第19讲 多边形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

中考冲刺数学 第一部分 河北中考·考点过关 第五模块 四边形 第19讲 多边形（近三年2一3分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 多边形(10年2考) 考点二 正多边形(10年10考) 1.（2022河北5题)如图，将三角形纸片剪 3.(2024河北11题)直线1与正六边形ABCDEF 掉一角得四边形，设△ABC与四边形 的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所 BCDE的外角和的度数分别为a,B,则正 示，则a十3= 确的是 M 门 0 A.a-B=0 A.115° B.120° B.a-<0 C.135 D.144° C.a-B0 4.(2023河北9题)如图，点P1Pg是⊙O的 D.无法比较a与3的大小 八等分点.若△P1P3P2,四边形P3P4P6P 2.(2016河北22题)已知n边形的内角和0= 的周长分别为a,b,则下列正确的是() (n-2)×180°. (1)甲同学说，0能取360°；而乙同学说，0也 能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边 数n;若不对，说明理由。 (2)若n边形变为(n十x)边形，发现内角和 A.a<b 增加了360°，用列方程的方法确定x B.a=b C.a>b D.a,b大小无法比较 5.(2021河北10题)如图，点O为正六边形 ABCDEF对角线FD上一点，S△AO=8, S△cD0=2,则S正六边形ABCDEF的值是·() 114 四 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 A.20 B.30 C.40 D.随点O位置而变化 6.(2019河北1题)下列图形为正多边形的是 A.360°B.540°C.720°D.900° ) 9.(跨学科融合·物理)如图，在边长为2的正 八边形ABCDEFGH中，点P在AB上， A B 束光线从点P出发，照射到镜面CD上的点 7.(2020河北18题)正六边形的一个内角是正 O处，经反射后射到EF上的点Q处，若 n边形一个外角的4倍，则n PO∥BC,则PO+OQ的长为…() 【创新考法】 8.(跨学科融合·化学)石墨烯在材料学、微纳 加工、能源、生物医学和药物传递等方面具 有重要的应用前景.它的分子结构如图所 C OD 示，所有多边形都是正六边形.一个正六边 A.6 B.8 形的内角和为……( C.4+2√2 D.8-2√2 全国视野分层练 基础过关练 一部分，其中l,m是正n边形两条边的一部 1.(2025四川遂宁)已知一个凸多边形的内 分，若1，m所在的直线相交形成的锐角为 角和是外角和的4倍，则该多边形的边 60°，则n的值是…（) 数为… …( A.10B.11 C.12 D.13 2.(2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角 和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角 后，所得新多边形的边数为…( A.5 B.6 C.8 D.10 5.(2025河北云家庄裕华二模)青铜镜，古称 “鉴”或“照子”.图2是从八角形铜镜（图1） 底部抽象出的正八边形ABCDEFGH,连接 八 HD,则∠HDE的度数为…() A.12 B.11 C.10 D.9 3.(2025四川凉山州)已知一个多边形的内角 和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一 个顶点处可以引 条对角线.() D E A.6 B.7 C.8 D.9 图1 图2 4.(2024内蒙古赤峰)如图，是正n边形纸片的 A.60° B.62.5°C.65 D.67.5° 115 中考冲刺数学 6.(2025河北石家庄来城二摸)将一个正八边 一 素养提升练 形与一个正六边形按如图所示放置，顶点 1.(2025河北秦皇岛一模)F是正五边形 A,B,C,D在同一条直线上，E为公共顶点， ABCDE的边DE的中点，连接BF并延 则∠FEG的度数为 ……() 长与CD延长线交于点G,则∠BGC的 度数为 ………………………( ) A.18° B.20° C.24° D.26 B A.40° B.35 C.30° D.25° 7.(2024宁夏)如图，在正五边形ABCDE的 D 内部，以CD边为边作正方形CDFH,连接 第1题图 第2题图 BH,则∠BHC= 2.(2025四川南充)如图是正六边形与矩形叠 拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为 2,那么矩形的面积是…( ) A75 A.12 B.8√5C.16 D.12√3 3.(2025四川德阳)六方钢也称六角棒，是钢 D 人780 ye 第7题图 第8题图 材的一种，其截面为正六边形.六方钢可以 8.(2025河北廊坊三河一模)学校有一块四边 通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛 形试验田，分割成A,B两块，由图可知，x一 应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、 y= 桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践 9.(2025四川成都)正六边形ABCDEF的边 活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所 长为1，则对角线AD的长为 示)的性质进行研究，测得边长AB=1,那么 10.（人教九上P109习题T8变式)如图，正三 图中四边形GCHF的面积是…() 角形的边长为6cm,剪去三个角后成一个 正六边形， (1)求这个正六边形的边长； (2)求这个正六边形的边心距； (3)设这个正六边形的中心为O,一边为 AB,则AB绕点O旋转一周所得的图形是 A.23 B.√3 C.2√5 D.3√3 3 怎样的（作图表示出来）？并求出这条线段 4.如图，正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在 AB划过的面积. 正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形 BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的 边长为 116 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 5.(2025河北廊坊香河一摸)如图，正方形与 (3)把正n边形的周长与边数同时增加7 正六边形的中心点O重合，顶点在点A,B 后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为 处重合，OD与AC交于点F.若OD=2,则 n十7，周长为67，边长为b.有人分别取n等 票的值为 于3,20,120，再求出相应的a与b,然后断 言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b 一定不相等.”你认为这种说法对吗？若不 对，请求出不符合这一说法的n的值. 6.如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相 邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈 后中间形成一个正方形.设正方形的边长为 1,则该图形外轮廓的周长为 ;若n 个全等的正多边形中间围成的图形是正三 角形，且相邻的两个正多边形有一条公共 边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮 廓的周长是 变式：（变换设问）用4个全等的正八边形进行 拼接，使相邻的2个正八边形有一条公共 边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图 1,用n个全等的正六边形按这种方式拼接， 如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多 边形，则n的值为 图1 图2 7.(一题练透)已知正n边形的周长为60，边长 为a. (1)当n=3时，请直接写出a的值； (2)若a=6,则该多边形的每个内角的度数 为 17 中考冲刺数学 微专题 正多边形的叠合、镶嵌、滚动问题(10年9考) 类型一 正多边形的叠合问题 类型二正多边形的镶嵌问题 1.(2025四川自贡)如图，正六边形与正方形 5.嘉琪准备选用多种正多边形 的两邻边相交，则α十B=…( 地砖铺设地面，除图中的正 A.140° B.150° 多边形地砖外，还需选用 C.160 D.170 种正多边形地砖进行平面镶嵌，则嘉琪应选 择的地砖形状是…() A.正四边形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形 6.(2025河北云家庄裕华二模)如图，若干个 第1题图 第2题图 全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周.图 2.(2025安徽除州全椒二模)如图，正六边形 中所示的是其中3个正五边形的位置，正五 与正方形的中心都是点O,且顶点A,B重 合，则∠CAD的度数为…( 边形与⊙O的交点分别记作A1,A2,…,An, A.10°B.15°C.20° D.25% 顺次连接A1A2,A2A3,…,A1Am,所得图 形是… () 3.(2024河北张家口宣化一模)一个适当大的 正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值 的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且 与边AB,CD相交于点G,H(如图).图中阴 影部分的面积记为S,三条线段GB,BC, CH的长度之和记为1，在大正六边形绕点 A.正五边形 B.正八边形 O旋转的过程中，下列说法正确的是() C.正十边形 D.正十二边形 7.(2023河北19题)将三个相同的六角形螺母 并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六 边形边长为2且各有一个顶点在直线1上. 两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放 后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的 A.S变化，l不变 一边与直线1平行，有两边分别经过两侧正 B.S不变，l变化 六边形的一个顶点.则图2中： C.S变化，l变化 D.S与l均不变 4.平面上，将边长相等的正三 图 图2 角形、正方形、正五边形、正 (1)∠a= 六边形的一边重合并叠在一 (2)中间正六边形的中心到直线L的距离为 起，如图，则∠3+∠1一∠2= (结果保留根号). 18 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 8.(2025江苏徐州铜山期中)【问题情境】平面 C.正三角形、正六边形和正八边形 密铺是一类有趣的几何问题.平面密铺指的 D.正四边形、正六边形和正八边形 是用形状、大小完全相同的一种或几种平面 类型三正多边形的滚动问题 图形进行拼接，在拼接点处不留空隙也不会 9.(2025河北邯郸二模)如图，边长为1的正方 重叠.（注：当围绕一点拼在一起的几个多边 形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时 形的内角和为360°时，完成密铺.) 针滚动，滚动一周回到初始位置时停止.点 某学习小组尝试用几种边长相等的正多边 A在滚动过程中到出发点的最大距离是 形完成平面密铺.开始前做足准备，求出一 些熟悉的正多边形的内角度数，记录如下： 正多 正三 正四 正五 正六 正八 边形 角形 边形 边形 边形 边形 正多边 形内角 60° 90° 108 120° 135° 10.如图1，将两条重合的线段绕一个公共端 的度数 点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转 【初步感知】该小组尝试用一种正多边形完 角为a,所得的两条新线段夹角为B,以a为 成密铺，结果发现用正三角形、正四边形和 内角，以图中线段为边作两个正多边形，正 正六边形都可以密铺平面，如图所示 多边形边数为n.如图2，当a=120°时，得 到两个正六边形 边数n 4 6 旋转角a 90° 1089 120 思考回答：用正五边形能不能密铺？请说明 m 120° 理由. 夹角B 180° 【问题探究】该学习小组打算用上面问题情 境表格中的两种正多边形组合密铺，其中一 种是正三角形，另一种是正n边形，求n的 可能值，并说明组合方式 图1 图2 【拓展延伸】该学习小组进一步探究，用上面 (1)用含α的代数式表示B,B= 问题情境表格中的三种正多边形组合密铺， (2)边数n、旋转角α、夹角3的部分对应值 你认为可行的是 如表格所示，其中m= A.正三角形、正四边形和正六边形 (3)若≤10°，则n的最小值是 B.正三角形、正四边形和正八边形 119,'BD=BC-CD=(a-bcos C)m. ,在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, ∴.AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)m. 答：A,B两岛间的距离为√/(bsin C)2十(a-bcos C)2m. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.D3.D4.C5.D6.B 7.7.48.15√3m9.120√3 10.解：(1)由题可知，在Rt△AGM中，AM=13分米，MG= 12分米，AG⊥GM, ∴.AG=√132-12z=5(分米). AB=19分米，.BG=AB-AG=19-5=14(分米)， .MN=BG=14分米， .该连衣裙MN的长度为14分米. (2)如图，过点M作MK⊥AB于点K, E(M)F 在Rt△AKM中，AM=13分米，∠BAM=76.1°， AK⊥KM, .AK=AM·cos76.1°≈13×0.24=3.12（分米）. ,AB=19分米，∴.BK=AB-AK=19-3.12=15.88(分米)， .BK-MN=15.88-14=1.88≈2（分米）. .该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为2分米. 11.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E, ,斜坡AB的坡度为1：3， 噩-了AE-BE 在Rt△ABE中，AB2=BE2十AE,即(10√10)2=BE十 (3BE)2,解得BE=10. 答：平台BN的高度为10米 i=13 A30° E (2)如图，延长CD交AM于点F, 则CF⊥AM,.四边形BEFD为矩形， .DF=BE=10米，BD=EF. 设CD=x米，则CF=(x十10)米， 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， acF-器9-9 3 AF ∴.AF=√3(x+10)米. 在Rt△CBD中，∠CBD=60°， 5 则BD= 光D9c未， CD 由(1)可知AE=3BE=30米， z+10)-9=30, 解得x=15√3-15. 答：建筑物的高度为(15√3一15)米. 素养提升练 1.C2.A3.号4.(11(21 5.解：(1)如图1，连接BC, 'AB=BC=√5，AC=√I0,.AB2+BC2=AC2, .∠ABC=90°， .∠BAC=45°，.∠a+∠B=45°. G D 图1 图2 图3 (2)90[解析]如图2中，连接BC, 由题意，a=∠BAD,B=∠DAC, :△ABC是等腰直角三角形，.∠a十∠B=90°. (3)如图3，a=∠GDH,B=∠HDF, 在aDGF中，n9=ana+月--子， 6.解：(1)⊙O分别与AC,AD相切于点B,D, ∴AB=AD,∠BA0=∠OAD=Z∠CAD=30 (2),钢柱的底面圆半径为1cm,.BC=OB=1cm. ∠BA0=30°，∠OBA=90°，AB=,OB tan30=√3cm, .AC=BC+AB=(1+√3)cm, 同理，A'C'=(1+√3)cm, ∴.l=7.52-2(1+√3)≈2.06(cm). .1.9<2.06<2.1, ,.该部件l的长度符合要求。 (3)能，将圆柱换成正方体. 第五模块 四边形 第19讲多边形 【河北十年真题练】 1.A 2.解：(1)甲同学的说法对，乙同学的说法不对. 理由：，360÷180=2,630÷180=3…90，而多边形的内 角和为180°的整数倍， .甲同学的说法对，乙同学的说法不对， ,360÷180十2=2+2=4，∴.甲同学说的边数n是4. (2)依题意，有 (n+x-2)×180°-(n-2)×180°=360°，解得x=2. 3.B4.A5.B6.D7.128.C9.C 【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.A3.B4.B5.D6.C 7.818.3°9.2 10.解：(1)，正三角形的边长为6cm,∴.3个边长都相等. 又，截去三个小等边三角形，各个小三角形的边长也 相等，.正六边形的边长为2cm. (2)如图1，连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D, :∠A0B=360°=60°，“△0AB是等边三角形， 6 0D=0A·sim60=2x9-5(cm. 0。 图1 图2 (3)如图2，线段AB划过的面积=πX22一πX(√5)2= π(cm2) 素养提升练 1.A2.B3.A4.45.516.2027变式：6 2 7.解：(1)a的值为20. (2)14[解折]当a=6时m0=10, .内角和=(10-2)×180°=1440°，1440°÷10=144° (3)此说法不正确.理由如下： 尽管当n=3,20,120时，a>b或a<b, 但可令a=b,得60=67 nn+7' ,'.60n十420=67n,解得n=60, 经检验n=60是方程的根. '.当n=60时，a=b,即不符合这一说法的n的值为60. 微专题正多边形的叠合、镶嵌、滚动问题 1.B2.B3.D4.24°5.C6.C7.(1)30°(2)2√3 8.解：【初步感知】不能，理由如下： 由题知，能密铺平面的正多边形，其内角的度数必须是 360°的因数. 因为360÷108的结果不是整数， 所以正五边形不能密铺。 【问题探究】当围绕一个点有1个正三角形时，360°一60°=300°， 其余内角的度数中没有300°的因数， 所以此种情况不存在。 当围绕一个点有2个正三角形时，360°-120°=240°， 5 因为240÷120=2， 所以n=6,此时的组合方式是2个正三角形和2个正六边形. 当围绕一个点有3个正三角形时， 360°-180°=180°， 因为180÷90=2， 所以n=4,此时的组合方式是3个正三角形和2个正四边形 当围绕一个点有4个正三角形时， 360°-240°=120°， 因为120÷120=1， 所以n=6,此时的组合方式是4个正三角形和1个正六边形. 当围绕一个点有5个正三角形时， 360°-300°=60°， 其余内角的度数中没有60°的因数， 所以此种情况不存在. 综上所述：n=6时，组合方式是2个正三角形和2个正六 边形或4个正三角形和1个正六边形；n=4时，组合方式 是3个正三角形和2个正四边形. 【拓展延伸】A[解析]因为60°十2×90°+120°=360°， 所以A选项符合题意. 因为60°，90°，135°无法同时使用凑出360°，所以B选项不 符合题意 因为60°，120°，135°无法同时使用凑出360°，所以C选项 不符合题意 因为90°，120°，135°无法同时使用凑出360°，所以D选项 不符合题意 9.√3+√210.(1)360°-2a(2)144(3)72 第20讲平行四边形 【河北十年真题练】 1.C2.B3.2(答案不唯一，2,3,4,5,6中的任意一个) 4.A5.D6.D7.A8.B9.C 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.D3.C4.C5.40°6.5 7.(1)解：作图如下： DE即为所求. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. ∴·∠ADB=∠DBC.(两直线平行，内错角相等) 又'DE平分∠ADB,BF平分∠DBC, ∠EDB=∠ADB,∠DBF=合∠DBC .∠EDB=∠DBF, .DE∥BF.(内错角相等，两直线平行) 又，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF, ∴四边形DEBF为平行四边形.（两组对边分别平行的四 2