24.2 第4课时 圆的确定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“圆的确定”，涵盖过不共线三点作圆、三角形外接圆及外心、反证法等核心知识点。通过考古复原瓷器碎片情境导入，从过一点、两点到三点作圆的合作探究，搭建“问题-操作-归纳”学习支架，衔接圆的基本性质与实际应用。 其亮点在于以真实情境激发数学眼光，通过动手作图和反证法推理培养数学思维，结合例题与练习强化数学语言表达。如观察不同三角形外心位置、用反证法证三点共线不能作圆，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第4课时 圆的确定 24.2 圆的基本性质 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 情境引入 一位考古学家发掘出一块圆形瓷器碎片，你能帮他画出这个碎片所在的整圆，以便进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须 满足几个条件? 导入新课 过不共线的三点作圆 问题1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作出多少个圆？ 合作探究 · · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； 可作出无数个圆. A 新课讲授 问题2 如何过两点 A、B 作一个圆？ 过两点可以作出多少个圆？ · · · · A B 作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A（或点 B）的距离为半径画圆即可； 可作出无数个圆. 问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C D E G F O 经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. ◑ 经过 A，B，C 三点的圆的圆心在这两条垂直平分线的交点 O 的位置. 经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 这个圆的圆心需要满足什么条件？ 作法： 1. 连接 AB，AC； 2. 分别作线段 AB，AC 的垂直平 分线，设它们交于点 O； 3. 以点 O 为圆心、OB 的长为半径 作圆. 则⊙O 即为所作. O A B C 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且只有 位置关系 归纳总结 O A B C 问题4 现在你知道怎样将如图所示的破损圆盘复原了吗？ 方法： 1. 在圆弧上任取三点 A， B，C，连接 AB，BC； 2. 作线段 AB、BC 的垂直 平分线，交于点 O； 3. 以点 O 为圆心，OC 的 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求. A B C O 某市在一块空地上新建了 A、B、C 三个居民小区，且三个小区不在同一直线上．现要规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等，请问这所中学应建在哪个位置？怎么确定这个位置呢？ ● ● ● B A C 练一练 根据前面所学的知识，若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过△ABC 三个顶点的圆. A B C O 三角形的外接圆及外心 概念学习 这个三角形叫做圆的内接三角形. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心. ●O A B C 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 判断正误： (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆. ( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) √ × × √ 练一练 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置. 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于处斜边的中点处； 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 例1 如图，△ABC 的外心坐标是 ． 典例精析 解析：由图可知 △ABC 的外心在 BC 的垂直平分线，即直线 y = －1 上；也在线段 AB 的垂直平分线，即直线 y = x＋1 上．将上面两个解析式联立，解得 x =－2，y =－1，故两直线的交点坐标，即 △ABC 的外心坐标为 (－2，－1)． (－2，－1) 例2 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC = 24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径． 解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC，如图. D 则 OD = 5 cm， 在Rt△OBD 中， 即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm. 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 反证法 观察与思考 A B C l 如图，假设经过直线 l 上的三点 A、B、C 可以作圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上. 这样，经过点 P 便有两条直线 l1，l2 同时垂直于直线 l，这与“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”这一 基本事实相矛盾． 所以过同一条直线上的三点 不能作圆． l1 l2 A B C P l 上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法． ①反设：假设命题的结论不成立（或其反面成立）； ②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结 论成立. 知识要点 反证法的一般步骤 例3 已知：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 O1，O2. 求证：∠EO1B =∠EO2D. A B C D E F O1 O2 证明：假设∠EO1B ≠∠EO2D，过点 O1 作直线 A'B'，使∠EO1B' =∠EO2D， 则 A'B'∥CD. 这样，过点 O1 就有两条直线 AB，A′B′ 平行于直线 CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立. ∴∠EO1B =∠EO2D. A' B' 1. 判断对错： （1）经过三点一定可以作圆. （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点. （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等. （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内. （ ） √ × × × 当堂练习 2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片 如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小 明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 （ ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 B 3. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A，B， C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 （ ） M R Q A B C P A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 M B 4. 如图，△ABC 的外接圆的圆 心坐标为 ． (6，2) O 5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 . 5 6. 如图，在△ABC 中，点 O 在边 AB 上，且点 O 为 △ABC 的外心，求∠ACB 的度数． 解：∵ 点 O 为△ABC 的外心， ∴ OA = OB = OC. ∴∠OAC = ∠OCA， ∠OCB = ∠OBC. ∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC = 180°， ∴∠OCA＋∠OCB = 90°， 即∠ACB = 90°. 7. 用反证法证明：一个圆只有一个圆心． 证明：假设⊙O 有两个圆心 O 及 O′， 在圆内任作一弦 AB，设弦 AB 的中点为 P， 连接 OP，O′P，则 OP⊥AB，O′P⊥AB， 过直线 AB 上一点 P，同时有两条直线 OP，O′P 都垂直于 AB，这与垂线的性质矛盾， 故一个圆只有一个圆心． 圆的确定 圆的确定 三角形的外接圆 反证法 不在同一直线上的三个点确定一个圆 外接圆 外心 内接三角形 三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等 课堂小结 $