专题03 平面直角坐标系（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 平面直角坐标系 题型1 平面直角坐标系（重点） 题型3 坐标系中的平移（难点） 题型2 两点间的距离公式（常考点） 题型4 坐标系中的轴对称 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面直角坐标系（共27小题） 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级·上海杨浦·月考）设点在第四象限，则点到轴的距离为（      ） A． B． C． D． 3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 7．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 8．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·上海·月考）经过点且平行于轴的直线可记为直线______． 10．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 11．点和点的中点坐标为________． 12．（25-26八年级·上海·月考）经过点，，则直线的可表示为________ 13．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 14．如果点恰好在轴上，那么点坐标为_______． 15．如果点在第一象限，那么点第______象限． 16．平面直角坐标系中，若点位于第一象限，到轴、轴的距离都是，则点的坐标是______． 17．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 18．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 19．（25-26八年级下·上海·月考）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 20．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 21．已知点P（a﹣1，3a+9），分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P到x轴、y轴的距离相等且在第二象限． 22．在平面直角坐标系中，任两点A（x1，y1），B（x2，y2）． 规定运算：①A⊙B＝（x1+x2，y1+y2）； ②当x1＝x2，y1＝y2时，有A＝B成立． 设点C（x3，y3），若A⊙B＝B⊙C，试说明A＝C． 23．（24-25八年级·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 24．在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 25．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 26．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 27．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 题型二 两点间的距离公式（共18小题） 28．（24-25八年级·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 29．平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 30．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 31．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 32．（25-26八年级·上海·月考）已知点，，则线段的长为________ 33．（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 34．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______． 35．（24-25八年级·上海·月考）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是_____________． 36．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____． 37．若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 38．在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ． 39．（25-26八年级·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为______． 40．（2023八年级下·上海·专题练习）已知，点P在坐标轴上，且，求点P的坐标． 41．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 42．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 43．（25-26八年级下·上海·月考）已知在平面直角坐标系中，点，． (1)在轴上找一点，使，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，在直角坐标平面内找一点，能满足的面积为的点有几个？这些点有什么特征？ 44．（25-26八年级下·上海·月考）按要求解答问题： (1)已知点，求两点间的距离； (2)已知点、、，判断的形状． 45．利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 题型三 坐标系中的平移（共11小题） 46．（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 47．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 48．在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，将线段平移，使得点到达点，点到达点，那么点的坐标是(　　) A． B． C． D． 49．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 50．在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 51．在直角坐标平面内，已知点，将线段平移得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），如果点坐标是，那么点的坐标是_________． 52．在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 53．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    54．（23-24八年级下·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是______________ ． 55．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 56．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 题型四 坐标系中的轴对称（共10小题） 57．（25-26八年级下·上海·月考）已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 58．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 59．已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 60．已知点，那么它关于原点的对称点坐标为____________． 61．（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 62．（25-26八年级·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 63．（25-26八年级·上海·月考）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________． 64．小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 65．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ $专题03 平面直角坐标系 题型1 平面直角坐标系（重点） 题型3 坐标系中的平移（难点） 题型2 两点间的距离公式（常考点） 题型4 坐标系中的轴对称 （重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面直角坐标系（共27小题） 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题先根据第二象限点的坐标特征得到m、n的取值范围. 再判断点B横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点B所在位置． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 2．（24-25八年级·上海杨浦·月考）设点在第四象限，则点到轴的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限，可得出a、b的符号，即可得出点到轴的距离． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴在第三象限， ∴点到轴的距离， 故选：B． 3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 4．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 6．已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，为不属于任何象限，不符合题意； B、的值不确定， 不一定位于第四象限，不符合题意； C、， ， 一定位于第四象限，符合题意； D、， 当时，不属于任何象限，不符合题意； 故选：C． 7．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是． 【详解】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有D符合题意， 故选：D． 8．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26八年级下·上海·月考）经过点且平行于轴的直线可记为直线______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】根据平行于轴的直线上所有点横坐标相等的性质，结合已知点的坐标即可得到结果． 【详解】解：根据平面直角坐标系中直线的性质，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等． 直线经过点，点的横坐标为， 该直线上所有点的横坐标均为， 该直线可记为． 10．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 11．点和点的中点坐标为________． 【答案】 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 12．（25-26八年级·上海·月考）经过点，，则直线的可表示为________ 【答案】/ 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查直线方程的表示方法，特别是当两点纵坐标相等时，直线为水平直线，方程形式为（常数）．解题的关键是掌握特殊位置直线的特征（如水平、垂直）有助于快速解题，避免使用两点式或点斜式等复杂计算．题目给出直线上的两个点和，要求写出直线的方程．观察两点的纵坐标相同，说明该直线是水平直线，即平行于轴，其方程形式为常数．因此只需根据点的坐标确定常数值即可． 【详解】点和 的纵坐标均为，因此直线 平行于轴，故直线可表示. 故答案为： 13．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限， ∴． ∴． 故答案为：． 14．如果点恰好在轴上，那么点坐标为_______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握：轴上点的横坐标为，据此列方程求出的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15．如果点在第一象限，那么点第______象限． 【答案】四 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据点在第一象限可知，，进而可知即可解答． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为四； 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键． 16．平面直角坐标系中，若点位于第一象限，到轴、轴的距离都是，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了确定点的坐标，理解并掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题关键．平面直角坐标系中，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值；第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零．据此即可得到答案． 【详解】解：设， ∵点到轴、轴的距离都是， ∴，， ∵点位于第一象限， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 18．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【知识点】坐标与图形综合、利用矩形的性质证明 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 19．（25-26八年级下·上海·月考）北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光．因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗．爱好天文的小海将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为______． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 20．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】（1）直接根据图象作答即可； （2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 21．已知点P（a﹣1，3a+9），分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点P到x轴、y轴的距离相等且在第二象限． 【答案】(1)P（﹣4，0） (2)P（﹣3，3） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案； （2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 【详解】（1）解：∵点P（a﹣1，3a+9）在x轴上， ∴3a+9＝0， 解得：a＝﹣3， 故a﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4， 则P（﹣4，0）； （2）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣1＝3a+9或a﹣1+3a+9＝0， 解得：a＝﹣5，或a＝﹣2， 故当a＝﹣5时，a﹣1＝﹣6，3a+9＝﹣6， 则P（﹣6，﹣6）在第三象限，不合题意，舍去； 故当a＝﹣2时，a﹣1＝﹣3，3a+9＝3， 则P（﹣3，3）在第二象限，符合题意． 综上所述：P（﹣3，3）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质． 22．在平面直角坐标系中，任两点A（x1，y1），B（x2，y2）． 规定运算：①A⊙B＝（x1+x2，y1+y2）； ②当x1＝x2，y1＝y2时，有A＝B成立． 设点C（x3，y3），若A⊙B＝B⊙C，试说明A＝C． 【答案】见解析 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据新的运算定义解答即可． 【详解】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， ∴A⊙B＝（x1+x2，y1+y2），B⊙C＝（x2+x3，y2+y3）， ∵A⊙B＝B⊙C， ∴x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3， ∴x1＝x3，y1＝y3， ∴A＝C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确理解新的运算定义． 23．（24-25八年级·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 24．在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2） 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据坐标系描点、连线，即可求解． （2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）． 25．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1)12 (2)不变，其值为24 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据点，，的坐标可得，，，，再利用等面积法即可求值； （2）先证出，得出，再利用等量代换和变形，得出，最后利用三角形的面积公式即可求值． 【详解】（1）解：，，， ，，，． ， ， ． （2）解：不变， ，，， ， ． 如图所示，连接， ，，， ． ，， ， ． 26．如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为． (1)求出点、的坐标； (2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积； 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)的面积为 【知识点】求点到坐标轴的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，勾股定理与折叠问题； （1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标； （2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，即可求解． 【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为， ， 点坐标为， 同理可得， ， ， ， 四边形为长方形， ， ， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）得，点坐标为，点坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 作轴交轴于点，轴交轴于点， 点坐标为，点坐标为，点的坐标为， 则， ， 的面积为． 27．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、中点坐标 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 题型二 两点间的距离公式（共18小题） 28．（24-25八年级·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可． 【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是． 故选：C． 29．平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选：A． 30．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；根据勾股定理可得，将代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由可得， ∵点到坐标原点的距离为5， ∴ ∴ 解得：或 当时， 当时， 即或 故选：B． 31．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 32．（25-26八年级·上海·月考）已知点，，则线段的长为________ 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 33．（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 34．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级·上海·月考）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是_____________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，同一坐标系下点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵在同一平面坐标系中，点，点， ∴， 故答案为：． 36．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 由题意可知，，再由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：设在平面直角坐标系中，坐标原点为， ∵点的坐标为，点坐标为， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 37．若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 【答案】或 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，设出点P的坐标，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 38．在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】结合两点间的距离公式根据的长列等式，计算可求解的值． 【详解】∵、， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 39．（25-26八年级·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为______． 【答案】/ 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，勾股定理等知识点，解题的关键是利用两点间距离公式求出的长度，再结合圆的半径相等确定点的坐标． 先通过两点间距离公式计算的长度，由得到的长度，再结合点的坐标求出点的横坐标． 【详解】解：由点、，根据两点间距离公式： 以为圆心,为半径画弧交轴负半轴于， ． 设点的坐标为，则， 在轴负半轴，， ，解得． 故答案为：． 40．（2023八年级下·上海·专题练习）已知，点P在坐标轴上，且，求点P的坐标． 【答案】，，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】先对P点的位置进行分类讨论，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：当P在轴上时， 设， 依题意可得， 解得：，，即得； 当P在轴上时，设，依题意可得， 解得：，，即得． 【点睛】此题考查坐标系中的距离公式，解题关键是坐标轴上的点要注意分类讨论． 41．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】利用勾股定理以及逆定理解答即可． 【详解】解：∵点、、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 42．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义． 设，根据两点之间距离公式得出，，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0， 设， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 43．（25-26八年级下·上海·月考）已知在平面直角坐标系中，点，． (1)在轴上找一点，使，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，在直角坐标平面内找一点，能满足的面积为的点有几个？这些点有什么特征？ 【答案】(1) (2)点有无数个，这些点到x轴的距离为 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）设点的坐标为，可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得，且线段在x轴上，设点D到x轴距离为h，由的面积为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得：点的坐标为， ∵点， ∴，且线段在x轴上， 设点D到x轴距离为h， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴能满足的面积为的点有无数个，这些点到x轴的距离为． 44．（25-26八年级下·上海·月考）按要求解答问题： (1)已知点，求两点间的距离； (2)已知点、、，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、利用二次根式的性质化简、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用两点间距离公式计算A、B两点的距离，化简后得到结果； （2）先计算出三边的长度，再根据边的长度关系结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵、、， ∴，，， ，， 是等腰直角三角形． 45．利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为： ； （2）是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是理解题意，熟练掌握两点间的距离公式． 题型三 坐标系中的平移（共11小题） 46．（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 47．在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可． 【详解】解：∵的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点， ∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位， ∴的内部任意一点，则其对应点坐标一定是． 故选：C． 【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 48．在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，将线段平移，使得点到达点，点到达点，那么点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据图形的平移，找到坐标变化的规律进行判断即可． 【详解】解：由点的坐标平移到达点，其横坐标增加，纵坐标减少， 所以点的坐标平移后，其横坐标也增加，纵坐标也减少，即， 故选：B． 【点睛】本题考查平移图形与坐标变化，掌握平移引起点坐标变化的规律是正确解答的关键． 49．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【知识点】坐标系中的平移 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 50．在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 【答案】9 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据题意，点和的纵坐标的差为18，结合平移方式，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴点经过9次这样的运动后到达点． 故答案为：9． 51．在直角坐标平面内，已知点，将线段平移得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），如果点坐标是，那么点的坐标是_________． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】各对应点之间的关系是横坐标减4，纵坐标加2，那么让点B的横坐标减4，纵坐标加2即为点的坐标 【详解】∵平移后对应点的坐标为， ∴A点的平移方法是：先向左平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的， ∴平移后的坐标是：即． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系中平移时点的坐标变化规律，掌握该规律是解题的关键． 52．在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点的平移和原点对称的性质，先按题目要求对、点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解． 【详解】设，向右平移个单位，再向上平移个单位得到 、关于原点对称， ，， 解得，， 则 故答案为： 53．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    【答案】或/和 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据沿轴平移到，点与点对应，点是直线上一点，可分类讨论，设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：点，沿轴平移到，点与点对应， ∴设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点， ∴，解得，， ∴沿轴向右平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点， ∴， 即， ∴沿轴向下平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，勾股定理的运用是解题的关键． 54．（23-24八年级下·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是______________ ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，先证明平行四边形OABC是菱形，得到OC=OA=BC=5，再根据勾股定理求出b=4，根据平行四边形性质即可求解． 【详解】解：如图，连接AC、BD，作CD⊥x轴于D， ∵OB⊥CA， ∴平行四边形OABC是菱形， ∴OC=OA=BC=5， ∵点C坐标为(3,b) ， ∴在Rt△OCD中，， ∴点C坐标为（3,4）， ∵四边形是平行四边形，且BC=5， ∴点B坐标为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，平面直角坐标系中点的平移等知识，根据题意得到平行四边形OABC是菱形，进而求出b=4是解题关键． 55．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 56．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称、利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的平移 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 题型四 坐标系中的轴对称（共10小题） 57．（25-26八年级下·上海·月考）已知点和点关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 58．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：C． 59．已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、二次根式的加减运算 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故选：C． 60．已知点，那么它关于原点的对称点坐标为____________． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标变为原坐标的横坐标和纵坐标的相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知该特征是解题的关键． 61．（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 62．（25-26八年级·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称变换，解题的关键是准确记忆并应用不同对称变换下点的坐标变化规律；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，根据已知点分别求解即可． 【详解】①点关于轴对称时，横坐标不变为，纵坐标取相反数； 故点关于轴对称点坐标为． ②关于原点对称时，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为； 故点关于原点对称点坐标为． 故答案为：，． 63．（25-26八年级·上海·月考）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________． 【答案】10 【知识点】两点之间线段最短、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得，，则，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得﹒ 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，    ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴折线的最小值为10﹒ 故答案为：10﹒ 64．小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了两点间距离公式、勾股定理、轴对称求最短路线等知识． （1）根据题意把代数式变形后写出答案即可； （2）代数式变形后所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，设点A关于x轴的对称点为，则,要求的最小值，只要求的最小值，当三点共线时，取最小值，即为线段的长，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：或 ∴代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为或， 故答案为：或 （2）∵ 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，如图所示： 设点A关于x轴的对称点为，则, ∴要求的最小值，只要求的最小值， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， 如图，过点B作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，相交于点C，则 ， ∴， 即代数式的最小值为． 65．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【知识点】网格中多边形面积比较、坐标系中的对称 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． $