第2周 周末限时测(第1章 1.3)-【单元金卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第二周 周未限时测 单元金卷 数学8年级-下册 【第-章1.3】 考点直角三角形 时间：35分钟分值：51分 7.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的 1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，则∠A的度数为 边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠BAC= ( ) A.25° B.75° C.55° D.65° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则BC 的长度为 () A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全 第7题图 第8题图 等的条件是 ( 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上， DE⊥AB于点E,DC=DE,∠A=34°，则∠BDC的 度数为 B 9.9月22日是“中国农民丰收节”.如图1，小彬用 A.AC=A'C',BC=B'C' B.∠A=∠A',AB=A'B1 3D打印机制作了一个底面周长为20cm,高为 C.AC=A'C',AB=A'B' l0cm的圆柱粮仓模型.示意图如图2，BC是底 D.∠B=∠B',BC=B'C 面直径，AB是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩 4.如图，以等边△ABC的边BC的中点O为坐标原 色装饰带，使装饰带经过A,C两点（接头不计）， 点建立平面直角坐标系，已知C(1,0),则点A 则装饰带的长度最短为 cm 的坐标为 ( A.(3,0) B.(0,3) C.(5,0) D.(0,5) y 图2 B P 第9题图 第10题图 10.(成都期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 B OC x AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射 第4题图 第5题图 线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为 5.(平顶山期末)如图，在△ABC中，AB=1,BC=2, t秒，当t= 时，△ABP为直角三角形. AC=√5，AD是BC边上的中线，则AD的长度为 11.(5分)如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90 ( AB=2,CD=1,求BC和AD的长 A.1 B.2 D./2 6.如图，在△ABC中，AB=5,BC=6,BC边上的中 线AD=4,则∠ADC= 12.(8分)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB 考点命题与定理 时间：10分钟分值：14分 于点D, 14.下列命题的逆命题是假命题的是 () (1)求证：∠ACD=∠B; A.等腰三角形的两底角相等 (2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E, B.直角三角形的两锐角互余 F,求证：∠CEF=∠CFE. C经过旋转得到的两个三角形全等 D.两直线平行，同位角相等 15.写出命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的 逆命题： 16.(8分)如图1，将两个含30°角的三角尺摆放在 一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我 们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 交换命题的条件和结论，得到下面的命题： 如图2，在直角△ABC中，∠ACB=90°，如果 CB= 2AB,那么∠BAC=30.请判断此命题的 真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题， 13.(8分)（信阳期末）随着“双碳”目标的提出，为 请说明理由 了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、 推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和 “碳中和”目标具有重要意义.如图，某社区新 建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC 分别为两侧充电线伸出后的最长距离， 图1 图2 已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D,AC= 20,BC=15,CD=12. 求证：△ABC是直角三角形， 易错专练 17.Rt△ABC的两边长分别是3和4，若一个正方 形的边长是△ABC的第三边的长，则这个正方 形的面积是 () A.25 B.7 C.12 D.25或7.∠ABC=2∠ABD=70° ∴.∠C=180°-∠A-∠ABC=50°， .∠C的度数是50°. 4.A5.B6.C7.18°8.2409.2010.120 11.(1)65 （2)解：BE∥AD,.∠ABE+∠A=180° .·∠ABE=180°-∠A=180°-150°=30°， ,∠ABC的平分线BE交DC于点E, ..∠ABC=60°. ∴.∠C=360°-（∠A+∠D+∠ABC)=360°-(150°+ 80°+60°)=70° (3)①，在四边形ABCD中，∠A=150°， ∠D=80° ∴.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=360°- (150°+80°)=130° ·∠ABC和LBCD的平分线交于点P, ·LPBC= 2∠ABC,LPCB=2∠DCB, 六∠PBC+LPCB=2(LABC+LBCD)=65, .∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115° ②LP=LA+LB+LE 90° 2 12.C13.D14.A15.D16.417.30 18.①②③【解析】：DE∥BC,∴.∠DFB=∠FBC, ∠EFC=∠FCB.:BF是∠ABC的平分线，CF是 LACB的平分线，∴.∠FBC=∠FBD,LFCE= ∠FCB,.∴.∠FBD=∠DFB,∠EFC=∠FCE, .△BDF,△CEF都是等腰三角形，∴.DF=BD, FE=EC,∴.DE=DF+FE=DB+EC,.△ADE的周 长为AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.根据 已知，无法得出BF=CF.综上所述，结论①②③ 正确. 19.(1)证明：.AB=AC,.∠B=∠C. DE⊥BC,∴.∠DEC=∠DEB=90° ∴.∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90° .∠D=∠BFE. :∠BFE=∠AFD,∴.∠D=∠AFD,.AD=AF, .△ADF是等腰三角形. (2)解：过点A作AG⊥DE,垂足为G :F为AB的中点，AF=BF=)AB. ·.·∠AGF=∠BEF=90°，∠AFG=∠BFE, .△AFG≌△BFE, .∴.GF=EF=4. .·AD=AF,AG⊥DF .∴.DF=2GF=8. 20.B 21.证明：假设∠B,∠C都不是锐角，即∠B,∠C为直 角或钝角， .·AB=AC,.∠B=∠C 当∠B,∠C都是直角时，∠B+∠C=180°， 这与三角形内角和定理相矛盾，故不成立； 当∠B,∠C都是钝角时，∠B+∠C>180° 这与三角形内角和定理相矛盾，故不成立 综上所述，假设不成立，故∠B,∠C必为锐角. 22.A23.D24.625.2 26.证明：连接BD. ,△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=60°. D为AC的中点， .∠DBC=∠ABD= 2∠ABC=300 又.·EF⊥AB, .∴.∠BFE=90°， .∠E=90°-∠ABC=30°， .∠DBC=∠E, ∴.DE=BD .·∠BFE=90°，∠FBD=30°， ∴.BD=2DF,即DE=2DF. 27.50°或130° 第二周周末限时测 1.D2.B3.C4.B5.D6.90°7.908.62° 9.20√2 102或装 【解析】在Rt△ABC中，BC=√AB-AC= 4cm.由题意知，BP=2tcm.分两种情况：①当∠APB 为直角时，如图1.点P与点C重合，BP=BC=4cm, 得2t=4,解得t=2;②当∠BAP为直角时，如图2.CP =(2t-4)cm,AC=3cm,在Rt△ACP中，AP2=32+(2t- 4)2,在RL△BAP中，AB2+AP2=BP2,得52+[32+(2L- 25 25 4)2]=4,解得=8故当=2或t=8时，△ABP为 8 直角三角形 B C(P) 图1 图2 11.解：延长AD与BC,两延长线交于点E,如图所示. .:∠B=∠CDE=90°，∠A=60°， ..∠E=30° 在Rt△CDE中，CD=1,∴.CE=2CD=2, 根据勾股定理，得DE=√CE-CD2=√3. 在Rt△ABE中，AB=2,∴.AE=2AB=4, 根据勾股定理，得BE=√AE2-AB=2√5， 则BC=BE-CE=2W3-2,AD=AE-DE=4-√3， D 3E 出方法指导》构造法：涉及含特殊角(30°，45°， 60°角)的三角形的有关计算，常作垂线构造直角三 角形，再利用勾股定理和直角三角形的性质解题 12.(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠ACD+∠BCD=90°，LB+∠BCD=90°， ∴.∠ACD=∠B. (2)解：在Rt△AFC中，∠CFE=90°-∠CAF, 在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE. 又：AF平分∠CAB,.∠CAF=∠DAE, ∴.∠AED=∠CFE. 