导数解答题专题训练-2026届高三数学二轮复习

素养提升.导数解答题专题 1． 函数单调性、切线 例1． 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）若在定义域上单调递减，求的取值范围. 【解析】（1）当时可得，则， 此时， 因此切线方程为，即； （2）由可得其定义域为； 且，即， 显然， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令可得， 若，，此时在上单调递增； 若，，此时在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，上单调递增，在上单调递减. （3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立； 由（2）可得当时，即在上单调递增， 当，可得，显然不合题意； 当时，可得在上单调递增，在上单调递减； 即在处取得极大值，也是最大值； 即恒成立； 令，； 则， 显然当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此，即， 又恒成立，可得，即. 所以的取值范围为. 【举一反三1】已知函数． (1)若曲线在点处的切线与的图象有且仅有一个交点，求的值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题知，则，（2分） 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即，（3分） 因为该切线与的图象有且只有一个交点， 所以方程仅有一个解，即仅有一个解，（5分） 当时，方程可化为，仅有一个解，满足题意； 当时，由，得，解得或．（7分） 综上，的值为0或或4．（8分） （2）因为在上单调递增，所以恒成立， 由（1）知，故恒成立，所以，（11分） 令，，则，（12分） 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，（14分） 则，解得， 所以实数的取值范围为．（15分） 二.极值、最值 例2．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【举一反三2】设函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 【解析】（1）， 依题意知：， . （2） . 当，即时，取得最小值， 最小值为. 三.函数的零点和隐零点 例3．设函数，． （1）求的单调区间和极值； （2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 【详解】（1）， 令得：(舍负)， 列表如下： 0 ↘ 极小值 ↗ 综上：的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值； （2）由（1）知，在区间上的最小值为． 因为存在零点，所以，从而． 当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点． 当时，在区间上单调递减，且，， 所以在区间上仅有一个零点． 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【举一反三3】已知函数，的图像在点处的切线为．（）． （1）求函数的解析式； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值． 【详解】（1），. 由题意知.     所以 （2）由（1）知：， ∴对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立. 令，则. 由于，所以在上单调递增. 又，，，， 所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增. 所以. 又，即，∴. ∴ . ∵ ，∴ . 又因为对任意恒成立， 又，∴ . 四.三次函数 例4.已知函数，若是的极值点. （1）求在上的最小值和最大值. （2）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由. 【详解】（1），因为是的极值点， 所以， ∴，； 当，；当时，， 即在单调减，在单调增,且，， 所以，. （2）设，由题意可得：有三个零点， 又由于0是的一个零点，所以，只要再有两个零点且都不相同即可； 因此，方程有两个不等实根且无零根，所以， 所以，存在实数使得函数的图像与函数的图象恰有3个交点， 此时且. 【举一反三4】设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到，这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与一元二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. （2）（i）证明：有两个零点， 有一个二重根，一个一重根，且 由（1）可得，由可得. 由可得，. 联立上两式可得，解得， 又，综上. （ii）解：由（i）可得， . 令，则， ，当时，， 在上单调递增，， . 五.函数恒成立问题 例5．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)若对所有的，都有成立，求实数的取值范围． 【详解】（1），由，得， 则在点处的切线方程为， 即切线方程为. （2）令，； 不等式在时恒成立等价于在时恒成立． 令，得； 当时，，为减函数， 当时，，为增函数． 在时恒成立等价于，即，解得． 故a的取值范围是． 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 【举一反三5】已知函数. （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意得对任意恒成立，进而令，求导研究函数最值即可. 【详解】（1）因为，所以， 函数的图像在点处的切线方程； （2）由（1）知，，所以对任意恒成立， 即对任意恒成立. 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增. 因为， 所以方程在上存在唯一实根，且满足. 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 故整数的最大值是3. 【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 六.函数与数列不等式 例6．已知函数，其中． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明：； （Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数） 【详解】（1）函数的定义域为， ①当时，，所以在上单调递增, ②当时，令，解得： 当时，， 所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增, 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增; （2）当时， 要证明，即证，即, 设则，令得，, 当时，，当时， 所以为极大值点，也为最大值点 所以，即 故当时，; （3）由（2）（当且仅当时等号成立）, 令， 则 , 所以, 即 所以. 【举一反三6】已知函数f(x)＝ln（x＋1）＋. （1）若x＞0时，f(x)＞1恒成立，求a的取值范围； （2）求证：ln（n＋1）＞＋＋＋…＋（n∈N*）. 【详解】【解】（1）由ln（x＋1）＋＞1，得 a＞（x＋2）－（x＋2）ln（x＋1）. 令g(x)＝（x＋2）［1－ln（x＋1）］， 则g′(x)＝1－ln（x＋1）－＝－ln（x＋1）－. 当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在（0，＋∞）上单调递减. 所以g(x)＜g（0）＝2，故a的取值范围为［2，＋∞）. （2）证明：由（1）知ln（x＋1）＋＞1（x＞0）， 所以ln（x＋1）＞. 令x＝（k＞0），得ln＞， 即ln＞. 所以ln＋ln＋ln＋…＋ln＞＋＋＋…＋， 即ln（n＋1）＞＋＋＋…＋（n∈N*）. 七.双变量的处理问题 例7．已知函数， (1)时，求的单调区间和极值； (2)当时，设，，是的两个零点，证明：； 【详解】（1）解：当时，， ， 令，解得或，，解得， 函数的单调递增区间是，，单调递减区间是， 时，函数取得极大值，即，时，函数取得极小值，即； （2）解：因为，所以， 时，令，解得，令，解得， 函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为、为的两个零点，则、必定一个大于，一个小于， 不妨设、， 要证， 只需证明， 因为，所以， 则， 因为在上单调递减， 所以只需证明， 又，即证， 令，， 则 因为，所以， 即在上单调递增， 所以，即对，得证； 【举一反三7】设函数．若，求证：． 【详解】由题意，令，则； 令得，令得， ∴在单调递减，在单调递增， ∵， ∴函数在单调递增，且， 又∵，不妨假设， 要证明，只需证， ∵函数在单调递增， 只需证，∵， 只需证， 令， 令， 则， ∴在单调递增， ∵， ∴，故成立，证毕． 学科网（北京）股份有限公司 $素养提升.导数解答题专题 一，函数单调性、切线 例1.已知函数f(x=xnx-0x2+(a-1)x. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)设gx=f'(x),讨论函数gx)的单调性； (3)若f(x)在定义域上单调递减，求a的取值范围， 【举一反三1】己知函数f(x=ax2-xlnx+2. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与y=ax2+(2a+3)x的图象有且仅有一个交点，求 a的值； (2)若f(x在(0，+0）上单调递增，求实数a的取值范围. 二极值、最值 例2.已知函数fx=a(x+I)2+x+nx,（a∈R), (1)讨论f(x)的单调性： a当-a<0时，证：九s2aal 【举一反三2】设函数f(x)=e2x-2ar+bcosx+1(a,b∈R)的图象在点(0，f(0)处的 切线方程为y=-2x+2. (1)求4，b的值； (2)求函数gx)=f'(x)-e的最小值. 三.函数的零点和隐零点 例3.设压数)=号-，>0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间L,]上仅有一个零点. 【举一反三3】已知函数f(x)=e-x2+a,x∈R的图像在点x=0处的切线为y=bx. (e≈2.71828). (1)求函数f(x)的解析式： (2)若k∈Z,且f(x)+二(3x2-5x-2k)≥0对任意xeR恒成立，求k的最大值 四.三次函数 例4.已知函数f(x)=x3-ax2-3x,若x=3是f(x)的极值点. (1)求f(x)在x∈[L,a上的最小值和最大值 (2)是否存在实数b,使得函数gx=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在， 试求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由， 【举一反三4】设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)①，有两根x,x2, 则方程可变形为a(x-x)(x-x2)=0,展开得ax2-ax+x2)x+axx2=0②， b x1+x2=- 比较①②可以得到 “,这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理 x= a 事实上，与一元二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. x+为+=-b a 设方程ar+br2+cx+d=0(a≠0)有三个根x,x,x,则有{：+5+x=C③ d Xx2x3=-- (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)己知函数f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有两个零点. (1)求证：fx)的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0； (i)求a+b的取值范围. 五.函数恒成立问题 例5.设函数f(x)=x+lnx+1. (I)求曲线y=f(x)在点(e-1,f(e-l)处的切线方程； (2)若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围. 【举一反三5】已知函数f(x)=x(1+lnx) (1)求函数f(x)的图像在点(L,)处的切线方程； (2)若keZ,且k(x-I)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值 六函数与数列不等式 例6.已知函数f（x)=alnx+x2,其中aeR. (I)讨论∫(x)的单调性； （Ⅱ)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x-1; ()求还：对任意正整数m,都有1++分宁-（+)ke(其中21s3为自然对 数的底数) 【举一反三6】已知函数fx=1n(x+1)+a +2 (1)若x>0时，fx)>1恒成立，求a的取值范围； 2)求还ha+10>计+++2 (n∈N*), 2n+1 七.双变量的处理问题 例7.已知函数f(x)=xe-k(x+1),(k∈R) 但k=时，求y的单调区间和极值： (2)当k<0时，设x,x,是f(x)的两个零点，证明：x+x2<-2; 【举一反三7刀设函数到=。--x-1.若+f()=0,求证：+6≤0.