专题08 锐角三角函数与解直角三角形（题型专练6大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 锐角三角函数与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：锐角三角函数定义与计算 题型02：解直角三角形 题型03：解直角三角形的实际应用 —— 测高问题 题型04：解直角三角形的实际应用 —— 方位角与坡度问题 题型05：构造直角三角形解非直角图形问题 题型06：锐角三角函数与圆、四边形等几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 锐角三角函数定义与计算 典例引领 【典例01】的值等于_____ 【典例02】（25-26九年级上·湖南常德·模拟预测）__________． 方法透视 考向解读 此为基础考点，考查对概念的理解和基本计算能力。常以选择、填空或计算题形式出现。考察：在直角三角形中，根据边长求三角函数值；已知一个三角函数值，求其他三角函数值或边长；特殊角（、、）的三角函数值记忆与应用；在网格或平面图形中构造直角三角形求三角函数值。 方法技能 定义记忆：，，。口诀：“正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻”。 同角关系：，。已知一个值，可求另外两个。 网格求值：在网格中，连接或构造直角三角形，利用勾股定理求三边，再代入定义计算。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【变式02】（2025·湖南常德·一模）要使二次根式有意义，则的取值范围为______ 【变式03】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型02 解直角三角形 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·湖南·模拟预测）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 方法透视 考向解读 这是本专题的核心技能。要求利用直角三角形中“两锐角互余、勾股定理、边角关系（三角函数）”这五个元素，已知其中两个（至少一个是边），求其他三个元素。常作为解答题的基础步骤。 方法技能 基本类型：已知“两边”或“一边一角”均可解。 解题步骤：画图，标注已知和未知；选择关系式：有斜边用/，无斜边用；求边用乘法（边=斜边×）；遵循“有弦（斜边）用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余”的口诀选择公式。 双直角三角形：对于非直角三角形，常通过作高将其分割为两个共边的直角三角形，在两个三角形中分别列式，联立求解。 变式演练 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是____________ ． 题型03 解直角三角形的实际应用——测高问题 典例引领 【典例01】（2023·湖南·中考真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【典例02】（2023·湖南张家界·中考真题）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）      方法透视 考向解读 这是中考最经典的应用题类型之一，背景常为测量楼高、塔高、旗杆高等。考察：将实际问题抽象为几何模型（直角三角形）；识别仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）；利用三角函数列方程求解。 方法技能 建模：仔细读题，画出示意图。将实物抽象为点、线，标注已知长度和角度（仰角、俯角）。 确定直角三角形：通常，视线、水平线和铅垂线构成直角三角形。仰角/俯角是视线与水平线的夹角。 列方程：设未知高度为，在涉及的直角三角形中，利用（因为常涉及水平距离和高度差）建立方程。若一个三角形关系不足，寻找两个有公共边的直角三角形联立方程。 变式演练 【变式01】（2023·湖南·中考真题）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）    【变式02】（2023·湖南·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．    (1)求教学楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 题型04 解直角三角形的实际应用——方位角与坡度问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米． (1)求的度数； (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 方法透视 考向解读 此题型考查数学在航海、工程等领域的应用。方位角问题涉及方向（如北偏东）；坡度问题涉及斜坡的倾斜程度（坡度） 方法技能 方位角：以正北或正南为基准，描述方向。画图时，先确定观测点，按“北偏东度”画出射线，再构造直角三角形。 坡度（坡比）：。知道坡度和一边，可求另一边或坡角。坡面的长度（斜坡长）用勾股定理求：。 解题关键：准确理解术语，将其转化为直角三角形中的边角关系。 变式演练 【变式01】（2023·湖南郴州·中考真题）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．    【变式02】（2025·湖南·模拟预测）如图是某水库大坝的横截面是梯形，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 题型05 构造直角三角形解非直角图形问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【典例02】（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 方法透视 考向解读 此题型考查转化与构造能力。当问题图形不是直角三角形时，需通过添加辅助线（通常是作高）构造出直角三角形，从而应用三角函数求解。常与菱形、梯形、一般三角形等结合。 方法技能 作高原则：向已知边或其延长线作垂线，构造包含已知角和未知量的直角三角形。 在网格或特定比例中，可用于快速判断角度；等腰三角形：作底边上的高，得两个全等的直角三角形；菱形：对角线互相垂直，连接即得四个直角三角形。 思路：将所求量（边、角）置于某个直角三角形中，用已知量表示该直角三角形的其他边，最后利用三角函数或勾股定理解方程。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【变式02】（2023·湖南常德·模拟预测）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）    题型06 锐角三角函数与圆、四边形等几何综合 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【典例02】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 方法透视 考向解读 此题型是知识融合的体现，难度较高。常将解直角三角形与圆的性质（直径所对圆周角是直角、切线垂直半径）、特殊四边形的性质结合，形成综合解答题。 方法技能 圆中直角：见直径，连圆周角，构造直角三角形；见切线，连切点与圆心，得直角。 四边形中直角：矩形、正方形内角为直角；菱形对角线垂直。 综合策略：先分析图形，找出或构造出所有的直角三角形。利用圆、四边形的性质提供等角、等边关系。在不同的直角三角形之间建立联系，通过设未知数、列方程（组）的方式求解。 变式演练 【变式01】（2024·湖南永州·三模）如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． (3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．    （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求的值． 题●型●训●练 1．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）． (1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____． (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：） 2．【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲．因湖水较深，不能直接测量沙洲的长． 【方案设计】某课外活动小组在湖岸选定测绘点，用某手机测量软件测得点都在的南偏西方向上．从测绘点沿正西方向行走180米到测绘点，测得点恰好在点的正南方，点在点的南偏东方向上． （，） 【解决问题】 (1)求的大小； (2)求沙洲的长． 3．飞机客梯车是供旅客上下飞机的机场专用设备，由汽车底盘，转动梯和升降梯构架等组成（如图1）．如图2是该客梯车的简化示意图，其中转动梯，升降梯，转动梯与汽车底盘的夹角，与升降梯的夹角，矩形为汽车底盘，且高度，，为水平面上两点，求机舱门下沿距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 4．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    5．综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 6．图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 7．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 8．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 9．项目学习：项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 10．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01：锐角三角函数定义与计算 题型02：解直角三角形 题型03：解直角三角形的实际应用 —— 测高问题 题型04：解直角三角形的实际应用 —— 方位角与坡度问题 题型05：构造直角三角形解非直角图形问题 题型06：锐角三角函数与圆、四边形等几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 锐角三角函数定义与计算 典例引领 【典例01】的值等于_____ 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，在等腰直角三角形中， 角的对边与邻边相等，直接得出 的值． 【详解】解：， 故答案为 ：1． 【典例02】（25-26九年级上·湖南常德·模拟预测）__________． 【答案】 【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 方法透视 考向解读 此为基础考点，考查对概念的理解和基本计算能力。常以选择、填空或计算题形式出现。考察：在直角三角形中，根据边长求三角函数值；已知一个三角函数值，求其他三角函数值或边长；特殊角（、、）的三角函数值记忆与应用；在网格或平面图形中构造直角三角形求三角函数值。 方法技能 定义记忆：，，。口诀：“正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻”。 同角关系：，。已知一个值，可求另外两个。 网格求值：在网格中，连接或构造直角三角形，利用勾股定理求三边，再代入定义计算。 变式演练 【变式01】（2025·湖南·模拟预测）在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】D 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 【变式02】（2025·湖南常德·一模）要使二次根式有意义，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的取值范围． 【详解】解：二次根式被开方数为 ∴ 又∵ ∴，解得 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的基础知识和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式03】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 题型02 解直角三角形 典例引领 【典例01】（25-26九年级上·湖南·模拟预测）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 方法透视 考向解读 这是本专题的核心技能。要求利用直角三角形中“两锐角互余、勾股定理、边角关系（三角函数）”这五个元素，已知其中两个（至少一个是边），求其他三个元素。常作为解答题的基础步骤。 方法技能 基本类型：已知“两边”或“一边一角”均可解。 解题步骤：画图，标注已知和未知；选择关系式：有斜边用/，无斜边用；求边用乘法（边=斜边×）；遵循“有弦（斜边）用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余”的口诀选择公式。 双直角三角形：对于非直角三角形，常通过作高将其分割为两个共边的直角三角形，在两个三角形中分别列式，联立求解。 变式演练 【变式01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是____________ ． 【答案】 【分析】本题通过古今送考情境来考查解直角三角形及正多边形的综合应用，作出辅助线发现每个正六边形的规律是解题关键． 作于点H，根据正六边形求出相关边长即可． 【详解】解：设每个正六边形的边长为， 根据题意得：为等边三角形，则正六边形的半径为，边心距为， 作于点H，则可观察求得，    ， 在中，． 故答案为：． 题型03 解直角三角形的实际应用——测高问题 典例引领 【典例01】（2023·湖南·中考真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】(1) (2)飞船从处到处的平均速度约为 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ， （2）在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 【典例02】（2023·湖南张家界·中考真题）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）      【答案】 【分析】延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点C， 则    由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴奇楼的高度约为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 方法透视 考向解读 这是中考最经典的应用题类型之一，背景常为测量楼高、塔高、旗杆高等。考察：将实际问题抽象为几何模型（直角三角形）；识别仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）；利用三角函数列方程求解。 方法技能 建模：仔细读题，画出示意图。将实物抽象为点、线，标注已知长度和角度（仰角、俯角）。 确定直角三角形：通常，视线、水平线和铅垂线构成直角三角形。仰角/俯角是视线与水平线的夹角。 列方程：设未知高度为，在涉及的直角三角形中，利用（因为常涉及水平距离和高度差）建立方程。若一个三角形关系不足，寻找两个有公共边的直角三角形联立方程。 变式演练 【变式01】（2023·湖南·中考真题）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）    【答案】火箭从到处的平均速度为 【分析】根据题意得出，，，，分别解，，求得，进而根据路程除以时间即可求解． 【详解】解：依题意，得，，，， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴火箭从到处的平均速度为， 答：火箭从到处的平均速度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式02】（2023·湖南·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．    (1)求教学楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】(1)教学楼的高度为米 (2)无人机刚好离开视线的时间为12秒 【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解． 【详解】（1）解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∵长为米， ∴（米）， 答：教学楼的高度为米． （2）解：连接并延长，交于点H， ∵米，米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴，米， ∴（米）， ∵无人机以米/秒的速度飞行， ∴离开视线的时间为：（秒）， 答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 题型04 解直角三角形的实际应用——方位角与坡度问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米． (1)求的度数； (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 【答案】(1)105° (2) 【分析】（1）根据山坡②的坡度，可求，即可求解； （2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解； 【详解】（1）解：∵山坡②的坡度， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，， ∴， ∴千米， ∵，， ∴， ∴， ∴该登山运动爱好者走过的路程．． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 【典例02】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法透视 考向解读 此题型考查数学在航海、工程等领域的应用。方位角问题涉及方向（如北偏东）；坡度问题涉及斜坡的倾斜程度（坡度） 方法技能 方位角：以正北或正南为基准，描述方向。画图时，先确定观测点，按“北偏东度”画出射线，再构造直角三角形。 坡度（坡比）：。知道坡度和一边，可求另一边或坡角。坡面的长度（斜坡长）用勾股定理求：。 解题关键：准确理解术语，将其转化为直角三角形中的边角关系。 变式演练 【变式01】（2023·湖南郴州·中考真题）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．    【答案】该船在航行过程中与小岛的最近距离． 【分析】过点作，垂足为，先在中，利用三角函数求出与的关系，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出与的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； 【详解】解：过点作，垂足为，    解∶∵，，，，， ∴，，， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴（）， ∴该船在航行过程中与小岛的最近距离． 【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式02】（2025·湖南·模拟预测）如图是某水库大坝的横截面是梯形，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m） 【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m 【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长． 【详解】解：在中，∵背水坡BC的坡度， ∴， ∴． 在中，∵背水坡AC的坡度， ∴， ∴， ∴． 答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度． 题型05 构造直角三角形解非直角图形问题 典例引领 【典例01】（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 【典例02】（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 【答案】(1)7米；3米 (2)18平方米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； （2）过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 方法透视 考向解读 此题型考查转化与构造能力。当问题图形不是直角三角形时，需通过添加辅助线（通常是作高）构造出直角三角形，从而应用三角函数求解。常与菱形、梯形、一般三角形等结合。 方法技能 作高原则：向已知边或其延长线作垂线，构造包含已知角和未知量的直角三角形。 在网格或特定比例中，可用于快速判断角度；等腰三角形：作底边上的高，得两个全等的直角三角形；菱形：对角线互相垂直，连接即得四个直角三角形。 思路：将所求量（边、角）置于某个直角三角形中，用已知量表示该直角三角形的其他边，最后利用三角函数或勾股定理解方程。 变式演练 【变式01】（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】/ 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式02】（2023·湖南常德·模拟预测）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）    【答案】 【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可； 方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可． 【详解】解：方法一： 过点作交的延长线于点，   四边形是平行四边形，， ， ， 过点作于点， 由题意知，， ， 又， ， 过作于点， ，， , ， 靠背顶端点距地面高度为 ； 方法二： 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，   ，， ， 又， ， ， ， 过作于， 由题意知，， ， 又， ， 靠背顶端点距地面高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 题型06 锐角三角函数与圆、四边形等几何综合 典例引领 【典例01】（2025·湖南·模拟预测）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【典例02】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余，以及等量代换，即可解决问题； （2）①结合等腰三角形性质，证明，即可解决问题； ②过点C作于点H，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：，D为中点 ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图，过点C作于点H， 根据题意设， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的值为 【点睛】本题考查同圆中同弧圆周角相等，直角三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 方法透视 考向解读 此题型是知识融合的体现，难度较高。常将解直角三角形与圆的性质（直径所对圆周角是直角、切线垂直半径）、特殊四边形的性质结合，形成综合解答题。 方法技能 圆中直角：见直径，连圆周角，构造直角三角形；见切线，连切点与圆心，得直角。 四边形中直角：矩形、正方形内角为直角；菱形对角线垂直。 综合策略：先分析图形，找出或构造出所有的直角三角形。利用圆、四边形的性质提供等角、等边关系。在不同的直角三角形之间建立联系，通过设未知数、列方程（组）的方式求解。 变式演练 【变式01】（2024·湖南永州·三模）如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． (3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)周长最大为，此时点坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为， 联立，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； （3）存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 【变式02】已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．    （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长； （2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ， 是等边三角形， ， 所以． 故答案为：4． （2）在矩形中，． 由（1）得，． 又 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键． 题●型●训●练 1．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）． (1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____． (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：） 【答案】(1)这个坡道的垂直高度为米 (2)坡道的坡度为 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，再根据坡度的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为， ∴， 解得：米； 答：这个坡道的垂直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，，米， ∴米， 依题意，，则是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴坡道的坡度为， 答：坡道的坡度为． 2．【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲．因湖水较深，不能直接测量沙洲的长． 【方案设计】某课外活动小组在湖岸选定测绘点，用某手机测量软件测得点都在的南偏西方向上．从测绘点沿正西方向行走180米到测绘点，测得点恰好在点的正南方，点在点的南偏东方向上． （，） 【解决问题】 (1)求的大小； (2)求沙洲的长． 【答案】(1) (2)沙洲的长约为192米． 【分析】（1）由题意得，由平行线的性质得出，由三角形外角的定义即可求出． （2）解Rt求出，解Rt即可求出． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ， （2）解：在Rt中，， （米） 在Rt中，， （米） 答：沙洲的长约为192米． 3．飞机客梯车是供旅客上下飞机的机场专用设备，由汽车底盘，转动梯和升降梯构架等组成（如图1）．如图2是该客梯车的简化示意图，其中转动梯，升降梯，转动梯与汽车底盘的夹角，与升降梯的夹角，矩形为汽车底盘，且高度，，为水平面上两点，求机舱门下沿距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】机舱门下沿距离地面的高度约为 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，延长交于点， 依题意，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∴． 答：机舱门下沿距离地面的高度约为． 4．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 5．综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 6．图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 7．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 8．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 9．项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ，  列出方程，  解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 10．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $