8.3 实数及其简单运算（第2课时实数的性质及简单运算）（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.3 实数及其简单运算 第2课时 实数的性质 及简单运算 第八章 实数 实数 第八章 8.1 平方根 8. 2 立方根 8. 3 实数及其简单运算 章节导读 平方根 算术平方根及其估算 用计算器求算术平方根 立方根 立方根的性质及用计算器求立方根 实数的概念及数轴表示 实数的性质及简单运算 学 习 目 标 1 2 3 能理解实数范围内相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值，体会实数的相关概念与有理数的一致性； 能类比有理数的运算法则和运算律，进行实数的简单加减运算，并能按要求对无理数运算结果取近似值； 能运用实数的相反数、绝对值及运算知识解决简单问题，感受数系扩充的合理性，提升类比迁移与运算能力. 导入新课 今天我们就来学习实数的相反数、绝对值，以及如何进行实数的简单运算，看看有理数的运算法则在实数范围内是不是同样适用． 我们在有理数的学习中，知道了什么是相反数和绝对值．谁能举个例子说说？ 5 的相反数是 - 5 |-3|=3 那我们现在学习了无理数，把数的范围扩充到了实数．比如​、−π，它们有没有相反数和绝对值呢？如果有，又该怎么表示？ （1）的相反数是______，的相反数是______， 0 的相反数是______ ； （2） | | ＝ ____ ，|| ＝ ____ ，| 0 | ＝ ____ ． 新知探究 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数． 0 0 一个实数的绝对值 就是它在数轴上的对应点与原点的距离． 思考 新知探究 数 a 的相反数是－a． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 即设 a 表示一个实数，则 典例分析 例1：（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 解：（1）因为 ， 所以 ，的相反数分别是， （2）因为 ， 所，分别是，的相反数 典例分析 解：（3）因为 ， 所以 （4）因为 ， 所以绝对值为的数是和 例1：（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 基础训练 1．如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（    ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③ ； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤ ． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 B 【解析】本题主要考查了实数的性质，立方根和平方根，算术平方根，熟知相关知识是解题的关键．通过判断每个填空题的正确性，结合实数的性质、平方根、算术平方根和立方根的定义，计算得分． 解：①的倒数是，不是，计算错误；②的绝对值是，计算正确；③表示算术平方根，结果是2，不是，计算错误； ④0的平方根和立方根都是0，计算正确；⑤，计算正确；∴正确题数为3，得分：分，故选：B． 基础训练 2．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【解析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． 解：（2）∵与互为相反数，∴， 又，∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 新知探究 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 　　随着数的范围的进一步扩充，负数也将可以进行开平方运算． 新知探究 实数的运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．同级运算__________依次进行，有括号的要_________里面的． 乘方、开方 乘、除 加、减 从左到右 先算括号 加法交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 典例分析 例2：计算. （1）； （2） 解：（1） = （加法结合律） =0 = （2） = （分配律） = 基础训练 1．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． B 【解析】本题通过直接计算每个选项的左右值，判断等式是否成立，注意算术平方根和绝对值的性质．本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的性质，掌握算术平方根与立方根的计算规则、绝对值的化简方法是解题的关键． 解：A、∵=3，=2，∴ =1，而≠1，故A错误，不符合题意；B、∵ ≈1.732 > 1，∴ =，故B正确，符合题意；C、=3，而非±3，故C错误，不符合题意；D、== 9，∴ =−9 ≠9，故D错误，不符合题意． 故选：B． 基础训练 2．计算：(1)；(2)． 【解析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的意义，绝对值是解题的关键．先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可． 解：（1） ． （2） ． 新知探究 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果 的近似值时，一般先用近似有限小数 （例如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算 结果四舍五入． 例3：计算（结果保留小数点后两位）. （1） ； （2） 解：（1） ≈2.2362.646=0.41 ； （2）≈3.142×1.442 ≈4.53. 在近似计算时，计算过程中有时也使用 “去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入．如≈2.2362.645 ≈ 0.41 ． 典例分析 基础训练 1．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 【解析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键．先估算的大小，再得到的整数部分，最后依据定义求解即可． 解：∵ ，，∴，∴ ， ∴，故选：B． 基础训练 2．计算（结果保留小数点后两位）： （1）； （2）． 【解析】（1）利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位； （2）分别利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位． 解：（1）； （2）． 新知总结 实数的性质及简单运算 ①实数的相反数与绝对值 ②实数的简单运算 有理数的运算法则和运算律，在实数范围内同样适用. 有理数中相反数和绝对值的定义，完全适用于实数. 数 a 的相反数是－a，这里 a 表示任意一个实数． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． ③类比迁移 数系从有理数扩充到实数后，核心概念和运算规则保持一致，体现了数学的延续性. 巩固练习 1．下列说法正确的是（     ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 C 【解析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 解：A、绝对值是的数是，故说法错误；B、的相反数是，故说法错误；C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误；故选：C． 巩固练习 2．实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【解析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 解：由题意，得：，∴， ∴ 或； 故答案为：． 巩固练习 3．计算： (1)．(2)． 【解析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．（1）根据立方根、幂的运算、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可；（2）根据算术平方根、绝对值、立方根、幂的运算逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 解：（1）原式． （2）原式． 拓展提升 4．阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴，也是有理数．由于是无理数，∴，，∴，，∴． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【解析】本题考查了有理数与无理数的性质，掌握有理数与无理数组成的等式中，有理数部分和无理数部分的系数需分别为是解题的关键．先把等式整理成有理数部分+无理数部分的形式，再根据有理数和无理数的性质，让有理数部分和无理数部分的系数分别为，从而解出的值，最后计算． 拓展提升 4．阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴，也是有理数．由于是无理数，∴，，∴，，∴． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得：． ∵都是有理数，∴、也是有理数． 由于是无理数， ∴，，∴，． 故或． 课堂总结 感谢聆听! $