精品解析：广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

兴宁一中高二年级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解． 【详解】函数，则， 所以， 故选：C． 2. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 3. 若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. 2或 C. 2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求的值. 【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3， 又∵，即， ∴或， 故选：D． 4. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【详解】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C 5. 6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有（ ）种 A. 360 B. 240 C. 120 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 利用捆绑法列出式子即可求出. 【详解】甲、乙两位同学要相邻，一共为种. 故选：B． 6. 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（ ） A. 12种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果. 【详解】将第6名同学放到原来5名同学形成的6个空中，有6种放法； 将第7名同学放到已经排好的6名同学形成的7个空中，有7种放法， 故不同的比赛顺序共有种. 故选：D 7. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 8. 已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知分别求得两函数在规定区间上的单调性以及对应值域，再由两函数值域的包含关系，解不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，， 在上单调递减，在上单调递增； 可知在处取得极小值，也是最小值， 因此在上的值域为， 又可得， 令，可得，， 因此当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 因此，又， 在上的值域为， 若对于任意，都存在，使得， 可得， 解得. 因此实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分． 9. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 函数在区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】由导函数与原函数图象间关系可判断各选项正误. 【详解】对于A，由图，当时，，则在区间单调递增，故A错误； 对于B，由图，当时，，则在区间单调递减，故B正确； 对于C，由图，，则在处不取极值，故C错误； 对于D，由图，当时，；时，. 则在区间上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，故D正确. 故选：BD 10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：恒成立，所以为增函数； B：，因为，所以当时，， 所以在上为减函数，显然在定义域R上不为增函数； C：恒成立，所以为增函数； D：，当且仅当即时，, 所以为增函数． 11. 如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有种 B. 甲从必须经过到达处的方法有种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；计算出乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误. 【详解】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走， 则甲从到达处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达处，可分为两步： 第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种. 甲经过到达的方法数为种，B选项正确； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 甲、乙两人在处相遇的方法数为， 甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走， 乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解： 在平面直角坐标系中，从到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法种数为（或）种. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成___________个没有重复数字的四位数． 【答案】1440 【解析】 【详解】由题可得能组成满足要求的没有重复数字的四位数个数有 13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种． 【答案】72 【解析】 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意恒成立，首先构造函数，利用导数求得的值域，进一步有恒成立，故只需构造函数求得的最小值即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，所以恒成立， 令，求导得， ，， 所以在单调递减，在单调递增， 而，当趋于0和正无穷时，都趋于正无穷， 所以的值域为， 原问题等价于恒成立，即恒成立， 令，求导得， 所以在上单调递增， 所以的最小值为， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，列方程求，写出等差数列通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为， 因为， 所以，， 解得，， 所以． 【小问2详解】 ， 因为 所以． 所以. 16. 在中，已知角所对的边分别是，且. （1）求和角的值； （2）求的面积. 【答案】（1），； （2）或3. 【解析】 【分析】(1)在中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解. (2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c，再用三角形面积公式即可计算作答. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 则有，而，解得， 又，即为锐角，于是得， 所以，. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 整理得：，解得或， 当时，， 当时，， 所以的面积为或3. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，即可得解； （2）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 18. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 【答案】（1）300 （2）240 （3）2160 【解析】 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可， 所以排法种数为：种. 【小问2详解】 完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：. 【小问3详解】 完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若，恒成立，求的值； （3）若在区间上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间. （2）-1 （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，令，通过研究单调性可得的单调区间； （2）由题可得是在区间上的最小值，据此可得，随后验证 满足题意即可； （3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况. 【小问1详解】 当时，，，则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以， 所以当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 由，得，. 因为当时，恒成立， 所以是在区间上的最小值， 即当时，是的极小值点， 所以，解得. 当时，. 令，则. 由（1）知， 所以当时， 恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. 故. 【小问3详解】 因为，所以， 由（1）知. 又当时，， 所以当时，， 所以当时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 此时在区间上无零点，不符合题意，舍去. 当时，令， 则. 当时，，单调递增. 又，当时，，所以存在，使. 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增. 因为，当时，， 所以当时，在区间上有唯一零点. 综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于单次求导无法判断单调性的函数，可通过多次求导，判断函数单调性；对于恒成立问题，常转化为求解函数最值；对于零点问题，常由函数单调性结合零点存在性定理解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高二年级第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 3. 若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. 2或 C. 2 D. 1或 4. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有（ ）种 A. 360 B. 240 C. 120 D. 60 6. 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（ ） A. 12种 B. 30种 C. 36种 D. 42种 7. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 8. 已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分． 9. 定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 函数在区间单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ ） A. 甲从到达处的方法有种 B. 甲从必须经过到达处的方法有种 C. 甲、乙两人在处相遇的概率为 D. 甲、乙两人相遇的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成___________个没有重复数字的四位数． 13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种． 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 在中，已知角所对的边分别是，且. （1）求和角的值； （2）求的面积. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 18. 为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： （1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； （2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； （3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若，恒成立，求的值； （3）若在区间上存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $