2026届高考数学模拟卷（十四）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（十四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】用排除法求解． 【详解】含有2个元素的子集个数为，其中两个数相邻的有5个， 所以所求子集个数为． 故选：C． 2. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ） A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用基本不等式可得答案. 详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 3. 若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数  的图并利用特殊值即可求解. 【详解】对于B，由题可知函数  的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数  ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. 4. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 5. 我们初中所学的反比例函数图像其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数是等轴双曲线，结合实轴长，就可以求出焦距. 【详解】作出和的图象，它们的交点分别为， 由和联立方程组解得：或， 即交点，所以 根据双曲线的意义，可知实轴长，即， 又由双曲线的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所以这是等轴双曲线， 即，所以， 即双曲线的焦距为， 故选：C. 6. 若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的最小正周期为，可得，结合最小正周期可求得的最小值. 【详解】设的最小正周期为，则. 因为，所以，解得，所以的最小值为. 故选：B. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解关于的等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，故。 若，则，即，令函数，则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，令函数，则， 当时，，所以在上单调递增，， 即，因为，，， 所以由零点存在定理可得，在和上各有一个零点， 所以有2个解，即有2个解，显然其中1个解为， 若，则，即， 因为函数与函数的图象只有一个交点， 所以方程只有一个解，即只有一个解，易得， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得且，由离心率的概念可得，结合勾股定理计算可得，进而求解. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得；设圆柱底面半径为，则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得，则， 即，所以，得， 又由勾股定理得，解得， 故. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质可判断AB的正误，根据代入检验法可判断CD的正误. 【详解】因为为奇函数，故， 故图象的对称中心为. 因为为偶函数，故， 故图象的对称轴为. 对于A，的对称轴为，此时， 而，故不是对称中心，故A错误； 对于B，的对称中心的横坐标为，此时， 而，故不是对称轴，故B错误； 对于C，，，故函数图象有一个对称中心， 而，故为函数图象的对称轴，故C正确； 对于D，因为，故为函数图象的对称， 而，故函数图象有一个对称轴，故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为，则所有数据都相同 B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 D. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的定义判断A，计算新数据的卡方，即可判断B，根据残差的定义得到方程，即可判断C，根据百分位数的定义判断D. 【详解】对于A：若一组数据的方差为，所以所有数据都相同，故A正确； 对于B：若原数据的卡方记作，即， 则新数据的卡方记作，则 ， 所以结论可能会发生改变，故B错误； 对于C：依题意，所以，故C正确； 对于D：因为，所以第70百分位数为，故D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点分别为该双曲线左右顶点，点分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 的内切圆与轴切于点，则 C. 记，的斜率分别为，，若点位于第一象限，则有 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为，则两垂足距离最短为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据条件确定双曲线的方程，明确的坐标，结合双曲线的定义，余弦定理求焦点的面积，判断A的真假；利用双曲线的定义和三角形内切圆的性质，可判断B的真假；利用双曲线的标准方程，结合基本不等式，可判断C的真假；利用点到直线的距离公式，结合余弦定理可判断D的真假. 【详解】由，所以双曲线的方程为. 所以，所以顶点坐标为，，焦点，. 如图： 对A：当时， 由， 所以，故A错误； 对B：设的内切圆为圆，与，相切于，， 则，，. 又，故B正确； 对C：设，由题意，又因为为双曲线右支上的点，所以. 所以，，且， 所以.故C正确； 对D：因为，，且， 由余弦定理， . 因为，所以（当时取等号），即.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据递推关系式可确定数列为等差数列，设公差为，求得的值，从而得，于是可得前10项的和. 【详解】若，，则， 则数列为等差数列，设公差为， 由，可得，则， 所以， 则前10项的和为. 故答案为：. 13. 在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向时、线段在的内部时的面积，即可求解. 【详解】由题意知，， 中，由余弦定理可得： ，即， 在中，由余弦定理可得： ，即， 当与反向时，； 当线段在的内部时，即如图所示的位置时，， 所以的面积为或. 故答案为：或. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，得到 点坐标，然后求出点到平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式得到的体积，即可求解． 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则  ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为，  又因为 为  的中点，则， 所以多面体  的体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． （1）求的解析式和单调区间； （2）保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期性求出，再结合对称轴处的特殊值和的范围，可求出，从而求出解析式，利用整体代换来求单调区间即可； （2）利用三角函数的伸缩平移变换，可求出的解析式，再利用整体代换和数形结合的思想来求的范围. 【小问1详解】 由题设条件知的最小正周期，所以． 又因为，，所以，． 令，得的单调递增区间为， 令，得的单调递减区间为． 【小问2详解】 由题可知， 所以当时，． 若在区间恰有两个极值点， 则在区间恰有两个极值点， 因此，解得的取值范围是． 16. 已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. （1）取中点，证明：平面； （2）若为等腰直角三角形，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，利用向量的运算求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 取的中点，连接，则，而，故， 由（1）平面，即平面，平面， 则，即两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设， 则，则， 设平面ACD的法向量为，则， 即，不妨取，得． 因为，所以， 由（1）知，平面，则可取作为平面的一个法向量， 由， 故二面角的正弦值为． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：函数存在唯一极值点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合导数的意义根据切点和斜率求得切线方程. （2）求导构造函数，分析其单调性，结合区间端点的函数值符号，利用零点存在定理确定唯一零点，再通过导数符号变化确定极值点及所在区间. 【小问1详解】 当时，，则，故切点为， 又，则，故切线的斜率为，则 所以在处的切线方程为； 【小问2详解】 因为，所以函数的定义域为，则， 令，则， 因此，在上单调递增， 因为，而，故，所以， 又因为， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以，故， 所以，故，而在上单调递增， 所以存在唯一的，且，使得. 在区间上，，即，函数在上单调递减， 在区间上，，即，函数在上单调递增， 因此，是函数唯一的极小值点，且. 18. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60％，次品率为6％；第二批占40％，次品率为5％．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数的分布列和数学期望； （3）若该企业使用新技术前生产的芯片剩余片，经检查有200片为次品，从中任取500片，表示取出的500片中次品的数目．已知取出的500片中次品有15片，试求出的估计值．（以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】（1）0.944 （2）分布列见解析， （3）6666． 【解析】 【分析】（1）设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，根据全概率公式求解即可； （2）由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6；的取值范围为，结合超几何分布求解概率分布列及数学期望即可； （3）由题可得当时，，当时，，设，确定其单调性从而得最大的的值. 【小问1详解】 设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”， 事件“产品取自第二批”，则且、互斥； 由全概率公式可知：， 所以． 【小问2详解】 由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6； 的取值范围为， ；； ；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 当时，， 当时，， 记，则 ． 当时，， ， 即当时，，即； 同理可得当时，，即． 故时，最大，所以的估计值为6666． 19. 已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． （1）若数列：，求数列和； （2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； （3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案； （2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列； （3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证. 【小问1详解】 解：由题意得，数列，数列， 故数列． 【小问2详解】 证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列； 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，很，故仍为递增数列： 若对进行变换，即将替换为，其余项不变， 由，得，故仍为递增数列． 综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列． 以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列． 【小问3详解】 解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为． 设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对， 则． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即； 若与异号，则或； 若与中有0，则一定不与异号，故． 如果对进行变换，即将替换为， 此时若与同号，则； 若与异号，有以下三种情况： ①若与同号，显然也与异号，则； ②若与异号，则； ③若与中有0，只有一个0， 不妨设，则与异号，故，或，或． 若与同为0，则； 若，，不妨设，则与同号，故； 若，，不妨设，则与异号，故或； 对进行变换与进行变换类似． 综上，对进行一次变换后，． 以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且． 在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变， 则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号， 故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对． 所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（十四） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 10 D. 13 2. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ） A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米 3. 若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 我们初中所学的反比例函数图像其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为，则所有数据都相同 B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 D. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点分别为该双曲线左右顶点，点分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 的内切圆与轴切于点，则 C. 记，的斜率分别为，，若点位于第一象限，则有 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为，则两垂足距离最短为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 13. 在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积______. 14. 如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． （1）求的解析式和单调区间； （2）保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 16. 已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. （1）取中点，证明：平面； （2）若为等腰直角三角形，求二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）证明：函数存在唯一极值点，且. 18. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60％，次品率为6％；第二批占40％，次品率为5％．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； （2）若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数的分布列和数学期望； （3）若该企业使用新技术前生产的芯片剩余片，经检查有200片为次品，从中任取500片，表示取出的500片中次品的数目．已知取出的500片中次品有15片，试求出的估计值．（以使得最大的的值作为的估计值）． 19. 已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． （1）若数列：，求数列和； （2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； （3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $