精品解析：陕西咸阳市礼泉县第一中学2025-2026学年下学期高一年级月考(一)数学试题

礼泉一中2025-2026学年下学期高一年级月考（一）数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 2. （ ） A. B. 0 C. D. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 5. 已知正方形的边长为1，，，，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 6. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，和的夹角是60°，则______． 13. 记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，为虚数单位． （1）若复数的实部与虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； 16. （1）已知向量，，当为何值时，与垂直． （2）已知点，，若，求点的坐标． 17. （1）如图在平行四边形中，，，用向量，表示，；并证明：，，三点共线． （2）若是夹角为的两个单位向量，，求，，与的夹角． 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 19. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼泉一中2025-2026学年下学期高一年级月考（一）数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】由，所以的虚部为， 故选：B 2. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 5. 已知正方形的边长为1，，，，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量的加法计算再结合模长定义计算求解. 【详解】正方形的边长为1，，，， 则. 故选：D. 6. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使， 所以，无解，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为， 所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立，所以与不共线， 所以能作为基底，所以D错误. 7. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量， 同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 故C正确； 对于D，因， 则， 由与的夹角为锐角，可得：， 解得且，故D错误. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由正弦定理，得，。 由可得，故A正确； 对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即， 由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确； 对于C， 过作边射线的垂线，垂足为，如图， 若，且有两解，则，即，故C正确； 对于D，将不等式变形为，则 化简得，由正弦定理，可得， 再由余弦定理，，可知角为锐角， 但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，， 由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，和的夹角是60°，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求出答案. 【详解】. 故答案为：24 13. 记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边后，再利用正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】，. ，. 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，为虚数单位． （1）若复数的实部与虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的定义由实部与虚部相等，列方程可得结果； （2）利用第二象限点坐标的特征，解不等式即可. 【小问1详解】 易知复数的实部为，虚部为， 依题意可得， 解得； 【小问2详解】 易知复数在复平面内对应的点坐标为， 由第二象限特征可知，解得； 因此实数的取值范围为. 16. （1）已知向量，，当为何值时，与垂直． （2）已知点，，若，求点的坐标． 【答案】； 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算法则求出即可； （2）利用向量共线的知识结合方程组计算即可. 【详解】（1）又，解得. （2）设，则 17. （1）如图在平行四边形中，，，用向量，表示，；并证明：，，三点共线． （2）若是夹角为的两个单位向量，，求，，与的夹角． 【答案】（1），，证明见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）结合图形将，用向量，表示，再由向量共线定理即可得证； （2）根据平面向量数量积的运算律与向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）由题意，， 由可得， 所以， 又可得， 又共点，故，，三点共线． （2）由题意，，且，则， 由，可得， 由可得， 且， 所以，又， 因此. 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 19. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）（1+，3]． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求范围，，进而可求的值． （2）由正弦定理与三角恒等变换，将周长化为，根据角的取值范围即可求出周长的取值范围． 【详解】解：（1）因为， 所以，即， 所以，整理可得， 所以可得， 因为，可得，， 所以，可得． （2）由正弦定理，且，， 所以，； 所以． 因为为锐角三角形， 所以得， 解得． 所以，； 即周长的取值范围是，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $