山西太原市第三实验中学校等校2026届高三下学期四月阶段练习数学试题

2026届高三年级四月阶段练习 数学 (满分：150分用时：120分钟) 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x|2x2+3x≤0}，则A∩B= A.{-2,-1,0}B.{-2,1} C.{0,1 D.{-1,0}》 2.已知复数z=生的实部与虚部相等，则实数a= A.-3 R专 c D.3 3.已知数列{am}的前n项和Sm=n2-3n(n∈N),若p一q=2026,p,q为正整数，则ap -aq= A.4052 B.2026 C.-2026 D.-4052 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-一x2十2x十3一m,则f(一1)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知空间向量a=(7,一1,1)，平面a的一个法向量为n=(3,0,4),则向量a在平面a上 的投影向量是 A.（-4,1,3) C.(4,-1,-3) 6.已知圆C1:x2+y2-4y+3=0与圆C2:(x-3)2+(y十2)2=a2(a>0)有且仅有三条公 切线，则a= A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知x=1.32,y=1.213,之=1.31，则 A.y<x<x B.之<x<y C.z<y<x D.z<x<y 数学第1页共4页 ▣减口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8,设F1(-c,0),F(c,0)分别是双曲线C:-8 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是该 双曲线右支上一点，∠F,PF,的平分线交x轴于点M行，0，令∠PF,F=Q,∠R,PF: =B,若sin(2a十B)=sina,则双曲线C的离心率为 A c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设A,B为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为P(A)=0.5,P(B) =0.2,则下列结论正确的是 A.若事件A,B互斥，则P(A十B)=0.7 B.若事件A,B互斥，则P(A+B)=0.7 C.若事件A,B相互独立，则P(A十B)=0.6 D.若P(B|A)=0.3,则P(B|A)=0.1 10.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为侧面ADD1A1内一点（包含边 界)，则下列结论正确的是 A.若AC1⊥平面BDM,则DM的最大值为√2 B.若点M在线段AD1上，则A1M+MC的最小值为1十√2 C.存在点M,使得点A1和点C到平面AMB,的距离相等 D.三棱锥MBCB,外接球的体积的最小值是 11.已知三个不同的实数x,y,之满足x<y<之，且x十y十之=一6√2，xy十yz十xx= 一30，则 A.x2+y2+z2=132 B.-8√2<x<-5√2 C.-5√2<y<√2 D.(x-2√2)(z一2√2)的最小值是-28 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.x(1一x)6的展开式中x4的系数为 13.在平面直角坐标系中，函数f(x)=2cos(ωx十p)的部分图象如图所示，若AC=2AB, 则点C的纵坐标为 14.已知数列{am}的前n项和为Sm,若a1=a2=1,am=2Sm-2十1(n≥3)，则S4g+S5o= 数学第2页共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b十bcos A=a cos B, (1)求角C的取值范围； (2求。2的取值范围。 16.(本小题满分15分) 如图，在底面是菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=120°，AA1=AB=2, E为线段A1D上靠近A1的三等分点，F为线段BC的中点. (1)求证：A1F∥平面ACE; (2)求点A1到平面ACE的距离. A D 17.(本小题满分15分) 户知椭圆C:名+y 十6=1(a>b>0)的上顶点为P,右焦点为F(c,0),右顶点为A. (1)若椭圆的离心率为 ,且以原点0为圆心，b为半径的圆与直线y=ax十39相切， 求椭圆C的标准方程； (2)若直线PF交椭圆C于另一点Q,设直线AP,AQ的斜率分别为1，k2,求k1k2的 值（结果用离心率e表示）. 数学第3页共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演. 某实验室为测试A,B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一 个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验 失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验 已知A型号机器人试验成功的概率为后，失败的概率为号B型号机器人试验成功的概 率为2，失败的概率为2试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人 (1)记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望E(X); (2)设Pm为第n轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列{Pn}的通项公式； ②记Sm为前n轮试验的期望总得分，求Sm关于n的表达式， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=|x十2|ex一a,若f(x)=0有三个实数解x1,x2,x3,且x1<x2 <x3. (1)求实数a的取值范围； (2)求证： ①x2+x3>-2; @-<a+ 数学第4页共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 2026届高三年级四月阶段练习 数学参考答案及多维细目表 题号 3 7.【答案】A 4 5 6 【解析】f(x)=1.3r在R上为增函数，1.2>1. 答案 D B A B C C 1,∴.1.32>1.31，即x>z. 题号 2 9 10 11 方法一：y10=(1.21.3)10=1.218,之10=(1.311)0= 答案 D ACD ACD ABC 之10 1.3)"、 1.【答案】D 【解析】，A=(-2,-1,0,1),B={x|2x2+3x (1+)"×2(+ch×)×4 =1.44 ,.A∩B=(-1,0). >1. 2.【答案B ∴.z10>y0,即x>y,x>z>y. 【解析】之= ati (a+i)(1-2i) 方法二：lny=1.3ln1.2,lnz=1.1ln1.3, 1+2i (1+2i)(1-2i) a+2+(-2a+1)i-a+2+-2a+ lnz-1ny=1.1m1.3-1.3n12=1.1ln7 5 5 0.2ln1.2. “复数=中艺的实部与虚部相等 5 易知>0时千z<h1+)<,号> -20+中1，解得a=- 5 1 12 1 3.【答案】A 1+113,-ln1.2>-0.2,.lnx-lny>1.1 【解析】易知数列{an)为等差数列，a1=S1=一2， d=2,.am=2n-4..ap-a,=2(p-q)）= -0.2×0.2= 4052. 650>0lnz-lny>0,即z 29 4.【答案B >y,..x>x>y. 【解析】f(x)是定义在R上的奇函数， 8.【答案】D ∴.当x≥0时，f(0)=3-m=0,解得m=3, 【解析】·PM为∠FPF2的平分线，且F(-c, 当x≥0时，f(x)=-x2+2x, .f(-1)=-f(1)=-(-12+2×1)=-1. 0M台小，c0.e- 5.【答案】C 【解析】，向量a在法向量n上的投影向量为 号即IPF=1Pr 3 n了·m=(3,0,4),向量a在平面&上的 a·nn 由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即 投影向量是(7，一1,1)-(3,0,4)=(4，一1，-3). 6.【答案C 1PF2-PE2=2a,解得1PE5a 【解析】，圆C,的标准方程为x2+(y一2)2=1， IP F2|=3a. .圆C的圆心为(0,2)，半径为r1=1. 又圆C2:(x-3)2+(y+2)2=a2(a>0)的圆心 方法一：设∠PF2F,=y,则由正弦定理得sin2 sin a 为(3，-2)，半径为r2=a. PF5 .两圆的圆心距为d=√(0一3)2+(2+2)2=5. =PF2=31 ,两圆有且仅有三条公切线，两圆外切， 在△PFF2中，a+B=r-y,.sin(2a十B)= ∴.d=r1十r2=a十1=5，解得a=4. sin(x-y+a)=sin(y-a)=sin Ycos a- 数学参考答案第1页共6页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ cos Ysin a=sin a. +P(B)=0.5+0.2=0.7,P(A+B)=P(AU 把siny=5 3sina代人，得sin acos a一cos2y· B)=P(A∩B)=1-P(A∩B)=1,.选项A 正确，选项B错误； 、5 sin a=sin a,cos a-cos=1. 若事件A,B相互独立，则P(A十B)=P(A)十 P(B)一P(AB)=0.5+0.2-0.5×0.2=0.6, 由in7=号sne得sin2y-药sina,1-cons7 5 .选项C正确； 由P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(BI 、 g(1-cosa). A)得0.2=0.5×0.3+0.5P(B1A),.P(B1A) =01,∴，选项D正确。 把cos7=号cs-1代人，得1-(3。-】 10.【答案】ACD 9-9c0s2a,1-25c 2525 cos'a+1 25 【解析】易知AC,⊥平面BDA1,又点M在侧面 3cosa-1= ADD1A,内，∴.点M的轨迹为线段A1D,当点 25 gcosa, M在A1处时，DM取最大值为√2，.选项A 正确； 化简得c0sa-吾，此时c0sy=g 7 将△ACD,沿DA翻折到与平面AA:D1共 面，且A1,C在D1A的异侧.如图，连接A1C, 在△PF,F2中，由余弦定理得cosY 交AD,于点H,则A,C即为A:M十MC的最 (3a)2+(2c)2-(5a)2_c2-4a2=7 2·3a·2 3ac 8,即6c2 小值，易知A,H=号，CH-最小值为 7ac-24a2=0. 两边同除a2得6e2-7e-24=0,即(2e+3)· 巨+6，选项B错误： 2 (3e-8)=00=号或e=-2(含去). 方法二：，sin(2a十B)=sina,∴.2a+B=a十 2kπ，或2a十B=π-a十2kπ，k∈N', ∴.a十B=2kπ，或3a十B=(2k十1)π. 又a,B是△PFF2的内角，.0<a+B<π，0< 由A,B平分AB:可知点A,和点B到平面 3a+B<3π， AMB,的距离相等，若点A,和点C到平面 .3a+B=π，∴.∠PF2F1=π-(a+B)=2a. AMB,的距离相等，必有BC∥平面AMB1.又 作∠PF2F1的平分线，交PF,于点N. BC∥AD,,点M在线段AD上，.选项C 正确； 设平面AA1D1D的中心为O1,平面BB1C1C 的中心为O2,易知三棱锥M-BCB,外接球的球 心0在线段002上 易知△PF,F2∽△PF2N,△NF1F2是等腰三 令MO1=t,外接球半径为R,则OO1= 角形， 2 √/R2-t,002= /R2- 又001+002 NPl=gF:P-号PN1=PFl 2 1 .lNF.I-INF.l. =1,.√R2-t2+,R2 =1,整理得R2= 2 台+ +当=0时，Rm 3 XINF,I=IPF,I-IPNI=16a, .16 4,此时外 5a, 6 C, e-- 接球的体积为V=音xR-语即点M与点 O,重合时，三棱锥M-BCB,外接球的体积取最 9.【答案】ACD 【解析】若事件A,B互斥，则P(A十B)=P(A) 小值治选项D正确， 数学参考答案第2页共6页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 11.【答案】ABC C的纵坐标为2√3一2. 【解析】，x2+y2+z2=(x十y十x)2一2(xy+ yz+之x)=(-6√2)2-2×(-30)=132，.选 项A正确； y十z=-6W2-x,yz=-30-x(y十之)= -30-x(-6√2-x)=x2+6√2x-30. :y,之是不同实数，∴.(y十x)2>4yz,即（一6√2 -x)2-4(x2+6W2x-30)>0. 14.【答案】250一1 整理得x2+4√2x一64<0，解得一8√2<x< 【解析】依题意得S1=1,S2=2. 4√2.同理可得一8√2<y<4√2. 当n≥3时，an=2Sm-2十1，即Sn一Sm-1 又x<y<z,.(x-y)(x-z)>0,x2 2Sm-2+1,Sn十Sm-1=2(Sm-1+Sm-2)+1. (y+x)x+yz>0,即3.x2+12√2x-30>0,解 设bn=Sm+1十Sn,则bm-1=2bm-2十1，n≥3，即 得x<-5√2，或x>√2. bm-1+1=2(bn-2十1)，n≥3. x<y<z,x+y十x=-62<0,∴x<-5V2. 又b1+1=S1+S2+1=4,.(bn+1)是以4为 首项，2为公比的等比数列， ∴综上所述，一8√2<x<一5√2，选项B正确； ∴bn+1=4X2m-1,∴.bn=2"+1-1,即Sm+1十 同理，(y一x)(y一z)<0,解得一5√2<y<√2， Sn=2+1-1.∴.S49+S50=250-1. 选项C正确； 15.解：(1)b+bcos A=a cos B,.由正弦定理得 (x-2V2)(之-2√2)=xx-2√2(x+z)+8,代 sin B+sin Bcos A=sin Acos B,sin B= 人x十x=-62-y,x之=y2+6W2y-30,得 sin(A-B). ………1分 (x-2W2)(x-2√2)=y2+8√2y+2,这是关 ,△ABC为锐角三角形，∴.B=A一B,即A= 于y的二次函数，开口向上，对称轴y=一4√2， 2B.…2分 且一5√2<y<√2，对称轴在区间内，∴最小值 0<2B<, 在y=一4√2处取得，即最小值为（一4√2）2+ 8√2（一4√2）+2=32-64+2=一30，∴.选项D 0<x-B<Be(B∈ 错误。 12.【答案】-20 0<B<, 【解析】，x(1一x)的展开式中x的系数即为 ce() …5分 (1一x)°的展开式中x3的系数.又二项式(1一x) 的展开式的通项为T,+1=C6X16-"×(一x)r= (2)由正弦定理得一a=sinC-sinA C6(-1)x',.令r=3,可得T4=C8(-1)3x3 b sin B =一20x3,∴x(1一x)6的展开式中x4的系数 sin 3B-sin 2B 3sin B-4sin'B-2sin Bcos B sin B sin B 为一20. =3-4 sin2B-2cos B=4 cos2B-2cos B-1= 13.【答案】2V3-2 【解析】如图，把函数图象进行平移，使得点 ……………10分 A与坐标系原点O重合，得函数g(x)= 一2cos(wx)的图象，点B,C的对应点分别为 asB∈（停} ……12分 B',C'.依题意，可设B(x,一2cos(wx),则 C'(2x,-2cos(2wx)). 62∈1-2,2-5).…13分 ∴.-4c0s(wx)=-2cos(2wx),∴.2c0s(wx)= 16.(1)证明：如图1，连接DF交线段AC于点G, 2coa)-1,解得CO）=1一5（正值舍去）】 连接GE.…2分 2 GF FC ∴.一2cos(2wx)=一4cos(wx)=2√3一2，即点 AD/BC.FC=7BC-7AD,GD-AD 数学参考答案第3页共6页 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ AA·n 2 …4分 ·点A,到平面ACE的距离d= n 又-GE∥AE,又GEC平面ACE 3 2√57 3 19 …15分 A,F庄平面ACE,∴.A:F∥平面ACE.… (3)2+(-3)2+ ……………………6分 17.解：(1)依题意得b= V39 A ,联立 a2+1 c -3 a 2’ [a2=12, a2=b2+c2,解得b2=3, …3分 39 c2=9. 图1 √a2+1 (2)解：如图2，连接AF,,四边形ABCD为菱 六稀贸C的标准方程为后十号1…6分 形，∠BAD=120°，∴.∠ABC=60°，AB=BC= 2,则△ABC为等边三角形.…7分 (2)依题意得，=-名，直线PQ的方程为) ⊙、b ………8分 cx+b, +， 联立{ 去y得侣+司) 621, 图2 2x=0,解得x=0,或x 2a"c 又F为BC中点，∴AF⊥BC. a2+c2 …11分 又BC∥AD,∴AF⊥AD.…8分 六点Q的坐标为2ac,6(c2-a) 易知AA1⊥平面ABCD,∴以A为原点，AF, a2+c2a2+c2b2= AD,AA,所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建 b(c2-a2) a2+c2 一0 b(a+c) 立如图所示的空间直角坐标系.…9分 …………13分 2a'c a(a-c) 易知A(0,0,0),C(W3,1,0),D(0,2,0),A1(0, a2+cz-a 0,2),,E为A1D上靠近A1的三等分点， k1k2=一 b2(a+c) =-a2-c2 .a+c= 。24 a2(a-c) a2 a-c E033) ……10分 -(1-e2)· 。24 1+e=-(1十e)只.…15分 AC=(5,1,0,A范=0，分3)AA- 1-e (0,0,2).…11分 设平面ACE的法向量为n=（x,y,之)， n·AC=√3x+y=0, …a正-+=0 则 4 3 令x=3，则y=一3，x= 21 18.解：(1)者得分为0分，则3轮都失败，概率为号 m=,-3,) …13分 …1分 若得分为1分，则3轮中只有1轮成功，概率为 数学参考答案第4页共6页 ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣号 4 当x→-o∞时，g(x)=二（x+2)+o0,当z …2分 小+∞时，g(x)=+20,g（-1）=(-1+ 若得分为2分，则3轮中只有2轮成功，概率为 2)Xe=e.……………4分 ,要使直线y=a与函数g(x)的图象有三个交 ……………3分 点，则0<a<e;…5分 若得分为3分，则3轮都成功，概率为号×告× (2)证明：①由(1)可知g(x2)=g(x3),一2< x2<-1<x8.…6分 464 设F(x)=g(x)-g(-2-x),一2<x<-1, 5-125 …………………4分 F(x)=g'(x)+g'(-2-x)=-(x+1)· ,129 64 &EX)=0X+1X+2X00+3X28 e-x+(x+1)·e+2=(x+1)·(e2+2-ex). 当-2<x<-1时，x+1<0,e+2<er, -1131 …5分 .F'(x)>0,.F(x)在区间（一2，-1）上单调 500 (2)0由题意得递推关系得P,=号P.-+21- 递增.…8分 1 .F(x)=g（x)-g(-2-x)<F(-1)=0,即 P-1)=3 1 g(x)<g(-2-x),g(x2)<g(-2-x2) P-+ ………7分 又g(x2)=g(x3),∴g(x3)<g(-2-x2). 由P,=1,构造等比数列得P。一号-二（品 5=2(3)"- 又-1<-2-x2<0,x3>-1,g(x)在区间 (-1,+∞)上单调递减，x3>一2-x2,即x2 …9分 十x3>一2.…………11分 ·通项公式为P.=号+0》 5,23"- .…10分 ②过点（一2,0）和（一1，e)的直线L1的方程为y =e(x十2)，.直线l1即为曲线y=g(x)(x≥ 4 ②设第k轮得分期望为Ea,则E:=Pk·5十(I 一2)的割线 当-2<x<-1时，(x十2)·er一e(x+2)= -P).1= 5+33)-1 (x+2)(er-e)>0,.函数y=g(x)(-2<x 273510 …13分 <一1)的图象总在直线l1上方.…13分 ∴.前n轮期望总得分为S。= E 过点（一2,0）且与函数y=g(x)(x≤一2)的图 k=1 [+食门+- 象相切的直线l2的方程为y=一e(x十2). (3)” ,x<-2时，-(x+2)·ex+e2(x+2)= (x+2)(e2-er)>0,.函数y=g(x)(x< …17分 一2)的图象总在直线？上方，大致图象如图 19.(1)解：令f(x)=|x+2|e-x一a=0, 所示. 即|x十2ex=a,……1分 设g(x)=|x十2ler,则函数g(x)的图象与y =a有三个交点. 当x<-2时，g(x)=-(x+2)·e,g'(x) y=g(x) =一[ex-(x+2)·e-x]=(x+1)·ex. 易知此时g'(x)<0,∴g(x)在区间（一∞， -2/-1o 一2)上单调递减。……………2分 设直线l1,l2与直线y=a(a∈(0，e)的交点横 当x≥-2时，g(x)=(x十2)·er,g'(x)= e-x-(x十2)·e-r=一(x十1)·e-x, 坐标分别为x1,x,则可知x2<x4= a -2,x1 当一2<x<-1时，g'(x)>0;当x>-1时， g(x)<0. >x5= 一2，……15分 e2 ·g(x)在区间（一2，一1）上单调递增，在区间 (一1，十∞)上单调递减. …17分 数学参考答案第5页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观数学数据 抽象推理建模想象运算 易 中 难 分析 选择题 1 5 集合的运算 选择题 2 5 复数 选择题 3 5 等差数列 选择题 4 5 函数的性质 选择题 5 5 空间向量的投影向量 √ √ √ 选择题 6 5 圆的公切线 √ 选择题 7 5 指数结构比大小 √ 选择题 8 双曲线 √ 选择题 9 6 概率性质运算 选择题 10 6 立体几何 √ 选择题 11 6 不等式综合 填空题 12 二项式定理 填空题 13 5 三角函数的图象与性质 √ 填空题 14 数列综合 解答题 15 13 解三角形 解答题 16 15 空间向量与立体几何 / 解答题 17 15 椭圆综合 解答题 18 17 概率与数列综合 解答题 19 17 导函数综合 数学参考答案第6页共6页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效