7.1.2 第1课时 垂线及其画法-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学教学课件（人教版·新教材）

第七章 相交线与平行线 7.1.2 垂线及其画法 初中数学培优课堂 学习目标 情境导入 知识讲解 随堂练习 课后小结 目 录 初中数学培优课堂 1．理解垂线的概念；（重点） 2．会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；（重点） 3. 体会作已知直线的垂线的存在性和唯一性，归纳出垂线的基本事实.（难点） 学习目标 初中数学培优课堂 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情境导入 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 初中数学培优课堂 知识点一 垂直、垂线、垂足的概念 取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角为 α . 转动木条的同时观察其夹角的变化. ） α a b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 知识讲解 初中数学培优课堂 a 与 b 垂直, 记作 a⊥b. (1) 当 α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少度？ (2) 旋转过程中α 为 90° 的位置有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？ α b ） α b ） a a 唯一一个 思考： 知识讲解 初中数学培优课堂 垂足 记法： AB⊥CD，垂足为 O. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线. 知识点一 垂直、垂线、垂足的概念 知识讲解 初中数学培优课堂 垂足 符号语言： 因为∠AOC = 90°， 所以 AB⊥CD. 知识讲解 知识点一 垂直、垂线、垂足的概念 初中数学培优课堂 知识点二 垂线的画法及基本事实 (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 知识讲解 思考： 初中数学培优课堂 问题：这样画 l 的垂线可以 画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l， 画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … 知识讲解 初中数学培优课堂 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 上的 一点 A，过点 A 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 知识讲解 初中数学培优课堂 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线. l M N 1.放 2.靠 3.移 4.画 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 知识讲解 初中数学培优课堂 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点二 垂线的画法及基本事实 知识讲解 初中数学培优课堂 A B 例1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． P (1) A B P (2) 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 知识讲解 初中数学培优课堂 例2 如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是 ( ) D A C B D 垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长线上，所画的垂线是实线.若需延长线段或反向延长射线，则用虚线。 知识讲解 初中数学培优课堂 1. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 随堂练习 初中数学培优课堂 2.在直线AB 上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD 于点O. 当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为( ) A.60° B.120° C.60°或90° D.60°或120° 【解析】分两种情况讨论：①如图①， 因为OC⊥0D,所以∠COD=90°, 所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°; ②如图②，因为OC⊥OD，所以∠COD=90°, 所以∠AOD=∠COD-∠AOC=60°, 所以∠BOD=180°-∠AOD=120°. 综上所述，∠BOD的度数为60°或120°. 随堂练习 ① ② D 初中数学培优课堂 3.如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，若∠AOC = 40°，则 ∠EOF =_______. 分析： ∠EOF = 90°+∠DOF OD 平分∠BOF ∠AOC = ∠DOB ∠EOF = 90°+40° = 130° 130° 随堂练习 初中数学培优课堂 4. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB. (1) 若 ∠1 = ∠2，求∠NOD 的度数； (2) 若 ∠1=∠AOC，求 ∠BOC 和 ∠MOD 的度数. 分析：(1) ∠1 = ∠2 OM⊥AB ∠2+∠AOC = 90° ∠NOD = 90° 90° 随堂练习 初中数学培优课堂 (2) ∠BOC = ∠1+90° ∠MOD = 180°-∠1 需求出 ∠1 的度数 已知∠1 = ∠AOC OM⊥AB 设∠1 = x°，列方程 x+2x=90求∠1 未知角度 逆向思考 与已知角度建立联系 (可设未知数列方程） ∠MOD = 150° ∠BOC = 120° 随堂练习 初中数学培优课堂 5.如图，已知O为直线AB上一 点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC, 则OE与OD有什么位置关系?为 什么? 解：OE⊥OD.理由如下： 因为OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC， 所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC）= ×180°=90°,即∠DOE=90°,所以OE⊥OD. 随堂练习 初中数学培优课堂 6.如图，直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOC. (1)若∠BOE=60°,求∠AOF的度数； (2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF的度数. 解：(1)因为OE平分∠BOC,∠BOE=60°， 所以∠BOC=2∠BOE=120°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=60°. 因为OF丄CD,所以∠COF=90°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°. 随堂练习 初中数学培优课堂 (2)因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE. 因为∠BOD:∠BOE=4:3， 所以设∠BOD=4x°，则∠BOE=3x°, 所以∠COE=3x°, 因为∠BOD+∠BOE+∠COE=180°, 所以10x=180，解得x=18， 所以∠BOD=4×18°=72°， 所以∠AOC=∠BOD=72°. 因为OF丄CD，所以∠COF =90°， 所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°. 随堂练习 (2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF 的度数. 初中数学培优课堂 垂线及其画法 垂线的定义 垂线的画法 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线 垂足 基本事实 一放二靠三移四画 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 课后小结 初中数学培优课堂 $