17.1 平行四边形的性质（第3课时 平行四边形的性质定理3）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

17.1 平行四边形的性质 第3课时 平行四边形的性质定理3 第17章 平行四边形 章节导读 17.1平行四边形的性质 17.2平行四边形的判定 平行四边形的判定定理的应用 平行四边形的判定定理12 平行四边形性质定理1 2的应用 平行四边形的边角性质 平行四边形的判定定理3 平行四边形性质定理3 平行四边形中周长和面积的计算 平行四边形的综合应用 三角形中位线定理 2 学 习 目 标 1 2 3 进一步理解平行四边形中心对称的特征； 掌握平行四边形对角线互相平分的性质； 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题。 复习回顾 将平行四边形 ABCD绕点旋转180°后，可以完全重合，所以平行四边形是 。点是 。 ● A D O C B 中心对称图形 对称中心 与、与各有什么关系呢？ 由此得到： AB=CD，AD=CB， ∠A =∠C，∠B =∠D. 4 新知探究 平行四边形的对角线互相平分 小明通过观察，认为. ● A D O C B 旋转你手中的平行四边形，再量一量，和旁边同学对比一下，看看是否都是这样． 你能证明这个结论吗？ 5 新知探究 如图,□的对角线相交于点. 求证：. A B D C O 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AB∥CD， ∴ ∠BAO = ∠OCD，∠ABO = ∠ODC， ∴ △ABO ≌ △CDO（ASA）， ∴ OA = OC，OB = OD. 分析：证明边相等，可优先考虑找全等三角形。 平行四边形的对角线互相平分 证一证 6 归纳总结 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的性质定理3 文字表述：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言：∵ 四边形是平行四边形， ∴ . A B D C O 7 典例分析 例1 如图,□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，△AOB 的周长为15，AB＝6，那么对角线AC 与BD 的和是多少？ 解：在□ABCD 中， ∵， ∴. 又∵且(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ . 平行四边形的对角线互相平分 A C D B O 8 典例分析 例2 如图，□ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，EF 过点O 且与边AB，CD 分别相交于点E，F.求证：. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， OD = OB. ∴∠ODF = ∠OBE， ∠DFO = ∠BEO. ∴△DOF≌△BOE（AAS）. ∴OE = OF. 平行四边形的对角线互相平分 A B C D F E O 9 归纳总结 平行四边形证明题的解题技巧： 1. 牢记平行四边形的性质，是解题的基础； 2. 常见的证明思路 （1）证明线段相等：优先考虑证明三角形全等，利用平行四边形的性质找到全等的条件（如对边平行得到内错角相等、对角线互相平分得到对应边相等），再结合对顶角、公共角等条件，用ASA、SAS、AAS等判定定理证明全等，从而得到对应边相等。 （2）证明线段平行：可以利用平行四边形的对边平行，或者通过证明内错角相等、同位角相等、同旁内角互补来证明。 3. 辅助线技巧 （1）当题目中涉及对角线时，常连接对角线，利用对角线互相平分的性质。 （2）当需要构造全等三角形时，可利用平行四边形对边平行且相等的性质，平移线段或构造平行四边形。 平行四边形的对角线互相平分 10 延伸拓展 改变直线EF 的位置，OE=OF 的结论还成立吗?和同桌一起证明一下。 议一议 E F ● O D C B A ● O D C B A E F (1) ● ● ● ● E F (2) 11 延伸拓展 改变直线EF 的位置，OE=OF 的结论还成立吗?和同桌一起证明一下。 议一议 ● O D C B A E F (3) ● ● O D C B A E F (4) ● ● ● 结论：经过平行四边形对角线交点的任意一条直线，与平行四边形的两组对边（或对边延长线）相交，交点到对角线交点的距离总相等。即。 12 1.如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，指出图中各对相等的线段. 随堂练习 基础过关(P85) A B D C O AB ＝ CD， BC ＝ AD， OA ＝ OC， OB ＝ OD. 13 随堂练习 基础过关(P85) 2.如图，在 □ ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，BE ⊥ AC，DF ⊥ AC，垂足分别为点 E 和点 F. 求证：OE = OF . 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝ OD. ∵BE ⊥ AC，DF ⊥ AC， ∴∠BEO ＝∠DFO ＝ 90°. 又∵∠BOE ＝∠DOF， ∴△BOE ≌ △DOF， ∴OE ＝ OF. D A C B O E F 14 随堂练习 基础过关(P85) 3.如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O，且与边AB、CD 分别相交于点E 和点F，AB = 4，AD = 3，OF = 1.3.求四边形 BCFE 的周长. 解: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC ＝ AD ＝ 3，AB∥CD，OA ＝ OC. ∴ ∠OAE ＝ ∠OCF . 又∵ ∠AOE ＝∠COF， ∴ △AOE ≌△COF . ∴ OE ＝ OF，AE ＝ CF . ∴ EF ＝ 2OF ＝ 2×1.3 ＝ 2.6 . D A C B O E F ∴ 四边形 BCFE 的周长为BC + CF + EF + BE ＝ BC + AE + EF + BE ＝ BC + AB + EF ＝ 3 + 4 + 2.6＝ 9.6 . 15 随堂练习 能力提升 4.在□ABCD中，, 则m的取值范围是( ) A. B. C.D. D B C D A O 16 随堂练习 5.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论． 能力提升 解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD, ∴OE＝OF. 在△OFD和△OEB中， OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌△OEB， ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF， ∴BE∥DF. 17 随堂练习 能力提升 6.如图，在□中，对角线AC与BD相交于O点，分别过点A、C作，垂足分别为点E、F，AC平分∠DAE。 （1）若∠AOE=50°，则∠ACB= 。 （2）求证：AE=CF。 (1) 解:， ， 平分 ， 四边形是平行四边形， 18 随堂练习 能力提升 6.如图，在□中，对角线AC与BD相交于O点，分别过点A、C作，垂足分别为点E、F，AC平分∠DAE。 （1）若∠AOE=50°，则∠ACB= 。 （2）求证：AE=CF。 (2) 证明： 四边形 是平行四边形 ， 在 和 中 19 课堂小结 平行四 边形对角线的 性质 平行四边形对角线互相平分 经过平行四边形对角线交点的任意一条直线，与平行四边形的两组对边（或对边延长线）相交，交点到对角线交点的距离总相等。 感谢聆听! $