2026年九年级数学中考压轴题几何模型 专题13 勾股树模型

专题13 勾股树模型 勾股树模型（又称 “毕达哥拉斯树”），由勾股定理迭代生成，是几何分形与面积关系的经典模型，可直观验证勾股定理与面积不变性，中考常以折叠、拼接、动态面积题型出现，题目兼具美感与思维深度，结构优美、规律鲜明，是几何数形结合思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析勾股树模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) · 面积核心：以直角三角形三边向外作相似图形（正方形/正三角形/半圆等），两直角边上图形面积之和 = 斜边上图形面积。 迭代规律：勾股树无限分叉时，每一层所有小图形面积和 = 最底层大图形面积，总面积保持不变。 ( 例题分析 ) 例1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第七代勾股树中正方形的个数为（   ） 第一代勾股树    第二代勾股树    第三代勾股树 A．127 B．129 C．255 D．257 【答案】C 【分析】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．由已知图形观察规律，即可得到第七代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ．．．．．． ∴第七代勾股树中正方形有（个）， 故选C． 例2．如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是________． 【答案】28 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，中间右边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，正方形的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 例3． 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【答案】任务一：；任务二：，过程见解析；任务三：；项目总结：钝角，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得；项目总结：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【详解】解：任务一：由题意可知，，， ，， ， 故答案为：． 任务二：由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务三：如图，过点作，交延长线于点， 则， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 例4．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）解：图7中还有黄金矩形， 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ( 课堂随练 ) 练1．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 【答案】12 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则， 观察图形可得：，即， ∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 练2．如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，设，则，根据，面积比等于相似比的平方可得，根据，表示出，又，根据可得，解一元二次方程即可求得的值，即的值． 【详解】解：∵四边形，是正方形 ，， 设，则， 即 即解得或（舍）即 故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，正切，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 练3．如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，、，交于点Q ，若，，则四边形的面积是 ．    【答案】/ 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再证明求得，再利用梯形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴，则， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 练4．【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明见解析；（3）3；（4） 【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案； （2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方； （2）如图2 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴∴，满足直角三角形勾股定理； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c； 根据题意得： 如图4：，， ∴； 如图5：，， ∵∴； 如图6：，， ∵∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （4）以a为直径的半圆面积为： 以b为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积∴ 结合（1）的结论：∴∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． ( 巩固提高 ) 1．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解． 【解析】如图2： 设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a， 则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2， ∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32− ，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−＝2， 解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解． 【详解】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ， ∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12， ∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（负值已舍去）， ∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20， ∴正方形BCFG的面积为20，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得a2﹣b2＝16是解题的关键． 4．如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，，交于点Q．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再证明求得，再利用梯形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴，则， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴四边形的面积为：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 5．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接分别与相交于点．若，则的值为 .    【答案】/ 【分析】先用已知条件利用的三角形全等的判定定理证出，之后利用全等三角形的性质定理分别可得，，，然后设，继而可分别求出，，所以；证明，从而得，然后代入所求数据即可得的值． 【详解】解：在和中 ，， ，， ，，， 设，则，，，， ； 在和中，，， ，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 【答案】 S1+S2=S3 7 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设△ACB面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2， 如图，在等边中，边上的高 同理：S2=BC，S3=AB，∴S1+S2=S3； （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b； ∵S1+S2=S3，∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，∴S甲+ S乙= S丙+S，∴S=6+5-4=7． 故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键． 7．如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水． （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ； （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得Ⅲ的面积，根据图形面积相减即可求得图2的Ⅲ中有水部分的面积； （2）根据正方形的中心对称的性质可知，过中心的线将正方形的面积平分，据此即可求得图3的Ⅱ中有水部分的面积 【详解】已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水 Ⅲ的面积是 Ⅰ的面积为AC Ⅱ的面积为 （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水， Ⅲ中有水部分的面积为 故答案为： （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点）， 根据正方形是中心对称图形，经过点的直线将正方形的面积平分， 则Ⅲ中有水部分的面积为Ⅲ的面积的一半， Ⅱ中有水部分的面积 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 8．如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接AC， 由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系． 9．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 10．如图①，“快乐勾股树”是以含的直角三角形的三边向外作正方形得到的图形，图①中阴影三角形是“快乐三角形”．快乐三角形，快乐三角形，快乐三角形，…，重复数次操作后，按照图②方式摆放，已知图②中，，则快乐三角形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质． 作，交的延长线于点H，则，由勾股定理求出，从而，再求出，利用三角形面积公式求出，然后得出即可求解． 【详解】作，交的延长线于点H，则， ∵由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．【文化欣赏】如图1，“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形． 【尝试探究】如图2，以正方形的边为斜边向外作，以直角边，为边向外分别作正方形，正方形，连结，过点E作直线于点P，交于点Q，若，，则的长是________． 【答案】19.8 【分析】令与交于点，延长交于点K，由题意可证得四边形为矩形，根据矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求得的长度，进而得出的长度，利用三角形的等面积法有，可求得的长度，通过可证得，则有，可求得的长度，最后再求得的长度即可． 【详解】解：如图，与交于点，延长交于点K， 则，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的等面积法等，通过辅助线构造出恰当的矩形是解题的关键． 12．问题情境： 毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”． 解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是，正方形的边长是_________． (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长． （1）先由正方形，，，的面积分别为，，，，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边； （2）根据题意得出，勾股定理求得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：正方形，，，的面积分别为，，，， 正方形，，，的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：，． （2）解：∵正方形，正方形的面积分别为，， ∴ 在中， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 勾股树模型 勾股树模型（又称 “毕达哥拉斯树”），由勾股定理迭代生成，是几何分形与面积关系的经典模型，可直观验证勾股定理与面积不变性，中考常以折叠、拼接、动态面积题型出现，题目兼具美感与思维深度，结构优美、规律鲜明，是几何数形结合思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析勾股树模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 ( 模型讲解 ) · 面积核心：以直角三角形三边向外作相似图形（正方形/正三角形/半圆等），两直角边上图形面积之和 = 斜边上图形面积。 迭代规律：勾股树无限分叉时，每一层所有小图形面积和 = 最底层大图形面积，总面积保持不变。 ( 例题分析 ) 例1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第七代勾股树中正方形的个数为（   ） 第一代勾股树    第二代勾股树    第三代勾股树 A．127 B．129 C．255 D．257 例2．如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是________． 例3． 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 例4．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． ( 课堂随练 ) 练1．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 练2．如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（    ） A． B． C． D． 练3．如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，、，交于点Q ，若，，则四边形的面积是 ．    练4．【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． ( 巩固提高 ) 1．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 4．如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，，交于点Q．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接分别与相交于点．若，则的值为 .    6．如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 7．如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水． （1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ； （2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ． 8．如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图①，“快乐勾股树”是以含的直角三角形的三边向外作正方形得到的图形，图①中阴影三角形是“快乐三角形”．快乐三角形，快乐三角形，快乐三角形，…，重复数次操作后，按照图②方式摆放，已知图②中，，则快乐三角形的面积是___________． 11．【文化欣赏】如图1，“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形． 【尝试探究】如图2，以正方形的边为斜边向外作，以直角边，为边向外分别作正方形，正方形，连结，过点E作直线于点P，交于点Q，若，，则的长是________． 12．问题情境： 毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”． 解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是，正方形的边长是_________． (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长． ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $