阶段素养综合测试卷(二)-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了整式乘除与因式分解的核心知识，通过知识框架图将幂的运算、乘法公式、因式分解方法（提公因式、公式法、分组分解）等内容串联，清晰呈现从基础运算到综合应用的逻辑脉络。 其亮点在于融合几何直观（如图形拼法验证平方差公式）、运算能力（变式训练提升计算准确性）和应用意识（实际面积计算问题），设计新定义题、规律探究题等分层练习，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

阶段素养综合测试卷(二) 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 1 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.(2025河南南阳淅川二模,★☆☆)下列计算正确的是 (         ) A. (a3)n+1=a3n+1 B. (-a2)3·a6=a12 C. a8m·a8m=2a16m D. (-m)(-m)4=-m5 D 初中同步培优卷 解析    (a3)n+1=a3n+3,(-a2)3·a6=(-a6)·a6=-a12,a8m·a8m=a16m,(-m)(-m)4= (-m)5=-m5,观察四个选项可知,只有D选项计算正确.故选D. 初中同步培优卷 2.(2025安徽宿州宿城一中月考,★☆☆)计算(-0.75)2 025×  的结果为 (        ) A. -0.75　　    B. 0.75　　    C.  　　    D. -  A 初中同步培优卷 解析    (-0.75)2 025× = × × =  × =(-1)2 024× =1× =-0.75.故选A. 初中同步培优卷 3.(2025辽宁大连一模,★☆☆)将多项式x3-2x2+x分解因式,结 果为 (        ) A. x(x+1)2　　　　　    B. x(x2-2x) C. x2(x-2)+x　　　　　    D. x(x-1)2 D 初中同步培优卷 解析    x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.故选D. 初中同步培优卷 4.(2024山东泰安岱岳期末,★☆☆)下列计算: ①x(2x2-x+1)=2x3-x2+1; ②(x+3)(x-4)=x2-x+12; ③(x-4)2=x2-4x+16; ④(5a-1)(-5a-1)=25a2-1; ⑤(-a-b)2=a2+2ab+b2. 其中不正确的有 (        ) A. 2个　　　　　    B. 3个 C. 4个　　　　　    D. 5个 C 初中同步培优卷 解析　①x(2x2-x+1)=2x3-x2+x,故①不正确;②(x+3)(x-4)=x2-x-12, 故②不正确;③(x-4)2=x2-8x+16,故③不正确;④(5a-1)(-5a-1)= 1-25a2,故④不正确;⑤(-a-b)2=a2+2ab+b2,故⑤正确.综上所述, 不正确的有4个.故选C. 初中同步培优卷 5.(2024贵州遵义仁怀期末,★☆☆)如果计算(na+3a3)(1-2a2)的 结果不含a3项,那么n的值为 (        ) A.  　　　　　    B. -  C. - 　　　　　    D.   D 初中同步培优卷 解析　∵(na+3a3)(1-2a2)=-6a5+(3-2n)a3+an不含a3项,∴3-2n=0, ∴n= .故选D. 初中同步培优卷 6.(2025河南南阳一模,★☆☆)若k为任意整数,则(k+3)2-(k-2)2 的值总能 (        ) A. 被2整除　　　　　    B. 被3整除 C. 被5整除　　　　　    D. 被7整除 C 初中同步培优卷 解析    (k+3)2-(k-2)2=(k+3+k-2)[k+3-(k-2)]=5(2k+1), ∵k为整数,∴2k+1也是整数,∴(k+3)2-(k-2)2的值总能被5整除. 故选C. 初中同步培优卷 7.【新课标·几何直观】(2025山东青岛胶南月考,★★☆)在数 学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来 重新拼成一个图形,以下4幅拼法中,能够验证平方差公式的是  (        )        C 初中同步培优卷   A. ①②　　　　　     B. ①③ C. ①②③　　　　　    D. ①②④ 初中同步培优卷 解析　题图①:左边阴影图形面积为a2-b2,右边平行四边形的 底为(a+b),高为(a-b),面积为(a+b)(a-b),可得(a+b)·(a-b)=a2-b2, 能够验证平方差公式,符合题意;题图②:左边阴影图形面积为 a2-b2,右边大长方形的长为(a+b),宽为(a-b),面积为(a+b)(a-b), 可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式,符合题意;题图③: 左边阴影图形面积为a2-b2,右边平行四边形的底为(a+b),高为 (a-b),面积为(a+b)(a-b),可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差 公式,符合题意;题图④:左边阴影图形的面积为(a+b)2-(a-b)2, 初中同步培优卷 右边大长方形的面积为2a·2b=4ab,不能够验证平方差公式,不 符合题意. ∴能够验证平方差公式的是①②③,故选C. 初中同步培优卷 8.(2025山东聊城阳谷实验中学月考,★★☆)已知x2+2x-1=0,则 代数式4x(x+1)-2x2-3的值为 (        ) A. 1　　    B. -1　　    C. 5　　    D. -5 B 初中同步培优卷 解析　∵x2+2x-1=0,∴x2+2x=1, ∴4x(x+1)-2x2-3=4x2+4x-2x2-3=2x2+4x-3=2(x2+2x)-3=2×1-3=-1. 故选B. 初中同步培优卷 9.(2025山西晋中祁县期末,★★☆)如图①所示的是正方形卡 片A和B,如图②,将B放置在A内部,测得阴影部分的面积为3. 如图③所示的是将正方形卡片A和B并列放置后构造新正方 形,测得阴影部分的面积为10.若将3个正方形卡片A和2个正 方形卡片B并列放置后构造新正方形,如图④所示(图③,图④ 中正方形卡片A,B均无重叠部分),则图④中阴影部分的面积 是 (        ) B 初中同步培优卷   A. 22　　    B. 23　　    C. 24　　    D. 25 初中同步培优卷 解析　设正方形卡片A的边长为a,正方形卡片B的边长为b,则 题图②中阴影部分的面积可以表示为a2-b2,由题意可知,a2-b2= 3.题图③中阴影部分的面积可以表示为(a+b)2-a2-b2=2ab,由题 意可知,2ab=10.题图④中阴影部分的面积可以表示为(2a+b)2- 3a2-2b2=a2-b2+4ab=3+2×10=23.故选B. 初中同步培优卷 10.【新考向·新定义题】(2025甘肃酒泉期末改编,★★★)我 们规定一种新运算:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底 N的对数,记作x=logaN.例如:因为72=49,所以log749=2;因为53=1 25,所以log5125=3.下列说法中正确的个数为 (        ) ①log61=0;②若log2(3-a)=log39,则a=-1;③log2xy=log2x+log2y(x> 0,y>0). A. 0　　　　　    B. 1 C. 2　　　　　    D. 3 D 初中同步培优卷 解析　①因为60=1,所以log61=0,则①正确. ②因为32=9,所以log39=2,则log2(3-a)=2,那么3-a=4, 解得a=-1,则②正确. ③设log2x=m,log2y=n,那么x=2m,y=2n,因此log2xy=log2(2m·2n)=log2 2m+n=m+n,故log2xy=log2x+log2y(x>0,y>0),则③正确.综上,正确 的个数为3.故选D. 初中同步培优卷 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.(2024山东烟台牟平期末,★☆☆)因式分解:3m2-75= ______________. 3(m+5)(m-5)     初中同步培优卷 解析　原式=3(m2-25)=3(m+5)(m-5). 初中同步培优卷 12.(2025甘肃陇南两当月考,★☆☆)已知(3x-y)(x+2y)=3x2+Axy +By2,则AB=_________. 初中同步培优卷 解析    (3x-y)(x+2y)=3x2+6xy-xy-2y2=3x2+5xy-2y2=3x2+Axy+By2, ∴A=5,B=-2,∴AB=5-2= . 初中同步培优卷 13.(2025陕西咸阳兴平期末改编,★★☆)小辰与小辉在做游 戏时,两人各报一个整式,若将小辰报的整式作为除式,小辉报 的整式作为被除式,要求商必须为-3xy2.若小辉报的整式是9x4 y3-6x3y2,则小辰应报的整式是______________. 　-3x3y+2x2     初中同步培优卷 解析　小辰报的整式应为(9x4y3-6x3y2)÷(-3xy2)= -3x3y+2x2. 初中同步培优卷 14.(2025福建厦门外国语学校月考,★★☆)已知a=2 0232,b= 2 022×2 024,则a-b=_________.     1     初中同步培优卷 解析　∵a=2 0232,b=2 022×2 024, ∴a-b=2 0232-2 022×2 024=2 0232-(2 023-1)(2 023+1)=2 0232- 2 0232+12=1. 初中同步培优卷 15.(2024山东青岛胶州三里河实验学校月考,★★☆)常用的 分解因式的方法有提公因式法和公式法,但有一部分多项式 只用上述方法就无法分解,如x2-2xy+y2-16.通过观察,前三项符 合完全平方式的特征,进行变形后可以与第四项结合,再应用 平方差公式进行分解,即x2-2xy+y2-16=(x2-2xy+y2)-16=(x-y)2-42= (x-y+4)(x-y-4),这种分解因式的方法叫作分组分解法. 利用上述方法分解因式:4x2+12xy+9y2-9=__________________.     (2x+3y+3)(2x+3y-3) 初中同步培优卷 解析    4x2+12xy+9y2-9=(2x+3y)2-32=(2x+3y+3)(2x+3y-3). 初中同步培优卷 16.(2025福建厦门外国语学校月考,★★★)在多项式4x2+1中 添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则这个单项式有 _________个.     3     初中同步培优卷 解析　在多项式4x2+1中添加一个单项式,使其成为一个完全 平方式,则这个单项式可以是4x,-4x,4x4,共3个. 初中同步培优卷 三、解答题(本大题共8小题,共66分) 17.(2025山东青岛崂山期末,★☆☆)(8分)计算: (1)103×97. (2)(3x-y)2-6x(x-y). (3)|-3|+(3.14-2 025)0- . (4)(3xy3-6x3y)÷3xy-(x+y)(x-y). 初中同步培优卷 解析    (1)103×97 =(100+3)×(100-3) =1002-32 =10 000-9=9 991. (2)(3x-y)2-6x(x-y)=9x2-6xy+y2-6x2+6xy=3x2+y2. (3)|-3|+(3.14-2 025)0- =3+1+3=7. (4)(3xy3-6x3y)÷3xy-(x+y)(x-y) =(y2-2x2)-(x2-y2)=y2-2x2-x2+y2=2y2-3x2. 初中同步培优卷 18.【新考向·新定义题】(2025辽宁朝阳建平期末,★★☆)(8 分)定义:如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式, 我们就称这个多项式为“双一次可分解式”.例如,多项式x2+ 3x+2=(x+1)·(x+2),它是“双一次可分解式”;而x2+1不能写成 两个一次多项式相乘的形式,所以它不是“双一次可分解 式”. 问题: (1)判断多项式a2+6a+9是不是“双一次可分解式”,并说明理 由. 初中同步培优卷 (2)判断多项式m(x-y)+n(y-x)是不是“双一次可分解式”,并说 明理由. (3)已知多项式mx2+5x+6是“双一次可分解式”,且其中一个 一次因式为x+2,求m的值. 初中同步培优卷 解析    (1)多项式a2+6a+9是“双一次可分解式”. 理由:∵a2+6a+9=(a+3)(a+3),符合“双一次可分解式”的定 义,∴多项式a2+6a+9是“双一次可分解式”. (2)多项式m(x-y)+n(y-x)是“双一次可分解式”. 理由:∵m(x-y)+n(y-x)=m(x-y)-n(x-y)=(m-n)(x-y),∴多项式m(x -y)+n(y-x)是“双一次可分解式”. (3)∵多项式mx2+5x+6是“双一次可分解式”,其中一个因式 为x+2,∴设mx2+5x+6的另一个因式为kx+3,∴(kx+3)(x+2)=kx2+ 2kx+3x+6=kx2+(2k+3)x+6,∴mx2+5x+6=kx2+(2k+3)x+6,∴k=m,2 k+3=5,解得k=1,∴m=k=1. 初中同步培优卷 19.(2025江苏泰州靖江月考,★☆☆)(8分)已知3a=2,3b=6,3c=48. (1)求3a+b的值. (2)求3c-2b的值. (3)求字母a,b,c之间的数量关系. 初中同步培优卷 解析    (1)∵3a=2,3b=6,∴3a+b=3a×3b=2×6=12. (2)∵3b=6,3c=48,∴3c-2b=3c÷32b=3c÷(3b)2=48÷62= . (3)∵(3a)3=23=8,8×6=48,∴(3a)3×3b=3c,即33a+b=3c,∴3a+b=c. 初中同步培优卷 20.【新课标·应用意识】(2025陕西咸阳泾阳期末,★☆☆)(8 分)如图,某公司门前一块长为(6a+2b)米,宽为(4a+2b)米的长 方形空地要铺地砖,空白A,B两正方形区域上是建筑物,不需 要铺地砖,两正方形区域的边长均为(a+b)米. (1)求铺地砖的面积是多少平方米. (2)当a=2,b=3时,需要铺地砖的面积是多少? (3)在(2)的条件下,某种道路防滑地砖的规格是边长为0.2米的 正方形,每块2.5元,不考虑其他因素,如果要购买此种地砖,需 要多少钱? 初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)(6a+2b)(4a+2b)-2(a+b)2=24a2+12ab+8ab+4b2-2(a2+2 ab+b2)=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2=(22a2+16ab+2b2)平方米. 答:铺地砖的面积是(22a2+16ab+2b2)平方米. (2)当a=2,b=3时,22a2+16ab+2b2=22×22+16×2×3+2×32=88+96+ 18=202. 答:此时需要铺地砖的面积是202平方米. (3)202÷0.22×2.5=202÷0.04×2.5=12 625(元). 答:如果要购买此种地砖,需要12 625元. 初中同步培优卷 21.【新考向·规律探究题】(2025山东菏泽定陶期末,★★☆) (8分)观察以下等式: (x+1)(x2-x+1)=x3+1, (x+3)(x2-3x+9)=x3+27, (x+6)(x2-6x+36)=x3+216, …… (1)按以上等式的规律填空:(x+a)(_______)=x3+a3. (2)试利用多项式的乘法法则,说明(1)中的等式成立. (3)利用(1)中的公式化简:(x+4)(x2-4x+16)-(x+2)·(x2-2x+4). 初中同步培优卷 解析    (1)x2-ax+a2. (2)(x+a)(x2-ax+a2) =x·x2-x·ax+x·a2+a·x2-a·ax+a·a2 =x3-ax2+a2x+ax2-a2x+a3 =x3+a3. (3)∵(x+a)(x2-ax+a2)=x3+a3, ∴原式=x3+43-(x3+23)=x3+43-x3-23=64-8=56. 初中同步培优卷 22.【新考向·阅读理解题】(2025陕西渭南富平期末,★★☆) (8分)请看下面的问题:把x4+4分解因式. 分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么 办呢? 菲菲发现该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+22的形式,要使 用公式,可添一项4x2,再将此项4x2减去即可,即x4+4=x4+4x2+4-4 x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2). 请你依照菲菲的做法,将下列各式因式分解: (1)x4+4y4. (2)x2-2ax-b2-2ab. 初中同步培优卷 解析    (1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2 =(x2+2y2)2-4x2y2 =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2)x2-2ax-b2-2ab =x2-2ax+a2-b2-2ab-a2 =(x2-2ax+a2)-(b2+2ab+a2) =(x-a)2-(a+b)2 =(x-a+a+b)(x-a-a-b) =(x+b)(x-2a-b). 初中同步培优卷 23.【学科特色·教材变式P132T7】(2025河北邯郸涉县期末, ★★☆)(9分)观察:(2+3)2-22=7×3;(4+3)2-42=11×3. 嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能 被3整除. 验证: (1)(6+3)2-62的结果是3的_______倍. (2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 延伸: (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数 是几?请说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)15. 详解:(6+3)2-62=81-36=45=3×15, ∴(6+3)2-62是3的15倍. (2)由题意得偶数为2n,比偶数2n大3的数为2n+3, ∴(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3), ∵4n+3为整数,∴3(4n+3)能被3整除,即(2n+3)2-(2n)2能被3整 除. 初中同步培优卷 (3)余数为3.理由如下: 设这个整数为m,则比m大3的数为m+3, ∴(m+3)2-m2=(m+3+m)(m+3-m)=6m+9=6(m+1)+3,∵6(m+1)+3 被6除余3,∴(m+3)2-m2被6除的余数为3. 初中同步培优卷 24.(2025山东潍坊高新区期末,★★★)(9分)【数学问题】若x 满足(9-x)(x-4)=2,求(9-x)2+(x-4)2的值. 【方法阅读】 上面的问题可以用以下的两种方法求解. 初中同步培优卷 方法1 方法2 解:设9-x=a,x-4=b, 则ab=(9-x)(x-4)=2, a+b=(9-x)+(x-4)=5. 所以(9-x)2+(x-4)2 =a2+b2 =(a+b)2-2ab =52-2×2=21 解:作边长为5的正方形,并按 如图所示的方式进行分割, 由图可知(9-x)2+(x-4)2=52-2×2=21 初中同步培优卷 【类比研究】 参照以上方法求解下面的问题,要求(1)(2)问所用方法不同. (1)若x满足(40-x)(x-30)=-10,求(40-x)2+(x-30)2的值. (2)若x满足(2 035-x)2+(x-2 025)2=64,求(2 035-x)·(x-2 025)的值. 【拓伸延伸】 (3)如图,正方形ABCD的边长为x,AE=1,CG=3,长方形EFGD的 面积是10,分别以DE,DG为边作正方形MEDQ和正方形 DGNH,四边形PQDH是长方形,求图中阴影部分的面积. 初中同步培优卷   初中同步培优卷 解析    (1)设(40-x)=m,(x-30)=n, ∵[(40-x)+(x-30)]2=102=100,∴(m+n)2=100, ∵(40-x)(x-30)=-10,∴mn=-10, ∴(40-x)2+(x-30)2=m2+n2=(m+n)2-2mn =100-2×(-10)=120. (2)如图,作边长为10的正方形ABCD,其中四边形EBFG和四边 形IGHD都是正方形, ∵(2 035-x)2+(x-2 025)2=64,∴S1+S2=64, 初中同步培优卷 ∵长方形AEGI的面积=长方形GFCH的面积=(2 035-x)·(x-2 025), ∴长方形AEGI的面积=[102-(S1+S2)]÷2=18, ∴(2 035-x)(x-2 025)=18.   初中同步培优卷 (3)∵正方形ABCD的边长为x,AE=1,CG=3, ∴ED=x-1,DG=x-3, ∵长方形EFGD的面积是10, ∴ED·DG=(x-1)(x-3)=10, ∵[(x-1)-(x-3)]2=22=4, ∴(x-1)2+(x-3)2-2(x-1)(x-3)=4, ∴(x-1)2+(x-3)2-2×10=4, ∴(x-1)2+(x-3)2=24, ∴S正方形MEDQ+S正方形DGNH=24, 初中同步培优卷 ∵S长方形PQDH=S长方形EFGD=(x-1)(x-3)=10, ∴S阴影=S正方形MEDQ+S正方形DGNH+S长方形PQDH+S长方形EFGD=24+10+10=44, ∴阴影部分的面积为44. 初中同步培优卷 $