思想来求各角的度数. 6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60°，则另一个锐角的度数为_____. 30° 方法总结 针对训练 解：设 ∠B = x° ，则 ∠A = 3x°，∠C= 4x°， 从而 x+3x+4x =180º， 解得 x = 22.5°． 即∠B = 22.5°，∠A = 67.5°，∠C = 90°． 7. △ABC 中，∠B= ∠A= ∠C，求 △ABC 的三个内角度数.　 考点四 多边形的内角和与外角和 例 4 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解： 设此多边形的外角的度数为 x，则内角的度数为 4x，则 x+4x = 180°，解得 x = 36°. ∴边数 n = 360°÷36°=10. 8.一个正多边形的每一个内角都等于 120 °，则其边数是 . 6 【解析】 因为该正多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6. 在有关多边形中求边数或内角、外角度数的问题，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数. 归纳拓展 针对训练 考点五 本章中的思想方法 方程思想 例 5 如图，在 △ABC 中， ∠C=∠ABC， BE⊥AC， △BDE 是等边三角形，求∠C 的度数. A B C E D 解：设∠C = x°，则 ∠ABC = x°， 因为 △BDE 是等边三角形， 所以∠ABE = 60°，所以 ∠EBC = x° - 60°. 在 △BCE 中，根据三角形内角和定理， 得 90° + x° + x° - 60°=180°， 解得 x = 75，所以∠C = 75°. 在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解. 归纳拓展 解： 设∠1 = x ，根据题意可得 ∠2 = x. 因为∠3 = ∠1+ ∠2， ∠4 = ∠2， 所以∠3 = 2x， ∠4 = x， 又因为∠3 = ∠C，所以∠C = 2x. 在 △ABC 中，根据三角形内角和定理，得 x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°，所以∠1 = 36°. 9. 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1=∠2， ∠3 = ∠C，求∠1 的度数. A B C D ) ) ) ) 2 4 1 3 针对训练 分类讨论思想 例 6 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ，则三角形的周长是　　　　　． 【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26；第二种 10 为底，则 6为腰，此时周长为 22. 26 或 22 10. 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 4 ，则 三角形的周长是　　　　　． 24 【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节. 针对训练 化归思想 A B C D O 如图，△AOC 与 △BOD 是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D. 这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图. 例 7 如图所示： 求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G 的度数. 【解析】 所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连结 CD 便转化为求五边形的内角和问题，由“8字型”模型图可知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=(5-2)×180 °=540 °. A B C F G D E 三角形 与三角形有关的线段 三角形内角和：180° 三角形外角和：360° 三角形的边：三边关系定理 高线 中线：把三角形面积平分 角平分线 与三角形有关的角 内角与外角关系 三角形的分类 课堂小结 多边形 多边形的内外角和 内角和：(n-2) ×180 ° 外角和：360 ° 定义 对角线 多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线 正n边形 内角= ；外角= 见章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $