24.4 第3课时 切线长定理（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该教案聚焦“切线长定理”核心知识点，通过新农村设计最大面积圆形花园的情境导入，衔接圆的切线性质，搭建从实际问题到定理应用的学习支架，引导学生逐步探究。 特色在于以实际情境培养数学眼光，通过求线段长、角度等例题推理发展数学思维，结合铁环半径测量等实际应用提升数学语言表达能力，变式训练巩固知识，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

24.4 直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)； 2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点：切线长定理及应用 【类型一】 利用切线长定理求线段的长 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4. 方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用切线长定理求角的大小 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝8(cm)，即铁环的半径为8cm. 方法总结：运用切线长定理解决实际问题，要选择合适的数学模型，解题时要结合切线长的性质等求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 三、板书设计 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力. 学科网（北京）股份有限公司 $