9.1 认识二元一次方程组-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学课件聚焦二元一次方程组，涵盖定义、解及实际应用等核心知识点。通过基础辨析题导入，借助表格对比明确概念，逐步过渡到解的验证与实际问题列方程，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于融入数学文化（如《九章算术》问题）和学科特色（整体思想、换元法），通过正整数解探究、换元法解题等实例，培养学生抽象能力与运算能力。分层题目设计助力学生提升推理意识，教师可利用其实现精准教学，提高课堂效率。

第9章　二元一次方程组 9.1　认识二元一次方程组 初中数学培优课堂  　二元一次方程(组)的定义 1.(2025山东聊城高唐期中)下列各式是二元一次方程的是  ( ) A.x2-2y=3　　    B.x- =3 C.x+y=3　　    D.x+2y=3z     C     初中数学培优课堂 解析     选项 方程 理由 结论 A x2-2y=3 未知数的最高次数是2 不是 B x- =3 等号左边不是整式 不是 C x+y=3 满足条件 是 D x+2y=3z 含有3个未知数 不是 初中数学培优课堂 2.(2025山东潍坊高密月考改编)下列方程组中,是二元一次方 程组的是 ( ) ① ② ③  ④ ⑤ ⑥  A.①③⑤⑥　　    B.①③④ C.①②③　　     D.③④     D     初中数学培优课堂 解析　方程组①中有3个未知数;方程组②,⑥中未知数的最高 次数是2;方程组③,④符合二元一次方程组的定义;方程组⑤ 中第二个方程不是整式方程.故选D. 初中数学培优课堂 3.已知方程(m2-4)x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5,当m=_______时,它是 一元一次方程;当m=_________时,它是二元一次方程.     2     　-2     解析　当方程是一元一次方程时,分情况讨论:①含x2项、x项 的系数为0,且含y项的系数不为0,则m2-4=0,m+2=0,m+1≠0,解 得m=-2.②含x2项、y项的系数为0,且含x项的系数不为0,则m2- 4=0,m+1=0,m+2≠0,无解.综上,当方程为一元一次方程时,m=-2. 当方程是二元一次方程时,含x2项的系数为0,且含x项、y项的 系数不为0,所以m2-4=0,m+2≠0,m+1≠0,解得m=2. 初中数学培优课堂  　二元一次方程(组)的解 4.(2025山东潍坊高密月考)下表中给出的每一对x,y的值都是 二元一次方程ax-y=9的解,则m等于( )     A     x 1 2 3 y -7 m -3 A.-5　　    B.-3　　    C.3　　    D.5 初中数学培优课堂 解析　把x=1,y=-7代入二元一次方程ax-y=9,得a+7=9,解得a= 2,∴二元一次方程为2x-y=9,把x=2,y=m代入2x-y=9,得4-m=9, 解得m=-5,故选A. 初中数学培优课堂 5.下列方程组中,解为 的是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      D     解析　∵x=-1.5,y=-0.5, ∴x-y=-1.5-(-0.5)=-1,3x+y=3×(-1.5)+(-0.5)=-5, ∴以 为解的方程组是 故选D. 初中数学培优课堂 6.【学科特色·整体思想】(2025山东潍坊昌乐期中改编)若  是方程2x+y=0的解,则2a+b+2=_________.     2     解析　把 代入方程2x+y=0,得2a+b=0,∴2a+b+2=0+2=2. 初中数学培优课堂 7.【学科特色·教材变式P57练习T2】在① ② ③  ④ 这四对数值中,_______是方程x-y=0的解,____ _______是方程x+2y=0的解,因此______是方程组  的解.(填序号) 　①     ①②④     　①③     初中数学培优课堂 解析　将四对数值分别代入方程x-y=0和x+2y=0中,使方程左 右两边相等的一对数值即为方程的解,因此①③是方程x-y=0 的解,①②④是方程x+2y=0的解;方程组的解是两个方程的公 共解,因此①是方程组 的解. 初中数学培优课堂  　根据实际问题列二元一次方程(组) 8.【学科特色·教材变式P57T3】(2025四川南充中考)我国宋 代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解 法,大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今 有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三……,问物几 何?”