第二十章 一次函数 单元试卷 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

第二十章 一次函数 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数是正比例函数，则常数k的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D． 2．一次函数的图像大致是（　 　） A．   B．   C．   D．   3．已知正比例函数，且函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(　　) A．   B．   C．   D．   5．若正比例函数经过点，，则m，n的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．泸西县某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，其完成的绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示，试问绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是（    ）      A．降低 B．提高 C．不变 D．不确定 8．如图，是李林周末骑自行车离家出游的图象，图中t表示时间，s表示李林离家的距离．则下列说法错误的是（    ）    A．时李林离家 B．前骑行速度为 C．骑行的距离为 D．时李林离家 9．已知一次函数的图象经过点，且当时，．则下列结论正确的是（    ）． A．a，c都为正，且 B．a，c都为正，且 C．a，c至少有一项为正，且 D．a，c至少有一项为正，且 10．下列关于一次函数的性质说法不正确的是（    ） A．函数图象不经过第三象限 B．函数图象与y轴交于点 C．函数图象与x轴交于点 D．y的值随着x值的增大而增大 第II卷（非选择题，共80分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中横线上） 11．请写出一个与轴有公共点的函数表达式：______． 12．已知一次函数y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式______； 13．请写出一个一次函数的解析式，使它的图象经过点：________． 14．如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点M为y轴上一点，把直线沿翻折，点B刚好落在x轴上，则点M的坐标为______．    15．如图在平面直角坐标系中，正比例函数图象直线l与直线交于第一象限内点P，某半径为1的圆环形机器人从原点O沿直线l旋转一圈正好到达点P，则直线l的函数关系式是_____（取3）．    三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16．（10分）如图，已知中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个一次函数，若用表示中的实数，用表示A中的实数． (1)求出与之间的函数表达式； (2)求的值． 17．（10分）某经销商从市场得知如下信息： 品牌计算器 品牌计算器 进价（元/台） 售价（元/台） 他计划最多用万元资金一次性购进这两种品牌计算器共台，设该经销商购进品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为元． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)在上述条件下，选择哪种进货方案，该经销商可获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（10分）在图的坐标系中，画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集． 19．（10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的进价相同，购进情况如表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 第二次 (1)求甲、乙两种水果每千克的进价； (2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共千克，其中进价不变，且投入的资金不超过元，将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值． 20．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点， ①求证：； ②求点的坐标． 21．（10分）在平面直角坐标系中，将直线沿轴平移，平移后得到的直线过点，过点作轴的垂线，垂足为点，点在轴上，点，四边形是矩形． (1)求直线的解析式； (2)如果矩形的面积小于，求的取值范围； (3)直线与直线交于点，，求点的坐标． 《第二十章一次函数A卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C D B C C D 1．C 【分析】根据正比例函数的性质，求解即可，形如的函数为正比例函数． 【详解】解：由题意可得：，解得 故选：C 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 2．A 【分析】根据一次函数系数的符号判定图像，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数图像经过第一、二、三象限， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握一次函数系数的符合判定图像经过的象限是解题的关键． 3．B 【分析】根据正比例函数的解析式及性质可知，解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数中，函数值随自变量的增大而增大， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 4．C 【分析】根据一次函数图象与系数关系求解即可． 【详解】解：对于，，， ∴该一次函数图象经过第一、二、三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数关系是解答的关键． 5．C 【分析】根据正比例函数的性质即可比较． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 6．D 【分析】设点的坐标为，，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出的最小值． 【详解】解：设点的坐标为， ，， ， ， 当时，最短，线段长度的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，配方法的应用，表示出的长度是解题的关键． 7．B 【分析】根据待定系数法可求小时后直线的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当时，的值，再根据工作效率工作总量工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前和后每小时完成的绿化面积，进行比较即可求解． 【详解】设小时后与的关系式为， 由图象可得：，解得：， ∴小时后与的关系式为为， 则小时后工作效率为每小时绿化， 当时，， ∴小时前工作效率为每小时绿化， ∴绿化组工作小时后的工作效率与小时前的工作效率相比较是提高， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的应用和函数的图象，解题的关键是根据待定系数法求出该绿化组提高工作效率后的函数解析式． 8．C 【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， A.时李林离家8km，故选项A说法正确，不符合题意； B. 前20min骑行速度为，故选项B说法正确，不符合题意； C. 骑行的距离为，故选项C说法错误，符合题意； D.设时，与之间的函数关系式为， 把代入得，， 解得，， ∴与之间的函数关系式为， ∴当时，， 故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．C 【分析】将代入可得，再由时，，得，可知a，c至少有一项为正，再利用完全平方公式将变形，可知． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ． 当时，， ，即， a，c至少有一项为正，排除选项A和选项B． ， 排除选项D， 故选C． 【点睛】本题考查一次函数、完全平方公式，解题的关键是找出b与之间的数量关系． 10．D 【分析】根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：A、函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故原说法正确，不符合题意； B、当时，，则函数图象与y轴交于点，故原说法正确，不符合题意； C、当时，由得，则函数图象与x轴交于点，故原说法正确，不符合题意； D、由得y的值随着x值的增大而减小，故原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟知一次函数的性质是解答的关键． 11． 【分析】写一个不与轴平行的直线表达式即可． 【详解】解：与轴有公共点的函数表达式：， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键． 12．（答案不唯一） 【分析】根据一次函数性质当时y随x增大而增大，当时y随x增大而减小，直接写即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数y随x增大而减小， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； 【点睛】本题考查一次函数的性质：当时y随x增大而增大，当时y随x增大而减小． 13．（答案不唯一） 【分析】设函数解析式为，将点代入解析式即可求出的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为， 将点代入得， 故函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，控制一个变量，求出的值是解题的关键． 14．或 【分析】设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出的坐标． 【详解】解：如图所示，当点在轴正半轴上时，    设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，则有， ∵，， ，， ， ， 点的坐标为． 设点坐标为，则，， ， ， ， ； 如图所示，当点在轴负半轴上时，     ， 设点坐标为，则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． 15． 【分析】根据题意可得的长即为半径为1的圆的周长，由此求出的长，再设出点P的坐标，利用勾股定理求出点P的坐标，进而利用待定系数法求出直线l的解析式即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵半径为1的圆环形机器人从原点O沿直线l旋转一圈正好到达点P， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，分母有理化等等，正确求出的长进而利用勾股定理建立方程求出点P的坐标是解题的关键． 16．(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质； （1）设一次函数解析式为：，根据题意列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过列一元一次方程并求解，即可完成求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为：， 根据题意，得时，；时，， ∴ ∴， ∴； （2）将代入到，得 ∴， 将代入到，得， ∴，即． 17．(1)，（） (2)有三种方案：①品牌台，品牌台；②品牌台，品牌台；③品牌台，品牌台 (3)选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是元 【分析】（1）根据利润（售价进价）乘手表的数量（售价进价）乘手表的数量，根据总资金不超过万元得出的取值范围，列式整理即可； （2）全部销售后利润不少于元，得到一元一次不等式组，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可； 【详解】（1）， 其中，得， 即，（）； （2）令，则， ∴， 又∵， ∴， ∴经销商有以下三种进货方案： 方案 品牌（台） 品牌（台） ① 48 52 ② 49 51 ③ 50 50 （3）∵，， ∴随的增大而增大，∴时，取得最大值， 又∵， ∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 y与购进空调x的函数关系式是解题的关键，在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 18．(1) (2) 【分析】（1）画出函数的图像，结合图像可知函数的图像与轴交点为，根据图像即可求出方程的解； （2）根据（1）所画出的函数图像即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：画出函数的图像如下图， 结合图像可知，函数的图像与轴交点为， ∴方程的解为； （2）结合函数图像可知，函数的图像与轴交点为， 不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是画出函数的图像，再结合图像获得答案． 19．(1)甲种水果每千克的进价为元，乙种水果每千克的进价为元 (2)的最大整数值为 【分析】（1）设甲种水果每千克的进价为元，乙种水果每千克的进价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可； （2）设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据题意，得，解出；设获得的利润为，得，再根据一次函数的性质解答，即可． 【详解】（1）设甲种水果每千克的进价为元，乙种水果每千克的进价为元， ∴， 解得：， 答：甲种水果每千克的进价为元，乙种水果每千克的进价为元． （2）设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果， ∴， 解得：， 设获得的利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，最大，即， ∴， ∵获得的最大利润不低于元， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的性质． 20．(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握数形结合的思想，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）求出的坐标，进而求出的长，旋转，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①证明，得到，等边对等角求出即可； ②先求出点坐标，过点作于，过点作于，证明，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线分别交轴，轴于点A、B， ∴当时，，当时，，解得：， ， ， 绕坐标原点逆时针旋转得到， ， ， 设直线的解析式为， 解得； 直线的解析式为； （2）①由（1）知，， ， ， ∴， ． ， ， ， ； ②直线的解析式为① 由（1）知，直线的解析式为② 联立①②，解得：， ∴ 过点作于，过点作于，则：， ， ， ． 21．(1) (2)且 (3)或 【分析】（1）设直线（为常数，且），根据平移性质得出，再将点代入解析式即可求出的值，即可得出最后结果； （2）根据题意求出点坐标，根据矩形性质，结合矩形的面积小于，得到，进而求出的取值范围； （3）分别将，用含的式子表示出来，根据勾股定理可知，表示出，即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】（1）解：设直线（为常数，且） 由平移可知：． 过点， 将点代入，得， ； （2）轴，垂足为点，， 点的坐标为， ， 又矩形的面积小于， ， ， ， 且． （3）直线与直线交于点， 点， ， ，，由勾股定理可知， ， 解得：或， 或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，矩形的面积公式，勾股定理，利用参数表示线段是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $