1.3.4完全平方公式的运用课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册 第一章整式的乘除 1.3.4完全平方公式的运用 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单 计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观 ,培养数形结合思想. 2026年3月8日星期日11时42分20秒 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平 学习目标 方公式. 前面我们学习了完全平方公式： (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 复习导入 (1)102²; 解：原式=(100+2)² =100²—2×100×2+2² =10000+400+4 =10404. (2)197². 解：原式=(200—3)² =200²—2×200×3+ 3²40000 —1200+9 =38809. 思考 怎样计算102²,197²更简便呢? 探究点：完全平方公式的运用 2026年3月8日星期日11时42分21秒 探究点：完全平方公式的运用 例 1运用乘法公式计算：(1)x+2y-3x-2y+3); 平方差公式 a < 同号 异号 整体 解：原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x²-(2y-3)²=x²-(4y²-12y+9) =x²-4y²+12y-9. 方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方 法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. (2)(a+b+c)² . → 都同号 完全平方公式 解：原式=[(a+b)+c]² =(a+b)²+2(a+b)c+c² =a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac. 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全 平方公式进行计算. 探究点：完全平方公式的运用 2026年3月8日星期日11时42分21秒 探究点：完全平方公式的运用 例2 计算： (1)(x+3)²-x²; 解：原式= x²+6x+9-x² 还有其他的 方法吗? =6x+9 或原式=;(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)×3 = 6x+9; 2026年3月8日星期日11时42分21秒 =a²+2ab+b²-9; (3)(x+5)²-(x-2)(x-3). 解 ： ( 3 ) 原 式 =x²+10x+25-(x²-5x+6) =x²+10x+25-x²+5x-6 =15x+19. 2026年3月8日星期日11时42分22秒 探究点：完全平方公式的运用 (2)(a+b+3)(a+b-3); 解 ： ( 2 ) 原 式 = [(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)²-3² 探究点：完全平方公式的运用 【练一练 1. 化简： (x—2y)(x²—4y²)(x+2y). 解：原式=(x—2y)(x+2y)(x²—4y²) =(x²—4y²)² =x⁴—8x²y²+16y⁴. 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. 2026年3月8日星期日11时42分22秒 探究点：完全平方公式的运用 2. 已知a+b=7,ab=10, 求 a²+b²,(a—b)² 的值. 解：因为a+b=7, 所以(a+b)²=49. 所以 a²+b²=(a+b)²—2ab=49-2×10=29, (a—b)²=a²+b²—2ab=29-2×10=9. 2026年3月8日星期日11时42分22秒 探究点：完全平方公式的运用 【观察 · 思考】 观察下图，你认为(m+n)×(m+n) 点阵中的点数 与 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和一样多吗?请 用所学的公式解释自己的结论。 (m+n)²—m²—n² =m²+2mn+n² 所以(m+n)×(m+n) 点阵中 的点数比 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和多2mn ● ● 1×1 2×2 3×3 ● ● ●● 探究点：完全平方公式的运用 【练一练】3.有这样一道题，计算： 2(x+y)(x—y)+[(x+y)²—xy]+[(x-y)²+xy] 的值， 其中x=2006,y=200 7; 某同学把“y=2007” 错抄 “y=2070” 但他的计算结果是正确的，请回答这是 怎么回事?试说明理由. 解：原式=2x²—2y²+(x²+y²+2xy—xy) 十(x²+y²—2xy+xy) =2x²-2y²+x²+y²+xy+x²+y²—xy =2x²—2y²+2x²+2y²=4x² . 答案与y 无关. 2026年3月8日星期日11时4 综合运算 实际应用：运用完全平方公式进行推理 计算数的平方：根据数的 特点，将其变形为(a+b)² 或(a-b)²再进行计算 课堂小结 完全平 方公式 简便计算 随堂练习 1. 已知α²+β²=1, (a+β)²=2, 则aβ 的值为( A) A. B. 2 C .1 D. 2. 已知a—b=3,ab=2, 则a²+b² 的值为( A ) A. 1 3 B.7 C . 5 D. 11 随堂练习 3.计算1016²-2032×1018+1018²等于[提示：完全 平方公式的逆用]( B ) A. 2 B .4 C.6 D. 8 4.运用完全平方公式计算： (1)10.1²=( 1 0 十 0.1 )²= 102.01; (2198²=( 200 一 2)²= 39204 5.如图，某广场有一块边长为(a+b) 的正方形草 坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a—b) 的正方形 水池，则剩余草坪的面积为 4 ab a+b 随堂练习 随堂练习 6.计算： (1)501²; 解：原式=(500+1)²=500²+2×500×1+1² =250000+1000+1=251001. (2)(x一y+4)(x+y+4). 解：原式=[(x+4) 一y][(x+4)+y]=(x+4)²-y² =x²+8x+16—y² . 1. 用简便方法计算9.52,下列变形正确的是( A) A.9.5²=10²-2×10×0.5+0.52 B.9.5²=(10+0.5)(10-0.5) C.9.5²=92+0.52 D.9.5²=92+9×0.5+0.52 2026年3月8日星期日11时43 5 人 2. 如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形 拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每 个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成 的长方形瓷砖.已知图①和图②中灰色图形的面积分 b 别为35和102,则每个白色 长方形的面积为 8 · 8月8日星期日11时42426积 ① ,所以ab=8, 所以每个白色长方形的面积为8. 2026年3月8日星期日11时42326 【点拨】由题图①可得(a+b)²-4ab=35, 即a²+ b²=2ab+35①, 由题图②可得(2a+b)(a+2b)- 5ab=102, 即a²+b²=51②, 由①②得2ab+35=51 中考考法 3. 利用简便方法计算： (1)499.92; 【解】499.9²=(500-0.1)²=500²-2×500×0.1+0.1²= 250000-100+0.01=249900.01. 2026年3月8日星期日11时42326积 (2 (3)2026²-4050×2026+20252; 【解】2026²-4050×2026+2025²=2026²-2× 2025×2026+2025²=(2026-2025)²=1²=1. 2026年3月8日星期日11时42326 中考考法 4. 先化简，再求值：(2x-3y)²-(2x+y)(2x -y),其 中x= - 当 ,y=1 时 ， 10 =12. 【解】原式=4x²-12xy+9y²-4x²+y²=-12xy+10y², 2026年3月8日星期日11时42326 5. 计算： (1)(3x-1)²-(2x+5)²; 【解】(3x-1)²-(2x+5)²=9x²-6x+1-(4x²+20x+ 25)=9x²-6x+1-4x²-20x-25=5x²-26x -24. (2)(m+n)²(m-n)²; (m+n)²(m-n)²=[(m+n)(m-n)]²=(m²-n²)²= m⁴ -2m²n²+n⁴. 2026年3月8日星期日11时423 (3)2(a+3)²-4(a+3)(a-3)+3(a-2)² . 【解】2(a+3)²-4(a+3)(a-3)+3(a-2)²=2(a²+6a+ 9)-4(a²-9)+3(a²-4a+4)=2a²+12a+18-4a²+36+ 2026年3月8日星期日11时43文 3a²-12a+12=a²+66. $