1.3 第4课时 完全平方公式的应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦完全平方公式的应用，从基础数的运算（如102²、98²）导入，通过变式练习（带分数、小数运算）、整式化简（如(2x+y)(2x-y)-(2x-y)²）、综合求值（结合3m²+7m-3=0等条件），构建从具体到抽象的学习支架，衔接整式乘除前后知识。 其亮点在于融合运算能力、推理意识与模型意识，如任务型纠错（小明解题过程）培养批判性思维，换元法（(16-x)(x-6)问题）和数形结合（直角三角尺面积）体现转化思想，实际问题（正方形边长减少求面积差）联系生活。学生能提升运算与推理能力，教师可获得分层教学素材与素养导向例题。

第一章　整式的乘除 3　乘法公式 第4课时　完全平方公式的应用 初中数学培优课堂  　利用完全平方公式简化数的运算 1.计算:(1)1022.　　    (2)982. 解析    (1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22 =10 000+400+4=10 404. (2)982=(100-2)2=1002-2×100×2+22 =10 000-400+4=9 604. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·教材变式P24随堂练习T1(1)】计算: (1) . 　　    (2)9.72. (3)19.92+19.9×0.2+0.12. 初中数学培优课堂 解析    (1) = =602+2×60× + =3 600+60+ = 3 660 . (2)9.72=(10-0.3)2=102-2×10×0.3+0.32 =100-6+0.09=94.09. (3)19.92+19.9×0.2+0.12=(19.9+0.1)2=202=400. 初中数学培优课堂  　利用完全平方公式简化整式的运算 3.计算: (1)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2. (2)(m+2n)2-(3m-n)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2 =4x2-y2-(4x2-4xy+y2) =4x2-y2-4x2+4xy-y2 =4xy-2y2. (2)(m+2n)2-(3m-n)2 =(m2+4mn+4n2)-(9m2-6mn+n2) =m2+4mn+4n2-9m2+6mn-n2 =-8m2+10mn+3n2. 初中数学培优课堂 4.(1)(2025吉林松原长岭四模)先化简,再求值:(3x+2y)2-(3x+y) (3x-y),其中x= ,y=2. (2)(2025陕西榆林二模)先化简,再求值:(2m+3)·(2m-3)+3m(m+ 1)-(2m-1)2,其中3m2+7m-3=0. 初中数学培优课堂 解析    (1)(3x+2y)2-(3x+y)(3x-y) =9x2+12xy+4y2-(9x2-y2) =12xy+5y2. 当x= ,y=2时,原式=12× ×2+5×22=32. (2)(2m+3)(2m-3)+3m(m+1)-(2m-1)2 =4m2-9+3m2+3m-4m2+4m-1 =3m2+7m-10. 由3m2+7m-3=0,得3m2+7m=3, 所以原式=3-10=-7. 初中数学培优课堂 5.计算: (1)  . (2)(x+2y-3)(x-2y+3). (3)(2x-y+z)2.　    (4)(2a-b-3c)2. 初中数学培优课堂 解析    (1)  =(2x-y)2-  =4x2-4xy+y2- . (2)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9. (3)(2x-y+z)2=[(2x-y)+z]2 =(2x-y)2+2z(2x-y)+z2=4x2-4xy+y2+4xz-2yz+z2. (4)(2a-b-3c)2=[(2a-b)-3c]2 =(2a-b)2-2(2a-b)·3c+(3c)2 =4a2-4ab+b2-12ac+6bc+9c2. 初中数学培优课堂 6.【新考向·过程性学习题】(2025山东枣庄峄城期中)下面是 小明同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务. 化简:(2x-1)(2x+1)+(2x-3)(3-2x). 解:原式=(2x)2-1-(2x-3)2 第一步 =4x2-1-(4x2-12x+9) 第二步 =4x2-1-4x2-12x-9 第三步 =-12x-10. 第四步 初中数学培优课堂 任务一:填空: ①以上解题过程中,第一步用到的乘法公式用字母表示为____ ______;第二步用到的乘法公式用字母表示为_______. ②第_______步开始出现错误,这一步错误的原因是______ ____. 任务二:该整式化简的正确结果为_______. 初中数学培优课堂 解析　任务一:①(a+b)(a-b)=a2-b2;(a-b)2=a2-2ab+b2. ②三;去括号变号出错. 任务二:12x-10. 详解:(2x-1)(2x+1)+(2x-3)(3-2x) =(2x)2-1-(2x-3)2=4x2-1-(4x2-12x+9) =4x2-1-4x2+12x-9=12x-10. 初中数学培优课堂   7.(2025河南郑州期中,★★☆)实践课上,小郑做了一个边长为 a cm(a>2)的正方形,若把这个正方形的边长减少2 cm,则其面 积减少________________cm2. 　    (4a-4)　     解析　依题意,可得新的正方形的边长为(a-2)cm, 则面积减少了a2-(a-2)2=a2-(a2-4a+4)=(4a-4)cm2. 初中数学培优课堂 8.(2025河南新郑期中,★★☆)已知(x+y)2=25,(x-y)2=13,则x2+y2 的值为____________. 　    19　     解析　因为(x+y)2=25,所以x2+2xy+y2=25①. 因为(x-y)2=13,所以x2-2xy+y2=13②. ①+②得2x2+2y2=38.所以x2+y2=19. 初中数学培优课堂 9.【新考向·代数推理】(2025山东青岛市北期中,★★☆)【猜 想】两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平 方的平均数”的差是定值. 【验证】 (1)设两个相邻的整数为-2,-1,则它们平均数的平方为______ ____,它们平方的平均数为_______.-2,-1的“平均数的平方” 与它们“平方的平均数”的差为_______. 初中数学培优课堂 【说明】 (2)设两个相邻整数分别为a,a+1,用代数式说明猜想成立,并求 出这一定值. 初中数学培优课堂 解析    (1) ; ;- . 详解: = , = ,  - =- . (2) = , = ,  - =- . 所以两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平 方的平均数”的差是- ,是定值,猜想成立. 初中数学培优课堂   10.【新课标·运算能力】(2025山东济南历城期中改编)【阅 读理解】 若x满足(16-x)(x-6)=20,求(16-x)2+(x-6)2的值. 解:设16-x=a,x-6=b,则(16-x)(x-6)=ab=20, 因为a+b=(16-x)+(x-6)=10, 所以(16-x)2+(x-6)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×20=60. 我们把解决上述问题的这种方法叫作换元法.利用换元法可 以达到简化运算的目的,体现了转化的数学思想. 初中数学培优课堂 用换元法解决下列问题: (1)若x满足(2 035-x)(x-2 030)=4,求(2 035-x)2+(x-2 030)2的值. 【类比应用】 (2)若m满足(2 035-m)(2 033-m)=2,则(2 035-m)4+(2 033-m)4的值 是_______. 【迁移应用】通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒 等式,这种解决数学问题的思想方法叫数形结合,利用这种方 法可将抽象的数学知识变得直观起来. 初中数学培优课堂 结合上述阅读材料,解决下列问题: (3)两块完全相同的直角三角尺(∠AOB=∠COD=90°)按如图 所示的方式放置,其中A,O,D在同一直线上.连接AC,BD,若AD =12,S△AOC+S△BOD=36,求一块直角三角尺的面积.   初中数学培优课堂 解析    (1)设2 035-x=a,x-2 030=b, 则(2 035-x)(x-2 030)=ab=4. 因为a+b=(2 035-x)+(x-2 030)=5, 所以(2 035-x)2+(x-2 030)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. (2)56. 详解:因为(2 035-m)(2 033-m)=2, 所以(2 035-m)(m-2 033)=-2. 设2 035-m=a,m-2 033=b,则ab=-2. 初中数学培优课堂 因为(2 035-m)+(m-2 033)=2,所以a+b=2. 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2×(-2)=8. 所以(2 035-m)4+(2 033-m)4 =(2 035-m)4+(m-2 033)4=a4+b4 =a4+b4+2a2b2-2a2b2=(a2+b2)2-2a2b2 =82-2×(-2)2=56. (3)设直角三角尺较短的直角边长为a,较长的直角边长为b, 初中数学培优课堂 由题意可得a+b=12, a2+ b2=36, 所以a2+b2=72,(a+b)2=a2+2ab+b2=144, 所以2ab=144-(a2+b2)=144-72=72, 所以ab=36,所以 ab=18, 所以一块直角三角尺的面积为18. 初中数学培优课堂 $