第01讲 向量共线与基本定理-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第01讲 向量共线与基本定理 【必备方法结论】 共线向量定理: 对空间任意两个向量与共线的充要条件是存在唯一实数,使. 共线向量定理的应用: 若点,,互不重合,是,,三点所在平面上的任意一点,且满足,则,,三点共线. 在中,是上的点,如果,则, 其中,,知二可求一.如果是边上的中线,则. 共线向量的坐标表示: 设,其中.向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.用坐标表示为,即消去,得.这就是说,向量 共线的充要条件是. 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数, 使.若不共线,我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【典例剖析】 类型一:定理法解决向量共线问题 1．已知、是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设，则，所以，，所以，. 故选：A. 2．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以设， 因为，， 所以，可得， 所以， 故选：C． 3．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ，µ满足（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由，，， 可得，； 若三点共线，则，可得，化简得. 故选：B. 4．(1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）-8 【详解】 (1)，， ，与共线. 又与有公共点B，三点共线. (2). 三点共线，共线. ∴存在实数使，即. . 与不共线，. 类型二:坐标公式法解决向量共线问题 1．已知向量，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 解：∵，向量，， ∴，即， 根据充分必要条件的定义可判断： “”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设点的坐标为， 因为、、三点共线，所以， 因为，，所以，， 则，整理得， 将、、、代入中，只有满足， 故选：C. 3．已知向量，，. (1)求与共线的单位向量； (2)求满足的实数m，n的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解析】 (1)根据题意，向量，， 则， 设要求的单位向量为，则，， 则有，解可得， 故要求的单位向量为或； (2)根据题意，若，则 ， 则有，解可得； (3)根据题意，，， 若，则有，解可得， 故． 4．已知向量，，，． (1)求； (2)是否存在实数，，使得； (3)若，求实数的值． (4)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在实数， (3) (4)且 【解析】 (1)向量，，． ，，，，． (2)， ，，，，， ，解得，， 存在实数，，使得； (3)，， ， ， 解得实数． (4)与的夹角是钝角 ，且， ，且， 解得且 类型三:巧用结论法解决向量共线问题 1．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在中，点M是BC的中点，，则， 又，于是得，因点C，D，N共线，则有，解得， 所以. 故选：C 2．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意可知，，所以， 又，即. 因为、、三点共线，所以，解得. 故选：D． 3．在平行四边形中，，分别为，上的点，连接，交于点，已知且，若，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 共线，， ， ，解得 故选：B 4．如图所示，△中，，，.线段相交于点. (1)用向量与表示及； (2)若，试求实数的值. 【答案】(1)，； (2)，. 【解析】 (1)由题设，，. (2)设， 所以，且， 所以，则，可得， 所以，故，. 类型四:基底法解决向量基本定理问题 1．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 矩形中， ， 所以，，． 故选：A． 2．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 3．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向