8.3 实数及其简单运算-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；(重点) 2.进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；(重点) 3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用；(难点) 4.了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点) 5.了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能利用 化简对实数进行简单的四则运算.(难点) 学习目标 初中数学培优课堂 -1 1 2 4 平方根 立方根 ±1 1 不存在 -1 ±2 填一填 上表中所填的这些数都是有理数吗？ ± 情境导入 初中数学培优课堂 -1 0 π -1.0 0.0 -0.6 2.5 1.有理数（整数、分数）可以写成有限小数或无限循环小数. 2.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 3.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 两种小数有什么区别？你发现了什么？ 知识讲解 知识点一 实数的概念和分类 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列各数写成小数的形式. 初中数学培优课堂 -1 1 2 4 平方根 立方根 ±1 1 不存在 -1 ±2 无理数 无理数的概念:无限不循环小数叫作无理数. 你还能举出一些无理数的例子吗？ 知识讲解 初中数学培优课堂 思考： 是无理数吗？2.020 020 002 000 02··· 是无理数吗？ 常见的一些无理数： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得的结果； (3) 有规律但不循环的小数，如 1.01001000100001···. 它们都是无限不循环小数，是无理数. 知识讲解 初中数学培优课堂 思考：我们将有理数和无理数统称为实数. 你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 知识讲解 初中数学培优课堂 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 由于非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法， 按大小对实数分类吗？ 知识讲解 初中数学培优课堂 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例1.将下列各数分别填入相应的括号内： 知识讲解 初中数学培优课堂 例2.下列说法中，正确的是（ ）. A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 例3.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是（ ）. 输入x 取算术 平方根 输出y 是无理数 是有理数 C D A. 9 B. C.3 D. 知识讲解 初中数学培优课堂 探究：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也能用数轴上的点 表示出来呢？ 因为半径为 的圆的周长为 π，所以数轴上点 A 表示的数是无理数 π. 0 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 知识点二 实数与数轴上的点 能不能在数轴上找到表示 π 的点呢？ 知识讲解 初中数学培优课堂 把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____. 思考：你能在数轴上表示出 和 - 吗？ 知识讲解 初中数学培优课堂 －2 －1 0 1 2 - 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 知识讲解 初中数学培优课堂 例1.如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 －1 和 ，点 B 关于点 A 的 对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 解析：∵数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ， ∴点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ . 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， ∴－1－x ＝ 1＋ ， ∴ x ＝ －2－ . 知识讲解 初中数学培优课堂 比较大小 与有理数一样，实数也可以比较大小： 数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 与有理数一样，在实数范围内： 正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数. 知识讲解 初中数学培优课堂 例2.在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. -2 -1 0 1 2 3 1 -2 知识讲解 估算 常见无理数的近似值： 初中数学培优课堂 有理数中的几个重要概念: ① 相反数 ② 绝对值 ③ 倒数 思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？ 有倒数吗？怎么表示？ 知识讲解 初中数学培优课堂 18 (1) 的相反数是_______；π 的相反数是_______； 0 的相反数是______； （2）| - |=_______；| - |=_______. π 知识点三 实数的性质 -π · - π 0 π · 知识讲解 - 初中数学培优课堂 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 与 - 互为相反数. 与 互为倒数. 知识讲解 | |= ，| |= ,| |= 知识点三 实数的性质 初中数学培优课堂 实数 a 的相反数是 - a. 实数 a 与 - a 表示的点到原点的距离相等. 总结： ①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③ 0 的绝对值是 0. 知识讲解 绝对值 初中数学培优课堂 例1.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： 解析：(1) ∵ ＝－4， ∴ 的相反数是4，倒数是 - ，绝对值是 4. (2) ∵ ＝15， ∴ 的相反数是 - 15，倒数是 , 绝对值是15. (3) 的相反数是 - ，倒数是 ，绝对值是 . 知识讲解 初中数学培优课堂 知识点四 实数的运算 思考：有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立吗？ 有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用. 知识讲解 初中数学培优课堂 填空：设 a，b，c 是任意实数，则 （1）a + b = （加法交换律）； （2）(a + b) + c = （加法结合律）； （3）a + 0 = 0 + a = ； （4）a + (- a) = (- a) + a = ； （5）ab = （乘法交换律）； （6）(ab)c = （乘法结合律）； b + a a + (b + c) a 0 ba a(bc) （7） 1 · a = a · 1 = ； a 知识讲解 知识点四 实数的运算 初中数学培优课堂 （8）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； （10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1， 我们把 b 叫作 a 的＿＿＿； （11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b = a · ； （12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0. ab + ac ba + ca (-b) 倒数 ≠ 知识讲解 初中数学培优课堂 1.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0 的平方根是 0.在实数范围内，负数没有平方根. 2.在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根， 而且与它本身的符号相同. 实数的平方根与立方根的性质： 此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于 实数仍然成立. 知识讲解 初中数学培优课堂 例1.计算下列各式的值： 解析：(1)原式=+（-）=. (2)原式==. (1)+- ; (2)+2. 知识讲解 初中数学培优课堂 1. 下列说法正确的是（ ） A. a 一定是正实数 B. 是有理数 C. 是有理数 D. 数轴上任一点都对应一个有理数 B 随堂练习 初中数学培优课堂 2.下列各数中，互为相反数的是 ( ) A. 3 与 B. 2 与 ( -2 ) 2 C. ( -1 )2 与 D. 5 与 | -5 | C 3. | -3 | - | 2 - |的值是( ) C A. 5 B. -1 C. 5-2 D.2 -5 原式 - ( - 2 ) = - 随堂练习 初中数学培优课堂 29 4.若实数 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 是 9 的平方根. 求 - + +. 当 m = 3 时，原式 = 0 + 1 + (3 - 1)2 = 1 + 4 = 5； 当 m = -3 时，原式 = 0 + 1 + (-3 - 1)2 = 1 + 16 = 17. 解析：由已知得 a + b = 0，cd = 1，m = ±3. 随堂练习 初中数学培优课堂 5.观察下图，每个小正方形的边长均为 1. (1) 图中阴影部分(正方形)的面积是多少？ 他的边长是多少？ (2) 阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间？ 解析：(1) 阴影部分的面积为 33 - 4× ×1×2 = 9 - 4 = 5. 它的边长为 . (2) 因为 5 在 4 与 9 之间，所以 在 2 与 3 之间. 即阴影部分的边长在 2 与 3 之间. 随堂练习 初中数学培优课堂 6.如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间 t (单位：s) 与细线的长度 l (单位：m)之间满足关系式 t =2 . 当细线的长度为 0.5 m 时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少( π ≈ 3.14， ≈ 0.22 结果保留小数点后一位)？ 随堂练习 初中数学培优课堂 解析：当 l = 0.5 时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间是 1.4 s t =2 = 2 ≈ 2×3.14× ≈ 2×3.14×0.22 =1.3816 ≈1.4（s） 随堂练习 初中数学培优课堂 实数 数轴 相反数 有理数 无理数 绝对值 倒数 实数的运算 课后小结 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 数与点的对应 初中数学培优课堂 $