意思是:有一些物体不知个数,每3个一数,剩余2个;每5个 一数,剩余3个…….问这些物体共有多少个?设3个一数共数了 x次,5个一数共数了y次,其中x,y为正整数,依题意可列方程为 初中数学培优课堂 ( ) A.3x+2=5y+3　　    B.5x+2=3y+3     A     C.3x-2=5y-3　　     D.5x-2=3y-3 解析　等量关系为3个一数的个数+2=5个一数的个数+3,则可 列方程为3x+2=5y+3,故选A. 初中数学培优课堂 9.(2024山东临沂沂南期末)某车间有60名工人生产太阳镜,1 名工人每天可生产镜片200片或镜架50个.应如何分配工人生 产镜片和镜架,才能使产品配套?设安排x名工人生产镜片,y名 工人生产镜架,则可列方程组为 ( ) A. 　　    B.  C.  　　    D.      C     初中数学培优课堂 解析　等量关系为生产镜片的工人数量+生产镜架的工人数 量=60,镜片数量=2×镜架数量,则可列方程组为  故选C. 初中数学培优课堂 10.【新考向·数学文化】(2025四川泸州中考,★★☆)《九章 算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记 载了求不定方程(组)解的问题.例如,方程x+2y=3恰有一个正 整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     C     初中数学培优课堂 解析　方程2x+3y=21变形为x= ,∵x,y均为正整数,∴满 足条件的解是   共3个,故选C. 初中数学培优课堂 11.(2025福建泉州德化期中,★★☆)已知二元一次方程组  的解是 则*表示的方程可能是 ( ) A.x-y=-1　　    B.x+2y=3 C.2x-y=3　　    D.2x+3y=-4     B     初中数学培优课堂 解析　将 代入方程x+y=1,可得-1+a=1,解得a=2,∴方程 组 的解为 将 分别代入四个选项中验 证,只有选项B成立,所以*表示的方程可能是x+2y=3.故选B. 初中数学培优课堂 12.【学科特色·教材变式P57T4】(2025山东聊城冠县一模,★ ★☆)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个 大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘了32 千克荔枝,根据市场销售需求,大小箱都要装满,则所装的箱数 最多为( ) A.8　　    B.9　　    C.10　　    D.11     C     初中数学培优课堂 解析　设可以装x箱大箱,y箱小箱,根据题意得4x+3y=32,∴x= 8- y,又∵x,y均为正整数, ∴ 或 ∴x+y=9或10, ∴所装的箱数最多为10. 故选C. 初中数学培优课堂 13.【新考向·数学文化】(2025山东潍坊诸城期中,★★☆) “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中, 该书的第八章名为“方程”.如: 从左到右 列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y的系数与相应的常 数项,即可表示方程3x+y=41.按照上述规则,  表示的方程是_______________.     x+4y=23     初中数学培优课堂 解析　∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x,y 的系数与相应的常数项,∴ 表示的方程是x+ 4y=23. 初中数学培优课堂 14.(2025山东聊城冠县育才双语学校月考,★★☆)当a=_________ 时,方程组 的解满足x=y. 解析　∵方程组的解满足x=y,∴3x-6=0,解得x=2,把x=2代入2x -9+3a=0,解得a= .故答案为 . 初中数学培优课堂 15.(★★★)若方程组 的解为 则方程组  的解是_________. 初中数学培优课堂 解析　在方程组 中,设x+2=m,y-1=n,则 方程组变形为  ∵方程组 的解为  ∴ ∴  初中数学培优课堂 16.【新课标·运算能力】小红和小明两人共同解方程组   小明说:“我看错了方程①中的a,得到方程组的解为  ” 小红说:“我看错了方程②中的b,得到方程组的解为 ” 初中数学培优课堂 根据两人的对话内容,请你求出a,b正确的值,并计算a2 024+  的值. 解析　因为小明看错了方程①中的a,所以 满足方程 ②,即4×(-3)-b×(-1)=-2,解得b=10.因为小红看错了方程②中的 b,所以 满足方程①,即5a+5×4=15,解得a=-1,所以a2 024+  =(-1)2 024+ =1+(-1)=0. 初中数学培优课堂 $