10.2 事件的相互独立性&10.3 频率与概率-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第二节事件的相互独立性 A级基础练 1.设A,B是两个随机事件，且P(A)>0, 4.（多选)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋 P(B)>0,则“事件A,B相互独立”是“事件 中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色 A,B互斥”的 ( 外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球， A.充分不必要条件 则下列结论正确的是 () B.必要不充分条件 A.这2个球颜色相同的概率为 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B这2个球不都是红球的概率为号 2.(多选)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面向上”，事件B=“第2枚反 C.这2个球中至少有1个红球的概率为号 面向上”，事件C=“恰有1枚正面向上”，事 D,这2个球中恰有1个红球的概率为号 件D=“两枚都正面向上”，则 ) 5.(多选)甲、乙两名同学均打算在高考期间去 A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 A,B,C三个考点中的一个考点做志愿者， C.A与D相互独立 甲去A,B考点做志愿者的概率分别为0.4， D.B与D互斥 0.3,乙去B,C考点做志愿者的概率分别为 3.一次射击比赛中，若某选手连续2次未击中 0.5,0.2,且甲、乙的选择互不影响，则 目标，则该选手中止射击.已知甲每次击中 A.甲去C考点做志愿者的概率为0.3 目标的概率是，且甲各次射击是香击中目 B.甲去A考点、乙不去C考点做志愿者的 标相互之间没有影响，则甲恰好射击5次后 概率为0.32 被中止的概率为 ( C.甲、乙同去C考点做志愿者的概率为 45 A.1024 B品 0.15 D.甲、乙不去同一考点做志愿者的概率为 c能 .9 D.512 0.67 74 B级综合练 1.已知三个元件T1,T2,T3正常工作的概率： 3.某单位规定每位员工每年至少参加两项专 分别为分身，身，且这三个元件是香正常工 业技能测试，测试通过可获得相应学分，每 年所得总学分不低于10分时该年度考核为 作是相互独立的.若将这三个元件接入到如 合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能 图所示的电路中，则电路不发生故障的概率 测试有A,B,C,D四项，已知这四项专业技 是 能测试的学分及员工甲通过各项专业技能 测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业 技能测试是否通过相互独立. A是 9 测试项目 A B C D B.32 获得学分 4分 5分 6分 8分 c n品 通过该测 5 4 3 2.(多选)为激发学生写字练字的兴趣，培养学 试的概率 6 5 4 2 生良好的书写习惯，提高学生规范整洁书写 (1)若员工甲参加A,B,C三项测试，求他本 汉字的能力，引导学生感悟汉字魅力，弘扬 年度考核合格的概率： 中华文化，某校举办汉字书写大赛.参加大 (2)员工甲欲从A,B,C,D中选择三项参加 赛的学生需要逐轮晋级，最终进入决赛.每 测试，若要使他本年度考核合格的概率不低 轮晋级比赛中，两位选手需要经过多局比赛 决出最终胜负.规则要求晋级比赛中双方中 于子，应如何选择？请求出所有满足条件的 的一方比对方多胜两局时，比赛结束，胜局 方案， 多者晋级；否则比赛继续，但最多进行五局， 最终胜局多者晋级.在某轮晋级比赛中，甲、 乙二人对决，其中每局比赛甲胜乙的概率为 号，乙胜甲的概率为，且每局比赛结果互 不影响.则 ( A.比赛经过两局就结束的概率为5 B甲在第四局结束后晋级的概率为号 C.乙在第四局结束后晋级的概率为27 D.比姿经过五局才结束的概率为盟 75 第三节 频率与概率 A级基础练 1.(多选)小明将一枚质地均匀的骰子连续抛 :3.从某自动包装机包装的食品中，随机抽取 掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列 20袋，测得各袋的质量（单位：g)分别为： 说法正确的是 ( 492,496,494,495,498,497,503,506,508, A.朝上的点数是2的概率和频率均为1 507,497,501,502,504,496,492,496,500, B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的 频率约为0.17 501,499.根据抽测结果估计该自动包装机 C.抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 包装的袋装食品质量在497.5~501.5g之 D.抛掷6000次，朝上的点数为2的次数大 间的概率为 约为1000 4.现采用随机模拟的方法估计4件产品中至 2.