2026年高考数学模拟卷（一）（新课标I卷）

2026年“卷Ⅰ地区”高考数学模拟卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、湖北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东广州·一模）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2026·湖南郴州·三模）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 4．（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5．（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D．2 6．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 7．（2026·江西赣州·一模）在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）事件与互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（   ） A．2 B． C． D． 11．（2025·浙江·模拟预测）设函数，则（    ） A．是的极值点 B．当时， C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若曲线的切线为，则______． 13．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 14．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北·一模）甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 16．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 17．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18．（2026·江西·一模）已知曲线上的动点满足，且， (1)求的方程； (2)已知，，为上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交于点． （i）求证：直线过定点； （ii）设直线的倾斜角为，的面积分别为，当时，求取值范围． 19．（2026·江西·一模）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)求证：恒成立； (3)若都有恒成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年“卷Ⅰ地区”高考数学模拟卷（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、湖北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东广州·一模）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解不等式得，则集合，有3个元素， 则集合的子集个数为. 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 3．（2026·湖南郴州·三模）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 【答案】B 【详解】，故函数的周期为6， ， 又是定义在上的奇函数， ，即，故，， 又当时，， ， 故. 4．（2026·广东广州·一模）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ，所以最小正周期为. 5．（2026·江苏南京·一模）若等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】利用等差数列前项和公式， 代入得：， 代入已知条件：， 化简得：， 展开并整理：， 解得，即：， 因此：， 故. 6．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 7．（2026·江西赣州·一模）在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由得到，设，利用数量积得到，通过整理得到点的轨迹方程，求出直线的方程，利用点到直线的距离求出到直线的距离，利用二次函数的图像和性质得到的最小值，即为点到直线距离的最小值. 【详解】长方体中，， 四边形是正方形， ， 平面，平面，， ，平面， 以为原点，为轴，过作的平行线作为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ，， 在四边形内（含边界）移动，设， ， ，，， ， ，， ，， ，， ，为点的轨迹方程， ， 在平面内直线的方程为，即， 到直线的距离为 ， 当时，取最小值为， 则点到直线距离的最小值为. 故选：D. 8．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，令，，只需比较 与的大小，由，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，从而得出答案. 【详解】由已知，原式可变形 令，， 函数 与均为上的增函数，且，且， 当时，由，则，可得， 当时，由，则，可得， 要比较与的大小，只需比较 与的大小， 设，则，故在上单调递增， 又，， 则存在使得， 所以当时，，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，正负不确定， 故当时，，所以，故， 当时，正负不定，所以与的大小不定， 所以均有可能，即选项B，C，D均有可能，选项A不可能． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）事件与互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由互斥事件的性质和对立事件的性质结合已知条件逐个分析判断即可 【详解】因为与互斥，所以是必然事件，故，所以A正确， 因为与互斥，所以，因此，所以B错误， 因为，所以C正确， 因为， 所以，于是，所以D错误， 故选：AC 10．（2026·江苏南京·一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】分析可知，，求交点横坐标，分和两种情况，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直， 点到渐近线的距离， 因为，可知垂足为A，且，． 联立方程，解得； 联立方程，解得； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 综上所述：C的离心率可能是或2. 故选：AD. 11．（2025·浙江·模拟预测）设函数，则（    ） A．是的极值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】根据函数导数，判断函数单调性和函数极值，判断各选项正误． 【详解】对于A，已知，则， 因为，可知当时，，仅当时取等号，此时函数单调递增，没有极值点，所以错误． 对于B，当时，，， 则，所以B正确． 对于C，已知，当时， 导函数图象与轴交于，当时，， 所以在，上，单调递增，在上，单调递减. 设，则， 令，则，因为， 所以有单调递增，且，当时，可得，即， 当时，可得，即，可知在上单调递减，在上单调递增， 且，所以可知，仅当时等号成立. 因为，，恒成立，当时，，显然； 当时，由的单调性可知，， 综上可得，，所以C正确. 对于D，当时，，易知恒成立，当时，，所以D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若曲线的切线为，则______． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可. 【详解】设切点为，由，得，则由题意得所以，．所以．所以． 故答案为：1. 13．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式及求和公式进行求值. 【详解】由数列为等比数列，设其公比为， 又，则， 解得， 所以，即， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九点17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北·一模）甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) ； (2) 随机变量的分布列为： . 【分析】因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. 先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【详解】（1）设甲、乙三轮总得分为、，且、服从二项分布， ，，，； ，，，； =++= 所以甲获胜的概率为. （2）X可能的取值为， ，； ； ； ； ； ； 随机变量的分布列为： =. 16．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系及三角形面积公式计算即可求解； （2）由余弦定理及可得，根据正弦定理及两角和差的正弦公式化简即可得证. 【详解】（1）由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； （2）由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 17．（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. （2）因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 18．（2026·江西·一模）已知曲线上的动点满足，且， (1)求的方程； (2)已知，，为上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交于点． （i）求证：直线过定点； （ii）设直线的倾斜角为，的面积分别为，当时，求取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可求得曲线的方程； （2）（i）设直线，联立方程组，利用韦达定理求得，由三点共线，结合，列出方程，求得的值，即可求解；（ii）由（i）求得，令，得到，根据题意，求得，得到关于的不等式组，求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，可得， 由双曲线的定义，可得曲线是以为焦点， 实轴长为的双曲线的左支，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：（i）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则且， 则，可得， 直线，令，可得，所以 又三点共线，可得，所以， 即，即， 即， 所以， 整理得恒成立，所以， 所以直线方程为，所以直线过定点； （ii）由（i）知，，， 所以， 又由， 令，则，且， 因为直线的，可得，则， 所以，即， 所以，解得， 故. 19．（2026·江西·一模）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)求证：恒成立； (3)若都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，开区间上的极大值即为函数的最大值； （2）先证明，然后将变形为，放缩法求解； （3）先将恒成立转化为，求三阶导数，讨论函数的单调性，求解. 【详解】（1）由题知， 当时，， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取最大值. （2）先证：， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立． 又， 由知，， 所以， 即，得证. （3）当时，， 即， 令， 则，其中， 令， 则且， 令， 则，其中. 令，， 则， 故在上单调递减，其中. ①若，则， 令， 在上单调递增， ， 所以恒成立. 故在上单调递增， 且. 所以在上也单调递增，且， 所以， 故恒成立. ②若，则， 且，使得当时，， 所以函数在上单调递减， 故时，， 所以函数在上单调递减， 所以时，， 所以时，， 与恒成立矛盾． 综上所述：的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $