直线与圆锥曲线的位置关系课件-2026届高三数学二轮复习

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系 专题五　解析几何 1.(2025·全国Ⅱ卷，T16)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，长 轴长为4. (1)求C的方程； 探究真题 明确方向 因为长轴长为4，则2a=4，a=2，又离心率为则c= 故b==故椭圆C的方程为+=1. 解 (2)过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求|AB|. 方法一　由题设可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x=t(y+2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去x可得(t2+2)y2+4t2y+4t2-4=0， 故Δ=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=16(2-t2)>0， 即-<t< 且y1+y2=-y1y2= 解 故S△OAB=×|2t|×|y1-y2| =|t|== 解得t=± 故|AB|=|y1-y2|=×=×=. 解 方法二　设l：y=kx-2，点P(0，-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立⇒(2k2+1)x2-8kx+4=0， Δ=(-8k)2-4×(2k2+1)×4=32k2-16>0，可得k>或k<- x1+x2=x1x2=>0，所以x1，x2同号， S△OAB=S△OPB-S△OPA=×2|x2|-×2|x1|=|x2-x1| === 解得k2=所以|AB|=|x2-x1|=×=. 解 2.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T21)已知点A(2，1)在双曲线C：-=1(a>1) 上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； 将点A的坐标代入双曲线方程得-=1， 化简得a4-4a2+4=0，得a2=2， 故双曲线C的方程为-y2=1. 由题易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx+m， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得 (2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0， 解 故x1+x2=-x1x2=. kAP+kAQ=+ =+=0， 化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0， 故+(m-1-2k)-4(m-1)=0， 整理得(k+1)(m+2k-1)=0， 又直线l不过点A，即m+2k-1≠0， 故k=-1. 解 (2)若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面积. 不妨设直线PA的倾斜角为θ 由题意知∠PAQ=π-2θ， 所以tan∠PAQ=-tan 2θ==2 解得tan θ=或tan θ=-(舍去). 由得x1= 所以|AP|=|x1-2|= 解 同理得x2= 所以|AQ|=|x2-2|=. 因为tan∠PAQ=2 所以sin∠PAQ= 故S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ =×××=. 解 命题热度： 本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~13分. 考查方向： 一是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查位置关系的判断及由位置关系求参数的范围；二是弦长公式，主要考查联立后公式的运用，通常以弦长或面积为主要考查方向；三是中点弦问题，主要考查点差法及与垂径定理相关的知识和方法. 考点二　面积问题 考点一　弦长问题 内容索引 专题突破练 考点三　中点弦问题 考点一　弦长问题 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|==|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2|=. 　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的离心率为且过点. (1)求E的方程； 例1 因为双曲线E过点离心率为 所以 解得所以双曲线E的方程为x2-=1. 解 (2)直线l过点(0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程. 由(1)知双曲线的实轴长为2，当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y=k(x-)， 联立得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0，Δ=16(k2+1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=x1x2= 所以|AB|===4， 解得k=±y=±(x-)； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=此时|AB|=4，符合题意. 综上所述，直线l的方程为y=x-或y=-x+或x=. 解 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等. (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉. (3)|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立. 易错提醒 跟踪演练1　(2025·广安模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)上任意一点P到 C的两个焦点F1(-20)，F2(20)的距离之和为4. (1)求C的方程； 由题意可得解得 故C的方程为+=1. 解 (2)已知直线l：y=x+m与C相交于A，B两点，若=5，求m的值. 联立 得x2+2mx+3m2-12=0， Δ=4m2-4×>0，解得m2<. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 解 |AB|=× =× =×=5， 解得m=±即m的值为±. 解 返回 考点二　面积问题 　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：+=1(a>b>0) 上两点. (1)求C的离心率； 例2 由题意得解得 所以C的离心率e===. 解 (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 方法一　kAP==- 则直线AP的方程为y=-x+3， 即x+2y-6=0， 因为|AP|==S△ABP=9， 所以点B到直线AP的距离d== 设B(x0，y0)，则 解 解得或 即B(0，-3)或B 当B(0，-3)时，kl= 直线l的方程为y=x-3，即3x-2y-6=0； 当B时，kl=直线l的方程为y=x，即x-2y=0. 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 解 方法二　同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d= 设B(2cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0，2π)， 则有=联立cos2θ+sin2θ=1， 解得或 即B(0，-3)或以下同方法一. 解 方法三　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，-3)， S△PAB=×6×3=9，符合题意，此时kl= 直线l的方程为y=x-3， 即3x-2y-6=0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y=kx+3，k≠0， 联立椭圆方程有 则(4k2+3)x2+24kx=0， 解 其中k≠kAP，即k≠- 解得x=0(舍去)或x=k≠0，k≠- 当x=时，y= 则B 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 点B到直线AP的距离d= 则= 解 解得k= 此时B 则kl= 直线l的方程为y=x， 即x-2y=0， 综上，直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 解 方法四　当l的斜率不存在时， l：x=3，B |PB|=3，点A到直线PB的距离d=3， 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y=k(x-3)+ 设l与y轴的交点为Q， 令x=0，则Q 解 联立 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0， 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0， 即4k2+12k+9>0， 且k≠kAP，即k≠-k≠- 则3xB=xB= 解 则S△ABP=|AQ||xP-xB| ==9， 解得k=或k=均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3， 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 解 圆锥曲线中求解三角形面积的方法 (1)常规面积公式：S=×底×高. (2)正弦面积公式：S=absin C. (3)铅锤水平面面积公式： ①过x轴上的定点：S=a|y1-y2|(a为x轴上定长)； ②过y轴上的定点：S=a|x1-x2|(a为y轴上定长). 规律方法 跟踪演练2　已知顶点在坐标原点O，焦点在坐标轴上的抛物线过点P(2，4). (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； 根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2px，p>0， 将点P(2，4)代入方程可得42=2p×2，解得p=4， 此时抛物线的标准方程为y2=8x，准线方程为x=-2； 当抛物线开口向上时，设其方程为x2=2py，p>0， 将点P(2，4)代入方程可得22=2p×4，解得p= 此时抛物线的标准方程为x2=y，准线方程为y=-. 综上，抛物线的标准方程为y2=8x，准线方程为x=-2或x2=y， 准线方程为y=-. 解 (2)过点P作直线l交抛物线于另一个交点Q(Q在第四象限)，设直线OP，PQ的斜率分别为k1，k2，若k1+2k2=0，求△OPQ的面积. 根据题意，因为点Q在第四象限，所以抛物线的标准方程为y2=8x， 画出图象如图所示， 由题意可知k2存在，k1==2， 因为k1+2k2=0，所以k2=-1. 设点Q 所以k2==-1，解得y0=-12. 解 直线PQ的方程为y-4=-(x-2)， 即x+y-6=0. 所以A点的坐标为(6，0). 所以△OPQ的面积为 S△OPQ=S△OPA+S△OQA=×6×=48. 解 返回 考点三　中点弦问题 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k. 若E的方程为+=1(a>b>0)， 则k=-·； 若E的方程为-=1(a>0，b>0)， 则k=·； 若E的方程为y2=2px(p>0)，则k=. 　(1)(2025·邵阳模拟)已知直线l：y=3x+1与双曲线E：-=1(a>0，b>0)相交于A，B两点，且弦AB的中点是M则此双曲线E的 渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x √ 例3 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得-=0， -=0， 即-=0，即= 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x. 解析 (2)(2025·湛江模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)与直线l：x-y-3=0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 设AB则 整理得==1， 因为线段AB中点的横坐标为7， 所以线段AB中点的纵坐标为4，则y1+y2=8， 从而可得p=4. 解析 处理中点弦问题常用的求解方法 规律方法 跟踪演练3　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的离心率为左、右焦 点分别为F1，F2，过点F1且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且=则k等于 A.± B.± C.± D.± √ 如图，由E：-=1可得双曲线的渐近线方程为-=0， 不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为C(x0，y0)， 则 两式相减，得-=0， 即·===e2-1= 即kAB·kOC= (*) 解析 因为=则F2C⊥AB，在Rt△F1CF2中，|OC|=|OF1|=|OF2|， 设直线l的倾斜角为θ，则直线OC的倾斜角为2θ， 则由(*)可得tan θtan 2θ=即=解得tan2θ= 即tan θ=±即k=±. 解析 返回 专题突破练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A C C BD AD 题号 9 10 答案 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (1) ∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2， 右焦点F到渐近线的距离为 ∴解得 ∴所求双曲线C的方程为x2-=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (2)联立 得x2-2mx-m2-2=0， ∵直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为8 ∴Δ=4m2+4m2+8>0，设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=2m，x1x2=-m2-2， 则·=8解得m=±. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. (1)由题意得⇒ 则椭圆C的标准方程为+=1. (2)M(-2，1)，P(0，-1)，则kMP=-1， 则lMP：y=-x-1==2 设点N到直线MP的距离为d， 则S△PMN=·d=4 ⇒d=2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 方法一　设N(x0，y0)， 则解得或 当N(2，1)时，直线l的方程为y=1； 当N时，直线l的方程为x+6y-4=0， 即l：y=1或者l：x+6y-4=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 方法二　设N在直线l'：y=-x+m上， 则d==2⇒m=3或m=-5， 当m=-5时，l'：y=-x-5， 联立⇒x2+4(x2+10x+25)=8， 即5x2+40x+92=0， 因为Δ=1 600-4×5×92=-240<0， 故l'：y=-x-5与C相离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 当m=3时，l'：y=-x+3， 联立⇒x2+4(x2-6x+9)=8， 化简得5x2-24x+28=0，即(5x-14)(x-2)=0，解得x1=2，x2= 即N(2，1)或者N因为M(-2，1)， 故l：y=1或者l：y-1=(x+2)，即l：y=1或者l：x+6y-4=0. 一、单项选择题 1.直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 因为直线+=1过点 而为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点， 故直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)相交. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 2.斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，线段AB的长为8，则p的值为 A. B.1 C.2 D.3 √ 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设点A和B直线l的方程为y=x- 联立方程可得y2-2py-p2=0， 则y1+y2=2p，y1y2=-p2， 线段AB的长为 ·=×=4p=8， 解得p=2. 解析 3.已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)的一条弦所在的直线方程是x- y+5=0，弦的中点坐标是M(-4，1)，则椭圆的短轴长为 A.2 B.4 C.8 D.16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得x1+x2=-8，y1+y2=2，直线AB的斜率为k==1， 由 两式相减得+=0， 所以=-×=1，所以==所以b=4， 所以椭圆的短轴长为8. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 4.过点P(1，0)作倾斜角为45°的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为 A. B. C. D. √ 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 方法一　由题意可知直线l的方程为y=x-1，与椭圆+=1联立方程组，消去x得2(y+1)2+3y2=6，整理得5y2+4y-4=0， 设交点A(x1，y1)，B则有y1·y2=- 则·=·=2×=. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 方法二　设直线的参数方程为其中t为参数， 代入椭圆方程可得5t2+4t-8=0， 则t1t2=- 则·==. 解析 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2， 直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m等于 A. B. C.- D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题意知，F1(-0)，F2(0)， △F1AB面积是△F2AB面积的2倍， 所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍， 即=2× 解得m=-或m=-3(舍去). 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 6.(2025·烟台、东营模拟)已知A为抛物线y2=2px(p>0)上一点，若 过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(-2，0)，则p的值为 A.1 B.2 C.4 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 不妨令m>0，由y= 则y'== 所以切点为A的切线的斜率为k=1， 则切线为y=x+2，故m=+2， 又m2=2p×=p2， 即m=p(负值舍去)，则+2=p⇒p=4. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、多项选择题 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是 A.抛物线的焦点坐标是(2，0) B.焦点到准线的距离是2 C.若点P的坐标为(2，1)，则|MP|+|MF|的最小值为2 D.若Q为线段MN的中点，则Q的坐标可以是(3，2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由题意F(1，0)，故A错误； 焦点到准线的距离是2，故B正确； 对于C，过点M作MM'垂直于准线x=-1，垂足为M'， 则|MP|+|MF|=|MP|+|M'M|≥|M'P|=3， 当且仅当P，M，M'三点共线时取等号，所以|MP|+|MF|的最小值为3，故C错误； 对于D，假设Q的坐标是(3，2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=4， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 由两式相减得-=4(x1-x2)， 即(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)， 所以==1，即kMN=1， 所以直线l的方程为y-2=x-3，即y=x-1， 将F(1，0)代入得0=1-1，所以直线l过点F(1，0)，符合题意， 所以Q的坐标可以是(3，2)，故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2025·成都模拟)平面上，若一个动点P(x，y)到定点A(0)的距离与 点P到直线l：x=的距离之比为则 A.动点P的轨迹方程为x2-y2=1 B.若过点A的直线m与动点P的轨迹只有一个交点，则直线m的斜率范围 为[-1，1] C.若圆C：x2+(y-)2=1，则圆C上的点与动点P的距离最小值为 D.若点M，N在动点P的轨迹上，D(2，1)为线段MN的中点，则线段MN所 在直线的方程为2x-y-3=0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 对于A=整理得到动点P的轨迹方程为x2-y2=1，故A 正确； 对于B，若过点A的直线m与动点P的轨迹只有一个交点，则直线m与双曲线的渐近线平行，故直线m的斜率为±1，故B错误； 对于C，圆C上的点与动点P的距离最小值为圆心C(0)到双曲线上动点P的距离最小值减去半径， 即-1=-1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 =-1=-1， 当y=时，圆C上的点与动点P的距离最小值为-1，故C错误； 对于D，设MN则-=1-=1，两式作差得 -=-整理得=1，又因为线段MN的中点D 所以x1+x2=4，y1+y2=2，所以线段MN所在直线的斜率为2，所以线段MN所在直线的方程为y-1=2即2x-y-3=0，故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 9.直线y=x+m与椭圆2x2+y2=1有两个不同的交点，则m的取值范围 为　　　　　　.  联立得3x2+2mx+m2-1=0， 由题意得此方程有两个不相等的实根， ∴Δ=(2m)2-4×3×(m2-1)=-8m2+12>0， ∴m2<解得-<m<故m的取值范围是. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 10.(2025·襄阳模拟)已知斜率为的直线与椭圆C：+=1(0<b<2)交于A， B两点，与x轴、y轴分别交于点M，N，若|AN|=|NM|=|MB|，则椭圆C的焦距为　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又因为|AN|=|NM|=|MB|， 所以M(-x1，0)，N则B 则 由 两式相减得+=0，即·=- 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 因为= 所以=所以=1， ==-=- 所以·=-解得b=1， 所以c==所以椭圆C的焦距为2. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 四、解答题 11.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的 距离为. (1)求双曲线C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离 为 ∴解得 ∴所求双曲线C的方程为x2-=1. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为8求实数m的值. 联立 得x2-2mx-m2-2=0， ∵直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为8 ∴Δ=4m2+4m2+8>0，设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=2m，x1x2=-m2-2， 则·=8解得m=±. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 12.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为且过点(2，1). (1)求椭圆C的标准方程； 由题意得⇒ 则椭圆C的标准方程为+=1. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 (2)设直线l与椭圆C交于M，N两点，点M(-2，1)，P(0，-1)，若△PMN的面积为4，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 M(-2，1)，P(0，-1)，则kMP=-1，则lMP：y=-x-1==2 设点N到直线MP的距离为d，则S△PMN=·d=4 ⇒d=2 方法一　设N(x0，y0)， 则解得或 当N(2，1)时，直线l的方程为y=1； 当N时，直线l的方程为x+6y-4=0， 即l：y=1或者l：x+6y-4=0. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 方法二　设N在直线l'：y=-x+m上， 则d==2⇒m=3或m=-5， 当m=-5时，l'：y=-x-5， 联立⇒x2+4(x2+10x+25)=8， 即5x2+40x+92=0， 因为Δ=1 600-4×5×92=-240<0， 故l'：y=-x-5与C相离. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 返回 当m=3时，l'：y=-x+3， 联立⇒x2+4(x2-6x+9)=8， 化简得5x2-24x+28=0，即(5x-14)(x-2)=0，解得x1=2，x2= 即N(2，1)或者N因为M(-2，1)， 故l：y=1或者l：y-1=(x+2)， 即l：y=1或者l：x+6y-4=0. 解 $