某地气象部门统计了前三年6月份各天的 少有3件合格品的概率：先由计算器产生0 最高气温数据，得到下面的频数分布表： 到9之间的整数随机数，指定0表示不合 最高气 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 温/℃ 格，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示合格，再经随 天数 5 24 35 19 机模拟产生10组随机数为7527,0293， 则可以估计该地区今年6月份的某天最高 7040,9857,8045,4373,8636,6947,1417, 气温小于30℃的概率为 ( 4698.据此估计4件产品中至少有3件合格 A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2 品的概率为 B级 综合练 1.2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”， 计如下调查方案：被调查者在没有旁人的情 国家卫健委印发《关于开展2023年全国“爱 况下，独自从一个箱子中随机抽一个球，看 眼日”宣传教育周活动的通知》，并指出今年 过颜色后放回，若抽到白球，则回答问题A, 的活动主题为“关注普遍的眼健康”.众所周 抽到红球，则回答问题B,且箱子中只有白 知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某 球和红球， 校学生大约有40%的人近视，而该校大约 问题A:你的生日的月份是否为偶数？（假 有30%的学生每天玩手机超过2h,这些学 设生日的月份为偶数的概率为) 生的近视率约为50%.现从每天玩手机不 问题B:你是否有在校使用手机？ 超过2h的学生中任意调查一名学生，则该 已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白 名学生近视的概率为 ( 球2个，红球3个，调查结束后共收到1000 A 张有效答卷，其中有270张回答“是”.以频 率估计概率，估计该校学生有在校使用手机 2.敏感性问题调查的关键是要设法消除被调 的概率是（精确到0.01） ( ) 查者的顾虑，使他们能如实回答问题.为调 A.0.09 B.0.12 查学生是否有在校使用手机的情况，某校设 C.0.20 D.0.27 76“所需时间小于50min”与“所需时间为 60min”是互斥而不对立事件. 线路一所需的平均时间为30×0.5+40 ×0.2+50×0.2+60×0.1=39(min),线 B / 路二所需的平均时间为30×0.3十40× 0.5+50×0.1+60×0.1=40(min),所以 线路一比线路二更节省时间. 走线路一上班所需时间超过30min的概 C 率为0.2十0.2十0.1=0.5 走线路一上班所需时间小于45min的概 十 率为0.5十0.2=0.7，走线路二上班所需 时间小于45min的概率为0.3十0.5=0. 8,小张应该走线路二。 3答案： 解析：记事件H=“首先到站的是1路车或3路车 或4路车”，事件A,=“首先到站的是第i(i=1,2, 3,4,5)路车”.由题意，知P(A1)十P(A2)十P(A3) 十P(A,)十P(A)=1.因为1路车每天经过该站的 次教是共他各路车的总和，所以P(A,)=子又2， 3,4,5路车每天经过该站的次数是相等的，所以P A,)=PA,)=PA,)=P(A,)=g又H=A,十 A3十A4,且A1,A3,A两两互斥，所以P(H)=P A)+PA)+A)=+日十日-子放首先 到站的公交车是这位乘客等候的公交车的概率 为是 5.解：(1)设A,B,C,D分别表示小华从抽奖箱中任 取1个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、无奖的 事件，则它们两两互斥 由题意，得P(A)=·P(B+C)=P(B)+P(C) 6由对立事件的概率公式，得P(D)=1=P(A B叶0=1-PA-P(B+C)=1-品名=子 所以小华不能中奖的概率为分 (2)方法一（直接法）因为P(A十B)=P(A)+ PB)-所以P(B)=品-器 又PB+O=PB)+PO)=: 所以PC0)最是行，即小华中三等奖的概率 为， 所以抽奖箱中黄球的个数为16×=4. 13 方法二（间接法）由(1)知小华不能中奖的概率 又小华中一等奖或二等奖的概率是子， 11_1 所以小华中三等奖的概率为1一2一4=4 所以抽奖箱中黄球的个数为16×号=4. 第二节事件的相互独立性 A级基础练 1.D若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P (B)>0,即P(AB)≠0，所以事件A,B不互斥.若 事件A,B互斥，则P(AB)=0,但P(A)P(B)>0, 所以P(A)P(B)≠P(AB),所以事件A,B不相互 独立.故“事件A,B相互独立”是“事件A,B互斥” 的既不充分也不必要条件， 2.ABD第1枚正面向上和第2枚反面向上互不影 响，所以事件A和B相互独立，A正确.m,M分别 表示第1枚正面向下、向上，n,N分别表示第2枚 正面向下、向上，抛掷两枚质地均匀的硬币的样本 空间为{(m,n),(m,N),(M,n),(M,N)},共包含 4个样本点，A={(M,n),(M,N)},B={(m,n), (M,n)},C={(m,N),(M,n)},D={(M,N)},所 以B与D互斥，D正确.P(A)=P(C)=2,P(D) =子，P(AC)=P(AD)=子，故P(AC)=P(A) P(C),P(AD)≠P(A)P(D),B正确，C错误. 3.A甲每次击中目标的概率是子，则甲浸有击中日 标纷说率是1享=子甲给好：击5次后被中止 的情况是前2次至少击中目标1次，第3次击中目 标，第4、5次均没有击中目标，所以甲恰好射击5 次后被中止的瓶率为(1-是×})×子×子×子 4 、4 45 =1024 4.ACD从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为 3平号镇球为红球的诞奉为造日从乙象中 8 任取1个球，该球为白球的概率为)，该球为红球 的概率为了从甲袋中取球与从乙袋中取球是相互 独立的，这2个球颜色相同的概率为号×号十号× 号了八正确：这2个球不都是红球的概率为1 号×号名，B错送：这2个缘中至少有1个红球 的丰为1子×分导，C正确：这2个球中格有 3 1个红球的瓶率为号×？+日×}2D正确 5.ABD对于A,甲去C考点做志愿者的概率为1-0.4 一0.3=0.3，故A正确.对于B,甲去A考点、乙不去C 考点做志愿者的概率为0.4×(1一0.2)=0.32，故B正 确.对于C,甲、乙同去C考点做志愿者的概率为0.3X 0.2=0.06,故C错误.对于D,乙去A考点做志愿者的 概率为1一0.5-0.2=0.3，甲、乙不去同一考点做志愿 者的概率为1-(0.4×0.3十0.3×0.5十0.3×0.2)= 0.67,故D正确」 B级综合练 1.A记事件A=“元件T正常工作”，k=1,2,3,则 P(A)=P(A)=是，P(A)=是.记亭件M “电路不发生故障”，则M=(A2十A3)A1,所以P (M)=P[(A2+A3)A1]=[1-P(A2)P(A3)]P a)=(1-×)x分品 2AD对于A,比赛经过两局就结束的概率为（保） 十（行）广=号，故A正确；对于B,甲在第四局结束 后晋级，则四局比赛中乙胜了一局，且必须为第一 或第二局，所以甲在第四局结束后骨级的概率为号 ×(号)×2故B错误：对于C,乙在第四局结 束后晋级，则四局比赛中甲胜了一局，且必须为第 一或第二局，所以乙在第四局结束后晋级的概率为 ×（宁”X2一奇故C错误：时于D,由N知比赛 3 经过两局就结束的概率为号，由B,C知比赛经过 四局就结永的振率为导十背-品比套不可能经 过三局就结束，所以比赛经过五局才结束的概率为 1一号一器-数D正确， 3.解：(1)设事件M=“员工甲本年度考核合格”. 由题意，知员工甲本年度考核合格必须通过C测 试，且A,B测试中至少有一项通过，故P(M)= ×1-日×号)=器 (2)①若选择A,B,D三项测试，则必须通过D测 试，且A,B测诚中至少有一项通过，故P(M)=司 ×1-×)器： ②若选择B,C,D三项测试，则需任意两项测试通 过或三项测战均道过，故P(M0=号×是×号十号 ××+台×是×g+日××->： ③若选择A,C,D三项测试，则需任意两项测试通 12 建成三项到试均通过，故P(0=}×音×号+ ×1×1+3×5×1+1×3x5=19>3. 6×2+4×62千246244 结合(1中器<是，所以满足条件的方家为选择A C,D三项和选择B,C,D三项. 第三节频率与概率 A级基础练 1.BD由题意知朝上的点数是2的频率为8-1，概 阜为行，故A错误：当鹅掷次数很多时，朝上的点 数是2的频率在。≈0.17附近摆动，故B正确：抛 掷第31次，朝上的，点数可能是2，也可能不是2，故 C错误；每次拋掷朝上的点数是2的概率为。，所 以抛掷6000次，朝上的点数为2的次数大约为 6000×名=100.D正确. 2.C因为前三年6月份各天最高气温小于30℃的 5+7+24 频率为5十7十24+35+19=0.4，因此估计今年6 月份的某天最高气温小于30℃的概率为0.4. 3.答案：0.25 解析：质量在497.5~501.5g之间的食品有5袋， 所以其领率为易=0.25，由此可以估计质兰在 497.5501.5g之间的概率为0.25. 4答案：品 解析：4件产品中至少有3件合格品，即一组随机数中 至多出现一个0，符合题意的随机数共有9组，所以估 计4件产品中至少有3件合格品的概率为0 B级综合练 1.B设该校有a名学生，则约有0.4a名学生近视， 约有0.3a名学生每天玩手机超过2h,且每天玩手 机超过2h的学生中近视的学生人数为0.3aX0.5 =0.15a,所以有0.7a名学生每天玩手机不超过 2h,且其中有0.4a-0.15a=0.25a名学生近视， 所以从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查 一名学生，则该学生近视的概率为0.250=5」 0.7a14 2.B由题意可知，回答问题A的学生人数为1000× 后=400，其中对问题A回答“是”的人数为400× 2 7=200,回答问题B的学生人数为1000×。 600,其中对问题B回答“是”的人数为270一200= 70,因此，估计该校学生有在校使用手机的概率为 品≈01z 4