专题03 一次函数（期中复习专项训练16大题型）八年级数学下学期新教材冀教版

专题03 一次函数 题型1 一次函数与正比例函数定义 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 题型2 求一次函数自变量和函数值 题型10 分配方案问题 题型3 列一次函数解析式并求值（常考点） 题型11 最大利润问题 题型4 判断一次函数图像（常考点） 题型12 行程问题 题型5 利用一次函数图像性质求参数（重点） 题型13 梯度计价问题 题型6 一次函数图像的平移（难点） 题型14 双一次函数应用（重点） 题型7 待定系数法求一次函数解析式（常考点） 题型15 一次函数几何综合应用（难点） 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系（常考点） 题型16 一次函数规律探索（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数与正比例函数定义（共3小题） 1．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ， ∴， ∴y与x满足的函数关系是一次函数； 故选：B． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（    ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 8.9 8 8 8 10 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 7 9 9 10 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1 5 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 2 4 6 8 10 … 【答案】D 【详解】解：∵一次函数要求当自变量增大（或减小）相同数值时，函数值的变化量也相同， ∴符合的选项为D， 故选D． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 题型二 求一次函数自变量和函数值（共4小题） 4．点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．13 B．1 C．5 D． 【答案】D 【详解】∵点在一次函数的图象上， 即当时，， ∴， 故选：D． 5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 6．若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 7．若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 【答案】 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 题型三 列一次函数解析式并求值（共3小题） 8．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 9．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 10．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 题型四 判断一次函数图像（共5小题） 11.正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限， 所以， 所以一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 12.（22-23八年级下·河北石家庄·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式所对应的图象是（  ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：根据程序框图可得， 的图象与轴的交点为，与轴的交点为． 故选：B． 13．（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 14．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）为丰富校园文化，某校开展形式多样的课后活动．一天，初中三个年级共40人，参加室内篮球活动，其中七年级的人数比八年级人数的3倍多2．设八年级参加活动的有人，九年级参加活动的有人，选取7组数对在坐标系中描点，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，选A． 15．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图，该直线是某个一次函数的图像，这个一次函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图像可得：该函数图像经过第一、二、四象限，故，， A、若，则，不符合题意； B、若，则，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、若，则，符合题意； 故选：D． 题型五 利用一次函数图像性质求参数（共3小题） 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）关于一次函数，下列表述不正确的是（   ） A．把一次函数图象向下平移3个单位长度，可得到函数； B．函数图象经过一、二、四象限； C．图象与两坐标轴围成的三角形面积为9； D．函数随增大而减小． 【答案】C 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，所得函数为，故A选项不符合题意． 因为一次函数与y轴的交点坐标为，且y随x的增大而减小， 所以此函数的图象经过第一、二、四象限，故B选项不符合题意． 因为一次函数与坐标轴的交点坐标为和， 则图象与两坐标轴围成的三角形面积为：，故C选项符合题意． 因为一次函数中y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：C． 17．（24-25八年级下·河北唐山·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A．当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；故该选项不符合题意； B．∵，∴一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；故该选项不符合题意； C． ∵，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故该选项不符合题意； D．令，解得，则当时，，说法正确；故该选项符合题意； 故选：D． 18．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 题型六 一次函数图像的平移（共6小题） 19．（22-23八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，对于直线l，下列判断正确的是（    ） A．点在直线l上 B．直线l不经过第四象限 C．直线l与轴交于点 D．当时，的最大值为 【答案】D 【详解】解：直线向上平移3个单位长度后得到直线l：， 直线l的解析式为， 当时，，因此点不在直线l上，故A选项错误； ，， 直线l经过第一、二、四象限，故B选项错误； 当时，，因此直线l与轴交于点，故C选项错误； ， y随x的增大而减小， 当时，的最大值为，故D选项正确； 故选D． 20．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数的图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象经过第三象限 D．函数的图象与x轴的交点坐标是 【答案】B 【详解】解：∵该一次函数解析式为， ∴， ∴函数值y随自变量x的增大而减小，故A错误，不符合题意； 令，则， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是，故B正确，符合题意； ∵， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故C错误，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴函数的图象与x轴的交点坐标是，故D错误，不符合题意； 故选B． 21.（24-25八年级下·河北唐山·月考）直线向下平移4个单位长度后与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线向下平移4个单位长度后得到直线的表达式是：，即． 当时，，即该直线与轴的交点坐标为． 故选：C． 22.将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 【答案】D 【详解】解：将一次函数的图象向下平移 4 个单位得到图象的函数关系式为． 故选：D 23．（24-25八年级上·河北保定·期末）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】解：直线向下平移4个单位长度后解析式为， 将代入可得， 故选：C． 24．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 题型七 待定系数法求一次函数解析式（共3小题） 25.（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【答案】(1) (2)储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度 【详解】（1）每分钟加水量为（升），则， ∴y与x的函数关系式为． （2）当时，解得， 当时，， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 26．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）为备战马拉松的健康跑，亮亮每天进行跑步训练，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 2 4 6 10 (1)在这个变化过程中，___________（填“是”或“不是”）的函数； (2)上表中的___________；___________； (3)根据表中的数据，求与的关系式． 【答案】(1)是 (2)， (3) 【详解】（1）解：由表格可得，在这个变化过程中，是的函数； （2）解：由表格可得，每跑步，跑步的路程增加， 故，， （3）解：设与的关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为． 27．（24-25八年级下·河北沧州·月考）将正比例函数经过平移得到一次函数的图象，且一次函数经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在函数的图象上，求值． 【答案】(1)一次函数的解析式为； (2)的值为． 【详解】（1）解：∵正比例函数经过平移得到一次函数的图象， ∴， ∵一次函数经过点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴的值为． 题型八 一次函数与二元一次方程组的关系（共5小题） 28．如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 29．已知直线与的交点坐标为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：将，代入直线得，， ∴交点坐标为， 将代入得，， 解得． 故答案为：． 30．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 31．如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点，直线与交于点P，且、与y轴分别交于点A，B． (1)求直线的函数表达式； (2)求点P的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴将点代入， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线与直线交于点P， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：对于直线，当， ∴； 对于直线，当， ∴， ∴， ∴的面积． 32．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点，其中点C为直线与y轴的交点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)11 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设直线的解析式为， 点，在图象上， ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：把代入得：， ∴， ∴． 题型九 一次函数与一元一次不等式的关系（共5小题） 33．如图，已知直线与的交点的横坐标为，若，则x的取值可能是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为， ∴当时，， ∴观察各选项，x可以取． 故选：D． 34．如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 35．如图，直线与直线交于点，下列结论错误的是（    ） A．， B．关于的方程的解为 C．关于的不等式的解集为 D．直线上有两点，，若时，则 【答案】C 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故A正确； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故B正确； C、根据函数图象得到：关于x的不等式的解集为，故C错误； D、根据函数图象得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故D正确； 故选：C． 36．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得的解集是________． 【答案】 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 所以根据图象可得不等式的解集是， 故答案为：． 37．如图，已知直线经过点，，交y轴于点D． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）得直线的解析式为， 依题意，解方程组， 解得， 则点C的坐标为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 则由图象可知，关于x的不等式的解集为． 题型十 分配方案问题（共3小题） 38．（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【答案】(1)见解析 (2)1914万元 (3)当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 【详解】（1）解：填表如下： 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 由题意，列函数关系式得， ∴． （2）解：由（1）可知，总费用， ∵， ∴当时，y的最大值为万元． （3）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 39.某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 (1)求与的函数关系式 (2)某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ (3)若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)不存在，见解析； (3)购进商品甲件、商品乙33件能获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：， 整理得： 与的函数关系式为； （2）解：这种方案不存在， 理由如下： 当时， 可得：， 解得：， ， 这种方案不存在； （3）解：根据题意，得， 解得：， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，值最大， ，（件）， 答：购进商品甲件、商品乙件能获得最大利润，最大利润是元． 40．（2025·河北·模拟预测）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离（米）与（米）之间满足的关系式为． (1)求a的值； (2)当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 【答案】(1)的值为； (2)当饮水机安装在2号楼时，每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小． 【详解】（1）解：根据题意，得2号楼距离饮水机米，3号楼距离饮水机米， 则， 解得， 的值为； （2）解：当饮水机在1号楼和2号楼之间时，， ， 随x的增大而减小， ， 当时，y值最小，； 当饮水机在2号楼和3号楼之间时，， ， 随x的减小而减小， ， 当时，y值最小，， 综上，当饮水机安装在2号楼时，每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小． 题型十一 最大利润问题（共3小题） 41．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 42．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 43．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 【答案】（1）；（2），画出函数所对应的图象见解析；（3） 【详解】解：（1）设， 将，代入函数可得， 解得：， ∴； （2）由题意可得，， ∴，即， 当时，，当时，，解得， 画出函数图象如图所示： ； （3）∵与相差不超过100， ∴， ∴， 解得：， ∴此时销售量的取值范围为． 题型十二 行程问题（共4小题） 44．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 【答案】D 【详解】解：由图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度为，乙车的速度为，故A、B项说法正确，不符合题意； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入， 得，解得， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，， ，解得， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 当时，，解得，即，故C项说法正确，不符合题意； 当时，，故D项说法错误，符合题意， 故选：D． 45．（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：由图可知，、两城相距千米，甲行驶的时间为小时，乙比甲晚小时出发，用时小时到达，比甲提前小时， 故①②正确； 设甲车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将代入可得， 则， 设乙车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将，代入 可得， 解得， 则， 令，即， 解得，即当乙车出发小时后乙车追上甲车，③错误； 令，可得，则， 当，解得，此时乙车还没有追上甲车，舍去， 当，解得， 令，可得，解得，此时乙车已到达城， 故当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或，④错误． 综上，正确的选项为①②． 故选：． 46．（24-25八年级下·河北衡水·月考）甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（      ） A． B． C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，故A错误； 乙车的速度为：， ，故B错误； 设甲在返程时的函数解析式为， 把和代入解析式得：， 解得， ，故C错误； 甲车的速度为， 甲车前往B地时，， 两车第一次相遇：， 解得； 两车第二次相遇：， 解得：， 两车两次相遇的时间间隔为：，故D正确． 故选：D 47．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，已知汽车每千米的耗油量为升． (1)写出行驶路程千米与剩余油量升的关系式； (2)当千米时，求剩余油量Q的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)剩余油量Q的值为25升 (3)他们能在汽车报警前回到家，见解析 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：当时，（升）， 答：剩余油量Q的值为25升； （3）解：他们能在汽车报警前回到家， 理由：（千米）， 因为， 所以他们能在汽车报警前回到家． 题型十三 梯度计价问题（共3小题） 48．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 49．（24-25八年级下·河北唐山·月考）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 【答案】 【详解】解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·河北保定·期中）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 【答案】(1)①；② (2)这个家庭本月的实际用电量200度 (3)实付金额分别为60元、232元 【详解】（1）解：①当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）解：因为第一档最高电费为元，而， 所以用电量超过180度。 假设用电量在第二档，将代入得，解得。 因为，假设成立， 所以该家庭本月实际用电量为200度， 答：这个家庭本月的实际用电量200度； （3）解：由题意得： 小强家的电费为（元）； 小华家的电费为（元）； 答：实付金额分别为60元、232元． 题型十四 双一次函数应用（共3小题） 51．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，的范围为， ∴整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得， 解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得， 解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的的取值范围是． 故选：B． 52．（25-26八年级上·河北保定·期末）实验小组为了解某品牌电动汽车进行了两组实验． 实验一：探究汽车行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系．数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程 剩余电量 实验二：探究汽车电池充电时，汽车充电量与充电时间（分钟）之间的关系．发现：与成正比例，且时，． (1)直接写出与之间的关系式：___________；并指出一次项系数的实际意义． (2)求与之间的关系式． (3)该车从地出发，前往地，已知相距千米．车在行驶了千米时，在服务区一次性充电若干时间后以原速度继续行驶．行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系如下图所示． ①图中___________； ②若要用最短时间到达目的地，且到达时剩余电量为，问要在服务区充电多长时间？ ③直接写出：汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程． 【答案】(1)；汽车每行驶，剩余电量减少 (2) (3)①；②分钟；③或 【详解】（1）解：设，代入和得 ， 解得， ∴与之间的关系式为， 故答案为：； 一次项系数的实际意义：汽车每行驶，剩余电量减少； （2）解：设，代入时，，得 ， 解得， ∴与之间的关系式为； （3）解：①把代入得 ， 故答案为：； ②从到，行驶里程为， 这段路程消耗的电量为：， 要使到达时剩余电量为，则充电后电量需为： ， 原有电量为，因此需要充入的电量为： ， 把代入，得 ， 解得， ∴要在服务区充电分钟； ③分两种情况讨论： 第一次出现汽车仪表盘显示的剩余电量为时： 把代入得 ， 解得， 即行驶的里程为时，汽车仪表盘显示的剩余电量为； 第二次出现汽车仪表盘显示的剩余电量为时： 充电后电量为，设从开始行驶后剩余，则： ， 解得， 总里程为， 即行驶的里程为时，汽车仪表盘显示的剩余电量为； 综上，汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程为或． 53．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在一个高为10分米的单杠上一只蚂蚁P以分米/秒的速度从单杠的一端A爬行到另一端（到达点C后停止爬行）．以1分米为1个单位长度，所在直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系．在地面上的点N处放置微型手电筒，发出的光线为射线：，且光线恰好经过点 (1)求单杠的长； (2)嘉嘉在点O处又放置了一个微型手电筒，发出的光线始终追踪蚂蚁 ①当蚂蚁爬到单杠的中点时，求光线所在直线的函数表达式； ②在①的基础上，当x的取值范围为______时，； ③若当蚂蚁从点A处开始爬行时计时，求两光线与有交点的时长． 【答案】(1)20分米 (2)①；②；③30秒． 【详解】（1）解：设， 将代入， 得， 解得， 单杠的长为20分米． （2）解：①，， ， 把代入， 得， 解得， 光线所在直线的函数表达式为 ②当时，解得 故答案为： ③设当时，， 将代入， 得， 解得， 根据图象，当时两光线与有交点， （秒）， 答：两光线与有交点的时长为30秒． 题型十五 一次函数几何综合应用（共4小题） 54．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)；； (2)存在，或 【详解】（1）解：点在直线上， ， ∴， 把点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ， 直线与平行， 设直线的解析式为， 又直线过点， ∴， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）存在； 联立，解得， ． ， ∴点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍， 或， 把代入，得； 把代入，得； 或． 55．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为. (2)14 (3)存在点P，点P的坐标为或； (4)或． 【详解】（1）解：∵正比例函数与一次函数的图象相交于点， ∴，， 解得：，， ∴正比例函数表达式为； 一次函数表达式为. （2）∵轴，， ∴把分别代入和中， 得：，， ∵. 又∵， ∴. （3）假设存在，设点P的坐标为， ∵为直角三角形， ∴分AO是直角边和AO是斜边两种情况 ∵ ∴ ①当是斜边时，有 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， ∴点； ②当直角边时，利用勾股定理可得 ∵ ∴在中， 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， 所以，. 综上，存在点P，点P的坐标为或； （4）设点，则， 如图，当时， ， 解得， ∴； 如图，当时， ∴ 解得， ∴； 故答案为：或． 56．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 【答案】(1)，，直线的解析式为：； (2) (3)见详解 【详解】（1）解：直线与轴及直线分别交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：在直线：中，当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为，与点不同， ∴，即． 57．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵直线过点P， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为．    （2）解：∵动点恒在直线上， ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴， ∴直线l的解析式为． 令， 则， ∴点P的坐标为． （3）m的取值范围为． 解法提示： 根据题意可得，直线的解析式为， 则直线与x轴所夹锐角为．如解图， 当点Q运动到点A时， 记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，A与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， ∴点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入， 得， 解得； 当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，B与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， 点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入，得， 解得． 综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意， 故满足条件的m的取值范围是． 题型十六 一次函数规律探索（共3小题） 58．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 【答案】 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 59．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为____，此时直线，与x轴围成的三角形的面积_____；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则_____． 【答案】 1 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：；1；． 60．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是________，的纵坐标是________．    【答案】 又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 所以得直线和的直线方程分别为： ， ， 即， 解得： ， ∴点，． 将代入得点的纵坐标是， 将代入得点的纵坐标是， 故答案为：， $专题03 一次函数 题型1 一次函数与正比例函数定义 题型9 一次函数与一元一次不等式的关系 题型2 求一次函数自变量和函数值 题型10 分配方案问题 题型3 列一次函数解析式并求值（常考点） 题型11 最大利润问题 题型4 判断一次函数图像（常考点） 题型12 行程问题 题型5 利用一次函数图像性质求参数（重点） 题型13 梯度计价问题 题型6 一次函数图像的平移（难点） 题型14 双一次函数应用（重点） 题型7 待定系数法求一次函数解析式（常考点） 题型15 一次函数几何综合应用（难点） 题型8 一次函数与二元一次方程组的关系（常考点） 题型16 一次函数规律探索（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数与正比例函数定义（共3小题） 1．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（    ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 8.9 8 8 8 10 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 7 9 9 10 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1 5 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 2 4 6 8 10 … 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 题型二 求一次函数自变量和函数值（共4小题） 4．点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．13 B．1 C．5 D． 5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 6．若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 7．若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为______． 题型三 列一次函数解析式并求值（共3小题） 8．已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 9．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 10．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 题型四 判断一次函数图像（共5小题） 11.正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 12.（22-23八年级下·河北石家庄·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式所对应的图象是（  ）      A．   B．   C．   D．   13．（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·河北邢台·开学考试）为丰富校园文化，某校开展形式多样的课后活动．一天，初中三个年级共40人，参加室内篮球活动，其中七年级的人数比八年级人数的3倍多2．设八年级参加活动的有人，九年级参加活动的有人，选取7组数对在坐标系中描点，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图，该直线是某个一次函数的图像，这个一次函数可能是（    ） A． B． C． D． 题型五 利用一次函数图像性质求参数（共3小题） 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）关于一次函数，下列表述不正确的是（   ） A．把一次函数图象向下平移3个单位长度，可得到函数； B．函数图象经过一、二、四象限； C．图象与两坐标轴围成的三角形面积为9； D．函数随增大而减小． 17．（24-25八年级下·河北唐山·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 18．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 题型六 一次函数图像的平移（共6小题） 19．（22-23八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，对于直线l，下列判断正确的是（    ） A．点在直线l上 B．直线l不经过第四象限 C．直线l与轴交于点 D．当时，的最大值为 20．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．函数的图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象经过第三象限 D．函数的图象与x轴的交点坐标是 21.（24-25八年级下·河北唐山·月考）直线向下平移4个单位长度后与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 22.将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 23．（24-25八年级上·河北保定·期末）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 24．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 题型七 待定系数法求一次函数解析式（共3小题） 25.（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 26．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）为备战马拉松的健康跑，亮亮每天进行跑步训练，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 2 4 6 10 (1)在这个变化过程中，___________（填“是”或“不是”）的函数； (2)上表中的___________；___________； (3)根据表中的数据，求与的关系式． 27．（24-25八年级下·河北沧州·月考）将正比例函数经过平移得到一次函数的图象，且一次函数经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在函数的图象上，求值． 题型八 一次函数与二元一次方程组的关系（共5小题） 28．如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 29．已知直线与的交点坐标为，则的值为________． 30．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 31．如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点，直线与交于点P，且、与y轴分别交于点A，B． (1)求直线的函数表达式； (2)求点P的坐标； (3)直接写出的面积． 32．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点，其中点C为直线与y轴的交点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． 题型九 一次函数与一元一次不等式的关系（共5小题） 33．如图，已知直线与的交点的横坐标为，若，则x的取值可能是（    ） A．0 B．3 C． D． 34．如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 35．如图，直线与直线交于点，下列结论错误的是（    ） A．， B．关于的方程的解为 C．关于的不等式的解集为 D．直线上有两点，，若时，则 36．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得的解集是________． 37．如图，已知直线经过点，，交y轴于点D． (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型十 分配方案问题（共3小题） 38．（2026·河北邯郸·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． (1)用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 (2)求总费用y的最大值； (3)在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 39.某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元 (1)求与的函数关系式 (2)某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？ (3)若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 40．（2025·河北·模拟预测）如图，小区计划在1号楼、2号楼和3号楼之间安装一个饮水机，方便住户打水，三栋楼的位置如图所示，经调查，1号楼每天有20户打水，2号楼每天有50户打水，3号楼每天有a户打水，设饮水机距1号楼x米，当将饮水机建在1号楼和2号楼之间时，所有需要打水的住户到饮水机的总距离（米）与（米）之间满足的关系式为． (1)求a的值； (2)当饮水机在1号楼和3号楼之间时，若要每天所有去打水的住户到饮水机的距离总和最小，通过计算说明饮水机所安装的位置． 题型十一 最大利润问题（共3小题） 41．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 42．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 43．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）项目化学习：大名草编手工艺是大名县卫河以东地区的传统手工艺品，多表现花鸟虫鱼等，有实用价值和艺术价值．某学习小组以“大名草编利润”为主题开展项目化学习． 市场调查：小组成员了解到，某草编产品每个售价为20元，销售收入（元）与销售量（个）成正比例关系，投入的成本（元）（人工、物流、材料等）与销售量（个）的函数图象如图所示． 模型建立：（1）求与的函数关系式； 解决问题：（2）求利润（元）（利润销售收入成本）与销售量（个）之间的函数关系式，并在图2中画出函数所对应的图象； （3）当与相差不超过100时，则称该草编产品实现微利润，直接写出此时销售量的取值范围． 题型十二 行程问题（共4小题） 44．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 45．（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 46．（24-25八年级下·河北衡水·月考）甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（      ） A． B． C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为 47．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）“五一”期间，小刚和父母一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，已知汽车每千米的耗油量为升． (1)写出行驶路程千米与剩余油量升的关系式； (2)当千米时，求剩余油量Q的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 题型十三 梯度计价问题（共3小题） 48．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 49．（24-25八年级下·河北唐山·月考）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 50．（25-26八年级上·河北保定·期中）为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 题型十四 双一次函数应用（共3小题） 51．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点，均位于直线上．声波从发射源点处发出，传播轨迹为，该轨迹与线段相交，将段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级上·河北保定·期末）实验小组为了解某品牌电动汽车进行了两组实验． 实验一：探究汽车行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系．数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程 剩余电量 实验二：探究汽车电池充电时，汽车充电量与充电时间（分钟）之间的关系．发现：与成正比例，且时，． (1)直接写出与之间的关系式：___________；并指出一次项系数的实际意义． (2)求与之间的关系式． (3)该车从地出发，前往地，已知相距千米．车在行驶了千米时，在服务区一次性充电若干时间后以原速度继续行驶．行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系如下图所示． ①图中___________； ②若要用最短时间到达目的地，且到达时剩余电量为，问要在服务区充电多长时间？ ③直接写出：汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程． 53．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在一个高为10分米的单杠上一只蚂蚁P以分米/秒的速度从单杠的一端A爬行到另一端（到达点C后停止爬行）．以1分米为1个单位长度，所在直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系．在地面上的点N处放置微型手电筒，发出的光线为射线：，且光线恰好经过点 (1)求单杠的长； (2)嘉嘉在点O处又放置了一个微型手电筒，发出的光线始终追踪蚂蚁 ①当蚂蚁爬到单杠的中点时，求光线所在直线的函数表达式； ②在①的基础上，当x的取值范围为______时，； ③若当蚂蚁从点A处开始爬行时计时，求两光线与有交点的时长． 题型十五 一次函数几何综合应用（共4小题） 54．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 55．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 56．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 57．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 题型十六 一次函数规律探索（共3小题） 58．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 59．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为____，此时直线，与x轴围成的三角形的面积_____；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则_____． 60．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是________，的纵坐标是________．    $