7.1 相交线 知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.1 相交线 1、 两条直线相交 相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线。 满足这种关系的角，互为对顶角。对顶角相等。对顶角是成对出现的。 邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线。满足这种关系的两个角，互为邻补角。 练一练： （1）下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ 判定邻补角条件：①有一条公共边②另一条边互为反向延长线． （2）下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？ 判定对顶角的条件：①有公共顶点②一个角的两边是另一个角两边的延长线． （3）如图，三条直线AB，CD，EF相较于点O，∠AOE的对顶角是？，∠EOD的邻补角是？ ∠BOF；∠COE和∠DOF 例题精讲 例1　如图，直线a、b相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数． 解：由邻补角的定义，可得 ∠2＝180°－∠1 ＝180°－ 40°＝140° 由对顶角相等，可得 ∠3＝∠1＝40° ∠4＝∠2＝140° 例2　如图，若∠1∶∠2＝2∶7，求各角的度数． 解:设∠1＝2x°，则∠2＝7x°．根据邻补角的定义，得2x＋7x＝180 x＝20 则∠1＝40°，∠2＝140°． 根据对顶角相等，得 ∠3＝40°，∠4＝140°． 总结： 作业1 下列各图中．∠1和∠2是不是对顶角？ 检测1 1．判断： （1）邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角．（ ） （2）邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角．（ ） （3）对顶角相等，相等的两个角是对顶角．（ ） （4）如果两个角有公共顶点和一条公共边，而且这两个角互为补角，那么它们互为邻补角．（ ） （5）两条直线相交，如果它们所成的邻补角相等，那么一对对顶角就互补．（ ） 2．性质运用 ①如下图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是 ， ∠COF的邻补角是 ，若∠AOC∶∠AOE＝2∶3，∠EOD＝130°，则∠BOC＝ ． ②如下图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝∠FOB＝90°，∠AOC＝30°，则∠EOF＝ ． ③已知，如下图，∠AOC＝35°，∠COF＝80°，求∠AOD和∠DOF的度数． 2、 两条直线垂直 观察下图，当两条直线相交时所形成的4个角中，有一个角为90°，就得出这两条直线有何位置关系呢？ 总结归纳：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时， 这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的 交点叫垂足。 b a O 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线， b也叫a的垂线。则记为：a⊥b或b⊥a 例1 如图，AO⊥OC，BO⊥DO，那么( )． A． ∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 B． C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3 例2 过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 练习： 如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点Q并折出过点Q且与直线垂直的直线．这样的直线能折出( )． A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 归纳总结： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（垂线的性质1） 作业2 1．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为________． 2．如图，直线AB、CD、EF交于一点O，CO⊥EF且∠GOB=30°，∠AOC=40°，则∠COE=________． 3．从钝角∠AOB的顶点O引射线OC⊥OA，若∠ACO∶∠COB=3∶1，则∠AOB=________． 4．如图，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOC=115°，则∠BOF=________．∠COF=________． 检测2 1．如图，已知AB⊥CD，垂足为O，图中∠1与∠2的关系是（ ）． A．∠1＋∠2＝180° B．∠1＋∠2＝90° C．∠1＝∠2 D．无法确定 2． 如下图所示，CD⊥AB，则点D是_____，∠ADC＝∠CDB＝________． 3．如图直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数． 4．过直线外一点P画线段AB的垂线． 探究： 如下图，在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？另外，找出最短的那一条 总结： 垂线段： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。（垂线性质2） 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例1： 如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，M是位于公路一侧的学校，汽车在公路上行驶时，其噪声会对学校教学产生影响. 　（1）当汽车行驶到何处时，对学校影响最大？在图上标出来. 　（2）当汽车从A到B行驶时，在哪一段上对学校影响越来越大？ 在哪一段上对学校影响越来越小？ 例2：如图，三角形ABC中，∠C＝90°． （1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长； （2）三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？ 作业3 1．画图并回答 （1）如图，一直点P在∠AOC的边OA上， ①过点P画OA的垂线交OC于点B； ②画点P到OB的垂线段PM； （2）指出上述作图中那一条线段的长度表示P点到OB的距离； （3）比较PM与OP的大小，并说明理由． 检测3： 1． 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°．则AB＞AC，AB＞BC，这是因为 ． 2．如图所示，直线AD与直线BD相交于点 ，BE⊥ ，垂足为点 ，点B到直线AD的距离是线段 的长，点D到直线AB的距离是线段 的长． 3．如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC＝8，CD＝4.8，BD＝6.4，AD＝3.6，AC＝6，那么点C到AB的距离是 ，点A到BC 的距离是 ，点B到CD的距离是 ，A、B两点的距离是 ． 三、两条直线被第三条直线所截（三线八角） 同位角：一边都在截线上而且同向，另一边在截线同侧的两个角。 如∠1和∠5，∠4和∠8。（形如字母“F”图形的两个角） 内错角：一边都在截线上而且反向，另一边在截线两侧的两个角。（形如字母“Z”图形的两个角）如∠3和∠5，∠4和∠6。 同旁内角：一边都在截线上而且反向，另一边在截线同旁的两个角。（形如字母“U”图形的两个角）如∠3和∠6，∠4和∠5。 例题讲解 如图，直线DE，BC被直线AB所截． （1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？ （2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 答：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角． （2）如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2； 因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°， 即∠1和∠3互补． 练习 1．如图所示，l1，l2和l3相交，其中同位角有（ ）． A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．如图下列说法正确的是（　　）． ①∠1和∠4是同位角　 ②∠1和∠3是同位角 ③∠3和∠6是内错角　　 ④∠2和∠5是对顶角　⑤∠5和∠4是邻补角 A．①②⑤ 　 B．③④⑤ 　C．①③⑤ D．①②④ 3．如图，找出∠1的内错角，用红笔一笔画出它们，先观察这两个角是否像英文字母“N”， 再指出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而成． 作业4 1．具有下列关系的两角：①互为邻补角；②对顶角；③同位角；④内错角；⑤同旁内角．其中一定有公共顶点的是( )． A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤ 2．下列各图中，∠1与∠2不是同旁内角的是( )． 3．如图，直线BD上有一点C，则： （1）∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线__________所截得的__________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线__________所截得的__________角； （3）∠3和∠ABC是直线__________，__________被直线__________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________，_______被直线_______所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线__________，_______被直线________所截得的______角． 4．如图所示，从标有数字的角中找出： （1）直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角； （2）直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角； （3）直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角． 检测4 1．如图，下列说法中错误的是( )． A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角 2．如图，能与∠1构成同位角的角有( )． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图所示，内错角共有( )． A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 3． 如图，与∠1是同位角的是__________，与∠2是内错角的是__________， 与∠A是同旁内角的是__________． 4．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角． （1）画出示意图． （2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2的度数． 答案 作业1： （1）解析：因为∠1与∠没有公共顶点，所以它们不是对顶角． （2）解析：因为∠1与∠2的两边射线互为反向延长线，所以它们是对顶角． （3）解析：因为∠2有一边不是在∠1的一边的反向延长线上，所以不是对顶角． （4）解析：因为∠1与∠2没有公共顶点，所以它们不是对顶角． 检测1： 2：①∠BOF，∠DOF和∠EOC，150°②150°． ③因为∠AOC和∠AOD互为邻补角，所以∠AOC＋∠AOD＝180°． 所以∠AOD＝180°－∠AOC＝145°． 因为∠COF和∠DOF互为邻补角，所以∠COF＋∠DOF＝180°． 所以∠DOF＝180°－∠COF＝100°． 作业2： 1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．20°．3．120°．4．25°；130°． 检测2： 1.B 2．垂足； 90° 3.因为OE⊥CD，OF⊥AB（已知），所以∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直的定义)， 因为∠BOD＝90°－65°＝25°，所以∠BOE＝90°－25°＝65°． 所以∠AOC＝∠BOD＝25°． 作业3： 1．（1）如图：（2）线段PM的长度表示点P到OB 的距离 （3）PO大于PM 因为垂线段最短 检测3： 1．垂线段最短 2．D，AD，E，BE，DC 3．4.8，6，6.4，10 练习： 1、A 2、C 3、∠1的内错角是∠BAC，它是AB和CD被AC所截得的内错角． 作业4： 1．A． 2．D． 3．（1）BD； 同位． （2）AC； 内错． （3）AC； AB； BC； 同旁内． （4）AB； AC； BD； 同位． （5）AB； EF； BD； 同旁内． 4．解：（1）∠2与∠5；（2）∠1和∠7；（3）∠4和∠3． 检测4： 1．C． 2．C． 3．B． 4．∠B；∠A；∠ACB和∠B． 5． 解：（1）示意图如下： （2） 因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，所以∠1＝4∠3． （3） 又因为∠1＋∠3＝180°，所以4∠3＋∠3＝180°．所以∠3＝36°． 所以∠1＝36°×4＝144°，∠2＝36°×2＝72°． 学科网（北京）股份有限公司 $