8.1 基本立体图形-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

第八章立体几何初步 第一节基本立体图形 A级基础练 1.下面说法中错误的是 6.(多选)以下对如图中的组合体 A.棱锥的侧面只能是三角形 的结构特征的说法中，正确的 B.棱台的侧面一定不会是平行四边形 是 ( C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥 A.由一个长方体割去一个四棱柱构成 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成 2.(多选)棱台具备的特点是 ( C.由一个长方体挖去一个四棱台构成 A.所有的侧面不存在两个面互相平行 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成 B.侧面都是等腰梯形 7.(多选)某广场设置了一些石凳供大家休息， C.侧棱长都相等 如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同 D.侧棱延长后都交于一点 的正三棱锥得到的几何体，则下列结论正确 3.（多选)如图，长方体ABCD 的是 ( ) A1B,C,D1被一个平面截成 两个几何体，其中EF∥ BC1∥BC,则 A.几何体ABCD-A,EFD1是一个六面体 B.几何体ABCD一A,EFD,是一个四棱台 C.几何体AA,EB一DD,FC是一个四棱柱 A.该几何体的面是等边三角形或正方形 D.几何体BB,E一CC,F是一个三棱柱 B.该几何体有12个面 4.下列叙述中，正确的是 C.该几何体有24条棱 A.以直角三角形的一边在直线为轴旋转 一周所得的旋转体是圆锥 D.该几何体有12个顶点 8.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的 B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一 直线EF旋转，其中AD∥BC,AD⊥CD.当 周所得的几何体是圆台 C.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和 点A选在射线DE上的不同位置时，形成的 一个圆台 几何体大小、形状不同，比较其不同点。 D.圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几 E 何体是球 5.下列说法中正确的是 ( A.所有几何体的表面都能展开成平面图形 B.圆台的轴截面是等腰梯形 C.过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 D.连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点 的线段是圆柱的母线 31 B级综合练 1.12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方 (2)在倾斜的过程中，水的形状也不断变化， 式（不可折断，可不用完），不可能拼成 可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ ( A.正三棱柱 B.正四棱锥 C.正四棱柱 D.正六棱锥 2.把半径为R的一圆形纸片，自中心处剪去 圆心角为120°，半径为R的扇形，则剩下扇 形围成的无底圆锥的高为 A号 B.2R 3 C.5R D.22R 3 3 3.如图所示的是一个三棱台ABC-A1B1C1, (3)若倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是 绕着其底面的一个顶点，则上面的第(1)问 和第(2)问对不对？ (1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则 这三个三棱锥分别可以是 (2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则 这两个多面体可以是 4.如图，有一个长方体形的容器，里面装有少 量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱 倾斜. (1)在倾斜的过程中，水面的形 状不断变化，可能是矩形，也可 能变成不是矩形的平行四边 形，对吗？ 32之。，所以之一，对应CB.又|之一=1，所以C官 =1. 又CB,OC)=120°，1OC1=2, 所以向量C方对应的复数1=，·[c0s(-120) +im(-120]-+2,成=·2cas120 +isin120°)=-i, 所以0i-0+ci=(9号成(-5.0 所以之= 多成= 6.解：由复数乘法的几何意义得 名(cos平+isin平)=(cos+isin), 因为=-1-i=2(cos经+in经， 所以 +in)(eos受+im受 2(cos3 3 31 cos平+isn =2[cos(3x-罕)+isin(3x-平)] -2cos+in3) =-√2+√2i, 所以的辐角的主值为西 第八章立体几何初步 第一节 基本立体图形 A级基础练 1.D由棱锥的定义知棱锥的侧面只能 是三角形，A说法正确.棱台的侧面一 定是梯形，而不是平行四边形，B说法 正确.由四个面围成的封闭图形只能是 三棱锥，C说法正确.如图所示，四棱锥 被过顶点的平面截成的两部分都是棱锥，D说法 错误. 2.AD根据棱台的定义“用一个平行于棱锥底面的 平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫作 棱台”，可知，棱台的侧面有一个公共，点，且该公共 点为侧棱延长线的交点，故A,D正确；当棱锥不是 正棱锥时，所截得棱台的侧棱长不相等，侧面也不 是等腰梯形，故B,C错误. 3.ACD在长方体ABCD-A,B,C1D1中，EF∥ B,C1∥BC,EB,∥FC,故四边形EB,C,F为平行 四边形，所以EF=B,C1.因为几何体ABCD AEFD,有六个面，所以几何体ABCD一A,EFD 是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1,所以 侧棱的延长线不能交于一，点，故几何体ABCD A,EFD,不是四棱台，故B错误：因为几何体 AAEB一DD,FC的侧棱平行且相等，四边形 AA,EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边 形，所以几何体AA,EB一DD1FC为四棱柱，同理 几何体BB1E一CC,F是一个三棱柱，故C,D正确. 4.D以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋 转一周才可得到圆锥，故A错误；以直角梯形垂直 于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可得到圆 台，故B错误；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 才可得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；由球的 特征知D正确. 5.B对于A,球体的表面不能展开成平面图形，所以 A错误；对于B,圆台的上下底面是平行且不相等 的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，所以 B正确；对于C,过圆锥顶点的截面是等腰三角形 且腰长均相等，当圆锥的轴截面的顶角为钝角时， 过圆锥顶，点的截面中，轴截面面积不是最大的，顶 角为直角的截面的面积才是最大的，所以C错误； 对于D,平行于轴的线段才是圆柱的母线，所以D 错误.故选B. 6.AB如图，该组合体可由一个长方体割去一个四 棱柱构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合 而成，故选AB. 割去四棱柱 补上四棱柱 7.ACD由题图可知该几何体的面是由8个等边三 角形和6个正方形构成的，故该几何体有14个面， A正确，B不正确；该几何体的棱有8X36X4 2 24(条)，C正确；该几何体有12个顶，点，D正确， 8.解：当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周 所得的几何体是由圆柱和圆锥组成的组合体，底面 半径为CD,如图①；当AD=BC时，四边形ABCD 绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱，底面半径为 CD,如图②：当AD<BC时，四边形，ABCD绕EF 旋转一周所得的几何体是从圆柱中挖去一个同底 的圆锥后剩余的部分，如图③. E F F F 图① 图② 图③ B级综合练 1.D正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，正四棱 锥中8条棱长度可以完全相同，正四棱柱中12条 棱长度可以完全相同，故可拼成正三棱柱、正四棱 锥，正四棱柱.因为正六边形的中心到六个顶点的 距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱总比底边 长，故不可能拼成正六棱锥。 2.C根据题意，知无底圆锥的母线长为R,设其底面 半径为r,则有2πr= 40X2R,可得，=2S,故该 360 3 圆锥的高h√R一(T- 3 3.答案：(1)三棱锥A1-ABC、三棱锥A1一BB,C1、三 棱锥A,一BCC,(答案不唯一)；(2)两个三棱台（或 一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四 棱锥等，答案不唯一) 解析：(1)如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是 三棱锥A1一ABC、三棱锥A1-BB,C1、三棱 锥A1-BCC1. (2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到 两个三棱台；也可以截成一个三棱柱和一个五面 体，如图②所示；也可以截成一个三棱锥和一个四 棱锥，如图③所示. 图① 图② 图③ 4.解：(1)不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体 形容器倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体 时截面的形状，该截面的形状一定是矩形. (2)不对.水的形状就是用与棱（长方体形容器倾斜 时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分 后，剩余几何体的形状，剩余几何体一定是棱柱，不 可能是棱台或棱锥， (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以 是三角形、四边形、五边形或六边形，因而水面的形 状可以是三角形、四边形、五边形或六边形，水的形 状可能是棱锥，也可能是棱柱，还可能是棱台.故 (1)对，(2)也对. 第二节立体图形的直观图 A级基础练 1.C由斜二测画法知，原图形中的平行线在直观图 中依然平行，但是原图形中的直角在直观图中不再 是直角，所以①③④错误，②⑤正确 2.C根据斜二测画法可知△ABC中，BC=B'C'= 2,AO=2A'O'=√5，AO⊥BC,O是BC的中点，所 以AB=AC=√1+(W3)2=2,故△ABC是等边三 角形，所以∠ABC=60°. 3.D由题可知，OD'=A'D'=2, ∠A'OD'=45°，所以OA'=2√2 还原直观图可得原平面图形，如图 所示，则OD=2OD'=4,OA=O OA B A'=2√2，AB=A'B'=2,所以AD=√OA+OD =√/(2√2)2+42=2√6，所以原平面图形的周长为 2(AD+AB)=4√6+4. 4.A由直观图画法原则，知高平行于之轴，且长度 与原图一致，故选A. 5答案号 解析：矩形ABCO的直 观图如图所示.过B'作 BD'⊥x轴于D',则由 A B' 直观图的作法可知B'C' 0' C”D'x =名∠BCD=45,所以BD=BC· sin∠B'C'D'= 2sin45°=2 ,所以顶点B到轴 的距离为2，直观图的面积S=OC'·B'D'=2公 2_2 42 B级综合练 1.AD由题意得到原△ABC如图，其中，AD⊥BC, BD>DC,所以AB>AC>AD,故选AD. 2.C由直观图画出原图，如图所示，所以平面图形 OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的 几何体是一个圆锥和一个同底的圆柱（内部挖去一 个同底等高的圆锥)的组合体.故选C. OA 3.C设O'C'=m,OA'=n,在△OA'C'和△OC'B' 中分别应用余弦定理，得