2.3.2平行线性质与判定的综合运用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册 第二章相交线与平行线 2.3.2平行线性质与判定的综合运用 1.进一步掌握平行线的判定与性质，并能运用它 们进行推理证明. 2.能熟练运用平行线的判定与性质解决问题. 2026年3月8日星期日11时40分50秒 学习目标 同位角相等 判定 内错角相等 同旁内角互补 2026年3月8日星期日11时403 思考：平行线的判定与性质之间的关系. 两条直线平行 性质 D 150° 150° A B C 2026年3月8日星期日11时40分 问题 如图，一辆汽车沿AB 方向行驶，在C 处拐了一个弯，行驶 段时间到D 处又一次改变方向，此时车子与原来的方向是否一 致? 图形 已知 结果 依据 同位 角 a//b ∠1=∠2 两直线平行， 同位角相等 内错 角 a//b ∠3=∠2 两直线平行， 内错角相等 同旁 内角 a//b ∠2+∠4=180° 2026年3月 问题2 完成下表中平行线性质的填空. 两直线平行， 同旁内角互补 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 例1 根据如图所示回答下列问题： (1)若∠1=∠2,可以判定哪两条直线平行?依据 是什么? 解：∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2, A 根据“内错角相等，两直线平行”, 可得 BF//CE; B F 3 2 1 E D 2026年3月8日星期日11时40分52秒 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 (2)若∠2=∠M, 可以判定哪两条直线平行?依据是 什么? ∠2与∠M 是同位角，若∠2=∠M, 根据“同位角相等，两直线平行”,可得AM//BF; (3)若∠2+∠3=180°,可以判定哪两条直线平行? 依据是什么? M ∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180° 根据“同旁内角互补，两直线平行” 2026年3月8日星期日11时40D 可 得AC7/ MD B 3 F 工 2 AB 平行吗?说说你的理由. 解：平行，理由：因为∠1=∠2, 根据“内错角相等，两直线平行”, 所以 EF//CD. 而 AB//CD, A B 因为“平行于同一条直线的两条直线平行” , 所以 EF//AB. 2026年3月8日星期日11时40分52秒 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 例2 如 图 ，AB//CD, 如果∠1=∠2,那么EF 与 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 例3 如图，已知直线a//b, 直线 c//d,∠1=107°, 求∠2,∠3的度数 . 解：因为a//b 根据“两直线平行，内错角相等”, 所以∠2=∠1=107° . 因为c//d, 根据“两直线平行，同旁内角互补”, 所以∠1+∠3=180°,所以∠3=73° . 2026年3月8日星期日11时40分52秒 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 【练一练 1】(1)如图1,若AB//DE,AC//DF, 试说明∠A=∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解：因为AB//DE ( 已 知), 所以∠A= ∠CPE ( 两直线平行，同位角相等). 因为AC//DF (已知), D 所以∠D= ∠CPE ( 两直线平行，同位角相等 A' 所以∠ A=∠D ( 等量代换 ). 图 1 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 (2)如图2,若 AB//DE,AC//DF, 试说明∠ A+ ∠D= 180° .请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解：因为AB//DE ( 已 知), 所以∠A= ∠CPD ( 两直线平行，同位角相等). 因为A C//DF ( 已 知), 所以∠ D+ ∠CPD=180° (两直线平行，同旁内角互补). 所以∠A+LD=180° ( 等量代换) 2026年3月8日星期 0分53秒 时 2 日11 图 2.如图，∠1+∠2=180°,∠4=35°,则∠3等于 35 °. A D 总结 角之间的关系 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 性质 →角之间的关系 乙 B 平行 判定 C E 因为 BE 平分∠ABC,CF 平分∠BCD (已知), 所以∠2=∠ABC,∠1=∠BCD (角平分线的定义), 所以∠2=∠1.所以BE//CF (内错角相等，两直线平行 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 3.如图，AB//CD,BE 平分∠ ABC,CF 平分∠ BCD, 你能发现 BE 和 CF 有何位置关系吗?说说你的理由. 解：BE//CF. 理由如下：因为AB//CD (已知), 所以∠ ABC=∠BCD (两直线平行，内错角相等) . 判定 性质 两直线平行 直线的位置关系 判定：证平行，用判定. 性质：知平行，用性质. 2026年3月8日星期日11时40分 归纳总结 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 角的数量关系 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 角的数量关系 探究点一：平行线的性质与判定的综合应用 探究点二：平行线的性质与判定的“拐点”问题 例4 如 图 ，AB//CD,∠A=100°,∠C=110°, A 求 ∠AEC 的度数.请补全下列解答过程. 解：过点E 向右作 EF//AB. E ∵AB//CD (已知), ∴ CD // EF .(平行于同一直线的两直线平行). ∴∠A+∠ 1 =180°, ∠C+∠ 2 =180°,(两直线平行，同旁内角互补). 又∵∠A=100°,∠C=110° (已知), ∴ 1=80 °, 2 =70 °. ∴∠AEC=∠1+∠2=80°+ 70° 150° . ,∠ABC=35°, 求∠ CDE 的度数. 解：过点E 作 EK//CD. ∵AB//CD, ∴EK//CD//AB, E ∴∠CDE+∠DEK=180°, ∠BAE+∠AEK=180°,∠ABC+∠DCB=180°. ∵∠BAE=∠BCD, ∴∠AEK=∠ABC=35°. ∵AE⊥DE, ∴∠DEK=90°-35°=55°. ∴ ∠CDE=125°. 2026年3月8日星期日11时40 探究点二：平行线的性质与判定的“拐点”问题 变式训练 如图，AB//CD, ∠BAE=∠BCD,AE⊥DE 探究点二：平行线的性质与判定的“拐点”问题 【练一练 4 .如图，∠1=∠2,∠E=∠F, 判断AB 与 CD 的 位置关系，说明理由. 分 析 ： A B 与两条直线相截 的第三条直线 延长BE 交 DC 的延长 线于M 先证 BM//FC E F M 2026年3月8日星期日11时40分54秒 判断 AB//CD ∠M=∠1<∠M=∠2< 解：AB//C D , 理由如下： 如图，延长BE 交 DC 的延长 线于点M, ∵∠BEF=∠F, ∴BM//FC. ∴∠M=∠2. ∵∠1=∠2, ∴∠M=∠1. ∴AB//CD. 探究点二：平行线的性质与判定的“拐点”问题 2026年3月8日星期日11时40 随堂练习 1. 如图，过直线1外一点A 作直线l的平行线AB, 其直接依据是 ( B) A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 随堂练习 2. 如图，若∠1=∠3,则下列结论一定成立的是 ( C ) A. ∠1=∠4 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠2=180° D. ∠2+∠4=180° 随堂练习 3. 如图，已知a⊥c,b⊥c, 若∠1=116°, 则∠2等于 ( C ) A. 26° B . 32 C. 64° D.116° 4. 如图，点A,B,C 在一条直线上， ∠1=∠2, ∠EBC=50° , 则∠A= 50 °. D 2 B 第4题图 a b E 随堂练习 5.一大门的栏杆如图所示， BA 垂直于地面AE, 垂 足为A,CD 平行于地面AE, 若∠ABC=115°, 则∠BCD 的度数为 155 ° 随堂练习 6. 如图，一条直线分别与直线BE,CE, CF,BF 相交于点A,G,D,H, 且∠1=∠2,∠ B= C. 请问AB//C D 吗?试说明理由. 解：AB//CD . 理由如下： ∵∠1=∠2, ..CE//FB. . ∠C=∠BFD. ∵∠B=∠C, ∴∠B=∠BFD. AB//CD. A E B G 2 H F D 随堂练习 7. 如图，点D,E,F 分别是三角形ABC的边BC , CA,AB 上的点，且DF//AC,∠1+∠2=180°. (1)试说明： DE//AB; 解：∵DF//AC , . ∠1+∠A=180° . F E 2 ∵∠1+∠2=180°, . ∠A=∠2. .DE//AB. D B 随堂练习 ( 2 ) 若 ∠ 1 = 1 0 0°, DF 平分∠BDE, 求∠C的 度数 . 解：∵DE//AB,∠1=100°, A . ∠EDF=80° . F E ∵DF平分∠ BDE, B D . ∠BDF=∠EDF=80° . ∵DF//AC, ∴∠C=∠BDF=80° . 2 随堂练习 【拓展提升】如图，AB//CD, 试解决下列问题： ( 1 ) 如 图 1 , ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ( 2 ) 如 图 2 , ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360° ; (3) 如图3,∠1+∠2+∠3+∠4= 540° , (4) 如图4,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ … 十∠n 二 180°×(n-1) . ■ ( 知识点平行线的性质与判定的综合 1.如 图 ， 直 线l₁ 和 l₂ 被 直 线l₃ 和 l₄ 所 截 ， ∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为 B A.75°) B.105° C.115° D.130° (第1题) 2026年3月8日星期日11时40357 2.如图，若∠A+∠ ABC =180°, 则下列结论 正确的是( A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1=∠3 D. ∠2=∠4 中考考法 3.如 图 ，AD⊥BC,DE//AB, 则∠CDE 与∠BAD A 的关系是( A.互为余角 B.互为补角 C.相等 D.不能确定 中考考法 新趋势跨学科综合[扬州中考]如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD 经过凸透镜折射后，折射光线BE,DF 交于主光轴上一点G, 若 C 则CEGF 的度数是( ) G F D E (第4题) C.80° ∠ABE=130°,∠CDF=A5Q°, P. A.60° B.70° 5.把下面的说理过程补充完整： 已知：如图，∠1+∠2=180°,∠C=∠D。 诫说関为 E·180° ( 已 知 ) , rN CE, 同旁内角互补，两直线平行 所以BD// . ( )。 因为∠C=∠D 所以∠D=∠ A包 知 )等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 2026年3月8日星期日11时40358秒 两直线平行，同位角相等 所以∠C=∠ABD( )。 6. (4分)[江西中考]如图，已知点C在AE 上 说明：AE//DF。 解：因为AB//CD, 所以∠1=∠ACD。 因为∠1=∠2,所以∠2=∠ACD, 所以 AE//DF。 , A??//CD,∠1=∠2。 试 2026年3月8日星期日11时40365 中考考法 7 . (4分) 情境题 生活应用 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡 导大家使用共享单车。图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图， 图②是其示意图，其中AB,CD 都与地面l平行，∠BCD=55 °, E ∠BAC=52° 。 当∠MAC缘于多少度时 AM 与BC平行? M ① 2026年3月8日星期日11时4033 因为∠BCD=55°,∠BAC=52°, 所以∠ACB=73° 。 所以当 ∠MAC=∠ACB=73° 时，AM//BC。 2026年3月8日星期日11时40365 解：因为AB//l,CD//l , 所以AB//CD, 所以∠BAC+∠ACD=18 0°, 即∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°。 B 确的是( ) A. ∠3=∠1+∠2 B. ∠2+∠3-∠1=180° A C. ∠3=∠2+2∠1 D. ∠1+∠2+∠3=180° 2026年3月8日星期日11时403 5 8.如图，这是一款手推车的平面示意图，其中AB//CD, 则下列结论正 中考考法 9.如图，直线a//b, 指定位置的三条射线c,d,e 满足 ∠1+∠2=180°,d//e。 有以下两个结论：① c与d 一定共线； ②c//e 。 其中正确的结论是 4填序号)。 C d e 2026年3月8日星期日11时40339和 解 ：直线AB与CD的位置关系是AB//CD。 理由如下：因为AE⊥BC,FG⊥BC, 所以易得AE//FG, 所以∠2=∠A。 因为∠1=∠2,所以∠A=∠1, 10. (8分)如图，已知AE⊥BC,FG⊥BC, ∠1=∠2。 ( 1 ) 直 线AB 与CD 有怎样的位置关系?请说明 理 由 ； 2026年3月8日星期日11时43利 中考考法 (2)若∠D=∠3+60°,∠CBD=∠D-15°, 求∠C 的度数。 解：由(1)知A??//CD, 所以∠C=∠3,∠ABD+∠D=180°。 因为∠D=∠3+60°, 所以∠CBD=∠D-15°=∠3+60°-15°=∠3+45°, ∠ABD=∠3+∠3+45°= 2∠3+45° , 所以2∠3+45°+∠3+60°=180°, 所以 2026年3月8日星期日11时40利 入射 光中反射光线n与 垂EE 所夹的锐角θ₁=θ 。 =”); m θ₂ 2 A F B ① 2026年3月8日星期日11时43利 n 8₁ 11. (8分) 新趋势跨学科综合 如图①展示了光线反射定律，EF 是镜面 AB 的垂线。一束光线m 射到平面镜AB 上，被AB 反射后的光线为n, 则 (2)图②是潜望镜工作原理示意图， AB,CD 是两面平面镜，且 AB//CD, 请解释进入潜望镜的光线m 为什么和离开潜望镜的光线n是 群行囱为AB//C D, 所以∠2=∠3。 因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1=∠2=∠3=∠4,所以 180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4, 即∠5=∠6 , 所 以m //n 。 2026年3月8日星期日11时4 利 同位角 相等 内错角 相等 同旁内角 互补 求角的度数， 说明角相等或 互补 性质 判定 两直线平行 课堂小结 应用 $