浙江嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试数学试题

2026年高三教学测试 数学参考答案 (2026.4) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1-4 CADC 5-8 BDBD 8,【解1由，-+，r-:设切点化6+，则a,1 一十 因为0<a,所以0<，1≤ 。2无2解得。4 显然，b=nx+ -1在[4，+∞)单调递增，所以，x。=4时，bmm=2n2,选D 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BC 10.BCD 11.ACD 1l.【解析】画出函数f)=tam(仁x-)的图象如图所示 6 6 因为f(x)的周期T=6,所以区间(0,2026 包含区间(0,4)和337个完整的周期 对于A:求不等式1≤f(x)K2的整数解，只需 3 找直线x=1和x=2之间横坐标为整数的 8 1516 10 点，由图可知：3,9,15，均满足，共有 338个，正确： 对于B:a≤f(x)≤a+1的整数解个数，即直线 x=a和x=a+1之间横坐标为整数的点的个数.取a=-2,则n=0,故B错误； 高三教学测试数学参考答案第1页（共10页) 对于C:要使=676，则区间(0,4)和337个周期内各2个.要使t最小，只需(0,4)内包 含1和2，因此的最小值为 3，正确： 对于D:要使n=676,则区间(0,4)和337个周期内各2个.要使a最大，只需(0,4)内 包含2和3，因此a的最大值为 3，正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-3 13.-2+2W2 l4.② 3 14.【解析】球O与平面ABC1D,和平面A1BCD,均相切，故球心O D 在二面角A-BD-A的角平分面上. E,F,G,H,I,J为各自所在棱的中点，易知BD⊥平面EFGHIJ, E 所以∠MQN即二面角A-BD-A的平面角，且EQ平分∠MQN D 要使半径最小，球心O在Q上. 作OP⊥MQ,则OP⊥平面ABD,即球半径r=OP.又球O与AA1 相切，故r=OE.因此，OE=OP.在△OPQ中，OP=r, 00=5-r,∠00P=30,因此2-7=2，解得r= 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) J 已知数列a},a=2,2a,1=a,+1. (1)求证：数列{4。-1}为等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)求数列{}的前n项和Sn· 解： (1)2a1=a,+1,a1-1=a,-1),且4-1= 因此，a-》是以为首项，为公比的等比数列 a-1=(分”，a.=1+() 高三教学测试数学参考答案第2页（共10页) （2)由a:m=n+n分，因此8-0+2++m+分2x身++nx] 令x=1×3+2x92++mx孕 -1分+2x身++0m-0×+nx 两式相藏得：工名++分+…+9-m白 鸣哼 2 所以，S=m0+D+2-+2 2 2n 16.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的中点，F为 E 线段BC上的动点. (1)证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)若直线EC与平面AEF所成角的正弦值为上，求BF. 解法一：(1)：PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC 又BC⊥AB,AB∩PA=A,:BC⊥平面PAB,:AEC平面PAB,.AE⊥BC PA=AB,E为中点，.AE⊥PB,BC∩PB=B,AE⊥平面PBC :AEC平面AEF,∴.平面AEF⊥平面PBC (2)作CH⊥EF,垂足为H ,'平面AEF⊥平面PBC,平面AEF∩平面PBC=EF,CHC平面PBC,CH⊥EF ∴.CH⊥平面AEF,因此，∠CEH即直线EC与平面AEF所成角 由题意，sim<C8H-}C票，CB=V6:cH=6 3 CE E 设CF=x,则BF=2-x,EF=V2+(2-x=V2-4x+6 D 高三教学测试数学参考答案第3页（共10页） 6 :△CHF与△BBF相似，：C=EB 3 √5 CF EF Vx2-4x+6 整理得√3x=√x2-4x+6,即x2+2x-3=0 因此，x=1,即CF=1,因此，BF=1 解法二：(1)如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,,=轴，建立空间直角 坐标系，则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E1,0,1) 设F(2,b,0(0<b<2),则AE=1,0,1),AF=(2,b,0),BP=(-2,0,2),BC=(0,2,0) 设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则 m-BP=-2x+2z=0,取m=40,10 m.BC=2y=0 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则 D n.AF=x+Z=0 取n=(b,-2,-b) n.AF=2x+by=0 .n=b+0-b=0,.⊥n,即平面AEF⊥平面PBC (2)由（1)可知：EC=1,2,-1),平面AEF的法向量n=(b,-2,-b) 记直线EC与平面AEF所成角为O,则 sine-cos<BC.BC.ul=126-41=16-21=1 |ECn川√6.V2b2+4√5.Vb2+23 化简得：√5b-2=√b2+2,即：b2-6b+5=0,b=1,即BF=1 17.(本题满分15分) 同知椭圆c名+KQb>0的长轴的长为4，离心率为日 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1：y=+m(≠0)与椭圆C有唯一公共点M,过点M且与1垂直的直线分 高三教学测试数学参考答案第4页（共10页） 别交x,y轴于A(xo,0O)和B(0,y). (i)求△OAB面积的最大值： (i)当点M运动时，求点P(x,%)的轨迹方程. 解：(1)由题意，2a=49- 2,解得：a=2.c=2,b=√a2-c2=2 因此，椭圆C的标准方程为：+上-1 42 y=+ (2)联立 x2+2y2=4 得：(1+2k2)x2+4x+22-4=0 因为1与椭圆相切，故△=(4a)2-41+2k2)(2m2-4)=0,化简得：m2=2+4k2 2m=-2m=-4k,yM=w+m=- +m=-m2-2 4k2 因此，xM=-1+2k2 += m2 2 过点且与1垂直的直线程为：)是背(：0) ,4k 令y=0得A0),令x=0得B0,3 ,1s1=2 +2k2W24 当组仅当：-】→k=±5时取等号， 2 2 因此.（③agau-5 4 2k ,得 % L Ms、2 因为m=2+4桃，所以(3-2+4空y,化简得：6+今=1 2 因此，点P的轨迹方程为：2+父=1(x≠0，y≠0 2 解法二：(2)设切点M,),则切线1：+型=1，k=- 42 2v 高三教学测试数学参考答案第5页（共10页） :直线AB:y-片=2当(K-),即y=2头x- 令y=0得A之，0)，令x=0得B(0,-) 分e经- 1 42 8a-线号当且收当子合时等号改立因本。8号 4 (ii)由 吾=2，+号=1,2-1，即+今=1 0= =-y(4=-0’42 4 2 2 因此，点P的轨迹方程为：x+ =1(x≠0，y≠0) 18.(本题满分17分) 已知函数f)=+br+b 2e* (1)当a=1,b=2时，求f(x)在[0，+∞)上的最大值： (2)当a=0时，若对任意的实数m,直线y=x+m与曲线y=f(x)恰有一个公共点，求 实数b的取值范围： (3)若a=l,0<b<2,0<c<2.证明：当x∈[0，+m时，2f)+1<e(3-c$im). e 解：(1)a=1b=2时，f)=+2x+2,∫)=， ∴f(w)在[0，+o)单调递减，∴.f(x)mx=f(0)=1 (2)直线y=x+m与曲线y=)恰有一个公共点，即方程x+m-x+b仅有一个解 2e 即方程m-+b-x仅有一个解，令g的-c+b-,则gW=-x-】 2ex 2e* 2ex 因为对任意实数m,方程m=g(x)都仅有一个解 所以g(x)在R上为单调函数，且值域为R (i)当b=0时，g'(x)=-1<0,∴g(x)在R上单调递减，值域为R,满足题意； 高三教学测试数学参考答案第6页（共10页） (iD当b>0时，令g=b-D=0,得x=1 2ex x<1时，g"(x)<0;x>1时，g"(x)>0 因此，8（在(-n)单调递减，在L+o)单调递增，g)an=g0四=力-1<0 2e 当x→-0时，g()→+0；当x→+0时，g'(x)<0 因此，g'(y)=0存在唯一零点xo,gx)在(-0，xo)单调递增，在(x,+o)单调递减 与g(x)在R上为单调函数矛盾，不符合题意： (ii)当b<0时，由(i)知，g'(x)在(-，1)单调递增，在1，+w)单调递减 g国m=g0=名1，要使g6)在R上为单调函数，带8⑩=一 b-10 2e 解得：-2e≤b<0 且当x→-0时，g(x)→+0，当x→+0时，g(x)→-0，g(x)值域为R,满足 综上所述，实数b的取值范围为[-2,0]. (3)a=1时，f)=2+bx+b 2e* 要证2f)+1<e3-csin0,即证+r+b+ ≤e*(3-c sinx) ex 0<b2,0,+加+b+1s2+2x+3 ex ex 又由1)可知：+2x+2≤1，即2+2+22e,得x2+2x+32e+1 2ex x2+bx+b+1x2+2x+3,2e+1 ex 因此，只要证2e+1 ≤e'(3-c sinx),即证 2e+1 -<3-csinx (* ex e)2 0r时，ee>4,2+12t1<t+<1 e2er(e)2216 .0<c≤2，.csinx≤2，.3-csinx≥1，（*)式得证 ()0<x<元时，：3-cs3-2sinK,因此只需证2e+3-2sinx (e)2 高三教学测试数学参考答案第7页（共10页） 即证2e+l≤(e)2.(3-2sinx),即证e[e(3-2sinx)-2]1 h(x)=e*(3-2sinx)-2,h'(x)=e*(3-2sinx-2cosx) ~2simx+2cosx=2W2sm(x+孕≤2W5<3,he)>0 因此，h(x)在[0，π)上单调递增，x)≥h(O)=1, 又e≥e°=1，所以e[e(3-2sinx)-2]=e.h(x)≥1成立，得证 综上所述，Q国时，2)sa6-c血的 19.(本题满分17分) 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为 1,2,…,.游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：再从箱子中 随机取出一个小球，记录下编号后放回；重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于 或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时，取球的总次数记作T,(T=)表 示“共有个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率. (1)求Bo(T=2)和Bo(T=3)的值： (2)若小球的个数为n,求游戏停止时取球次数为奇数的概率P,(用n表示). 解：(1)法一：将n次摸到的小球的编号依次排列，记为(x1,x2,,xm) T=2,即x1x2: 1=10时x2=1,2,…,10;x1=9时x2=1,2,…,9;,x1=1时x2=1 共有10+9++1=5种，故，（亿=2）=55=11 10220 T=3,即x1<x2,且x2≥x3: 当x1=1时，x2=2,3,…,10,有2+3+…+10=54种 当x1=2时，x2=3,4,…,10,有3+4+…+10=52种，以此类推. (2+3+…+10)+(3+…+10)+…+(9+10)+10=330 高三教学测试数学参考答案第8页（共10页） 因此，B(T=3)=30-33 103100 法二：T=2的含义：摸球2次后停止，其反面为：T>3 T≥3的含义是前2次未能停止，即前两次小球编号依次增大，有C种可能 因此，R=2)=1-T≥3列=1-C=1-45-1 10210020 T=3的含义：摸球3次后停止，其反面包含两种可能：T=2,或者T>4 其中，T>≥4的含义是前3次未能停止，即前三次小球的编号依次增大，有C。种可能 因此，RT=3)=1-hT=2)-R口≥49=1-C=1-13-3 20103 2025100 (2)法一：记gk为“摸到k号球时，后续还需抽取奇数次，游戏才停止”的概率 则2=20-0+20-g9++-8)=12s 31 设摸到k号球的下一次摸到的是m号球.若≤k,游戏停止；若>飞，则游戏继续。 8=1xk+上0-g+-84)+…+0-g,)=1-12gn 记，=∑8，则g影-1-8又8=及-及1，故5=1+0-}S4s=8,=1 s1=1+0-分s-1+0-为，8.2-1+a-7s4-1+0-分+0-分，… s0-0*a之a-a 因k-12：=1s=1--a动1-0- 法二：共n个小球，则最多n+1次必停止，且Pn(T=2)+Pn(T=3)+.+Pn(T=n+1)=1 若T=n+1,则说明前n次小球的编号依次增加，第n+1次编号任意 因此P.T=n+1)=1 高三教学测试数学参考答案第9页（共10页） 若T=k(2≤k≤D,则类似（1)的讨论： P(T=)=1-P(T≤k-1)-P(T≥k+1)=P(T2)-P(T≥k+1) 其中，T≥k的含义是前k-1次未能停止，即前k-1次编号依次增加，共C种可能 因此PnT≥)= n1 B=利=2≥利-B2本+W--三2sk≤m nk-i nk ①若n为偶数，则侧 Pa=Pn(T=3)+Pn(T=5)+…+n(T=n-1)+Pn(T=n+1) 4 2 no n =c(+c(-为+c(32+c(-++c(31+c(=a- ②若n为奇数，则 P=P(T=3)+P(T=5)++P(T=n) 3 n4 n Cn-1 Cn n°tn2n3n =c(-+c(-动+C(-2+c(-》++c(1+c(}y=- 综上所述，卫=0动 备注：第5题改编自必修一P255第16题 第9题改编自选择性必修三P53第6题 第10题改编自必修二P81第9题 第16题改编自必修二P164第21题 第17题改编自选择性必修一P128第14题 高三教学测试数学参考答案第10页（共10页)2026年高三教学测试 、i 数学 试题卷 (2026.4) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟， 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸上规定的位置 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在 本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合4=H1,0.1,23,8=<0,则4ng= A.{-1} B.{0,1,2 C.{1,2 D.{1,2,3} 2.已知a,b为实数，则“a<b<0”是“ab<a2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2-c2=bc=1,则△ABC 的面积为 A月 B D.3 4 4.为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓度为3.6kgm3,每经过 一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过0.08 kgm?,若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为 A.4 B.5 C.6 D.7 高三教学测试数学试题卷第1页（共6页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 5.若数列{x}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列 是一个公差为k的等差数列，则称数列{x,}为“k-等差数列.己知{an}为“2-等差数列”， 且a1=1,a2=3,则a11= 8 A.91 B.111 C.121 D.133 6.已知am9则3=4cos20+cos40 的值为 3+4cos20+cos40 A3 B. 1 c 7.已知双曲线C苦芳=>0b>0的左、右焦点分别为5，，左、右顶点分别为 A,B,点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N,若△PFE的面积 S=√2a√ANBN,则双曲线的离心率为 4.5 B.√2 C.√5 D.2 8。已知直线y=x+b与函数y=血x+G的图象相切，若ae0孕， 则实数b的最小值为 A B.h2+5-1 C.ve D.2n2 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第60百分位数为14 B.对于随机事件A与B,若P(B)=0.3,P(B|)=07,则事件A与B相互独立 C.己知一组样本数据x,2,…，x.的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数 据2x-1,2x2-1,…，2xn-1的平均值为9，极差为14，中位数为11 D.若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 高三教学测试数学试题卷第2页（共6页） ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 2 10.已知{2，}是由复数组成的数列，21=(2，-3)2026(i为虚数单位)，且=1+i,则 A.三=1+3i 名2 B.22+3=3 C.l名-五+23-24+-226=10135 D.若引z-z202s卡1，则|z-z202s|的最小值为V5-1 1.已知函数f闭=tam(受x-,关于x的不等式f)---a-小k0(>0)在区间 66 (0,2026内的整数解的个数为n,下列说法正确的是 A.若a=t=1,则n=338 B.若t=1,则n的最小值为338 C若存在实数a,使m=676,则1的最小值为 D.若存在实数1，使a=676,则口的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a=(2,),b=(-1,2),若a∥b,则实数九=一 13.已知A(-2,0),B(1,0),若直线x-y+c=0上存在点P满足|PA=2|PB|,则实数c的 最大值是 14.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，若球0同时满足条件：①与平面ABCD, 平面4BCD,均相切，②与棱A4相切（即与棱A4仅有一个公共点），则球0的半径的最小 值为。； 高三教学测试数学试题卷第3页（共6页） CS扫描全能王 可：3亿人都在用的扫描ApP 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 3 已知数列{a,},4=220=a+1. (1)求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)求数列{nan}的前n项和Sn 16.(本题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2, E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点， (1)证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)若直线EC与平面ABF所成角的正弦值为，求BF, E (第16题) 高三教学测试数学试题卷第4页（共6页） CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描ApP 4 17.(本题满分15分) 已知椭圆C:+上 京+京=(a>b>0)的长轴的长为4，离心率为互 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1：y=c+m（k≠0)与椭圆C有唯一公共点M,过点M且与1垂直的直线 分别交x,y轴于A(,0)和B(0,%), (i)求△OAB面积的最大值： (i)当点M运动时，求点P(o,yo)的轨迹方程， 11.3 18.(本题满分17分) 已知函数f=心+x+b 2e* (1)当a=1,b=2时，求f(x)在[0，+0)上的最大值： (2)当a=0时，若对任意的实数m,直线y=x+m与曲线y=f(x)恰有一个公共点，求 实数b的取值范围： (3)若a=l,0<bc2,0<c<2.证明：当xe[0,+o)时，2f(+c6-csin. 高三教学测试数学试题卷第5页（共6页） CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描App -.5 19.（本题满分17分) 在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为 1,2,,”·游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中 随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于 或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时，取球的总次数记作T,(亿=)表 示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率. (1)求乃o(T=2)和Ro(T=3)的值： (2)若小球的个数为n,求游戏停止时取球次数为奇数的概率P(用n表示). 高三教学测试数学试题卷第6页（共6页） CS扫描全能王 可：3亿人都在用的扫描APP -6