又：∠CEF=∠AED,∴.∠CEF=∠CFE. 13.证明：：CD⊥AB, ..∠CDB=∠CDA=90 在Rt△CDB中， .BC=15,CD=12 ∴.BD=√BC2-CD2=√152-12=9. 在Rt△ACD中， AC=20,CD=12 .AD=√AC2-CD2=√/202-122=16， ∴.AB=AD+DB=16+9=25. 在△ABC中， AB=25,AC=20,BC=15, .AB2=252=625,AC2+BC2=202+152=625, ∴.AB2=AC2+BC2, .△ABC是直角三角形. 14.C 15.两边上的高线相等的三角形是等腰三角形 16.解：此命题是真命题！ 理由：如图，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD. .·∠ACB=90°，CD=BC ∴，AC是线段BD的垂直平分线，.AB=AD. CB-ZAB.CB-2BD..BD-AB. .△ABD是等边三角形，.∠BAD=60° .AC⊥BD,∴.∠BAC= -∠BAD=30°. 17.D 出易错警示此题易受“勾3股4弦5”的影响， 把Rt△ABC的未知边当成斜边而求得第三边的长 是5，得到的面积是25.在直角三角形中，已知两边 长求第三边，当已知的两边长没有说明是直角边 长还是斜边长时，要注意分类讨论. 第三周周末限时测 1.B2.D3.A4.C 5.A【解析】如图，连接BE交AD 于点P△ABC是等边三角形， D,E分别为BC,AC的中点，AD 垂直平分BC,BE垂直平分AC ..P'B=P'C,..P'E+P'C=P'E+ P'B=BE.由两，点之间线段最短 可知，点P在点P'时，PE+PC有 最小值，最小值为BE的长.：△ABC的面积为√3， 1 边长等于2,2×2×BE=3,心BE=5,即PE+ PC的最小值为√5.故选A. 6.6 7.证明：.FE平分∠AFB,EC⊥FA,ED⊥FB, .∴.∠DFE=∠CFE,EC=ED. ·.·∠FDE=∠FCE,FE=FE, .△FDE≌△FCE,.FD=FC 又.·EC=ED, ∴.FE是CD的垂直平分线 8.解：(1)DM,EN分别垂直平分AC和BC, .AM=CM,BN=CN. ∴.△CMW的周长=CM+MW+CN=AM+MW+BN=AB. △CMW的周长为15cm,∴.AB=15cm. (2).·∠MFN=70°， ∴.∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°， .·∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF ∴.∠AMD+∠BWE=∠WMF+∠MNF=110° ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°- 110°=70°. .AM=CM,BN=CN, ∴.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, ∴.∠MCN=180°-2（∠A+∠B)=180°-2×70°=40°. 9.A10.C 11.D【解析】.AD平分∠OAB,DB⊥AB,.∴.DB=OD= W3.,点B的横坐标为1，BC∥OA,.BC=1,∴.CD= W/(5)2-12=√2，.0C=0D+CD=√5+√2，∴.点C的 坐标是(0，√3+√2).故选D. 12.D13.4 14.9【解析】如图，作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F, ·AD平分∠BAC,∴.DE=DF .·AD将△ABC分为面积比 为3：5的两部分，.AB:AC= 3:5.△ABC的周长为41cm,边BC=17cm,.AB+ AC=24cm设AB=3xcm,则AC=5xcm,则3x+5x= 24,解得x=3,则AB=3x=9cm 15解：如图，点P即为所求. 16.证明：(1)如图，过点P作PD⊥BC于点D. ·.·BP是∠MBC的平分线，PM⊥AB,PD⊥BC, .PM=PD. ·CP是∠NCB的平分线，PD⊥BC,PN⊥AC, .PN=PD,∴.PM=PN (2).·PM⊥AB,PN⊥AC,PM=PN, .点P在∠MAN的平分线上， .AP平分∠MAN. 17.①② 第四周周末限时测 1.B2.C3.B4.D5.> 6.解：(1)①>②> (2)a2+2a-3=(a+1)2-4,当a>1时，(a+1)2-4> 0,即a2+2a-3>0. (3)(a2+5a-19)-(a+2)=a2+4a-21=(a+2)2-25, 当a>3时，(a+2)2-25>0,.a2+5a-19>a+2. 7.D8.C9.C10.B11.212.8<m≤10 13.解：去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≥6， 去括号，得4x-2-15x-3≥6， 移项，合并同类项，得-11x≥11. 系数化为1，得x≤-1. 不等式的解集在数轴上表示为 43210234士 14.C15.B 16.解：(1)设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型 车的售价为y万元. 依题意得3y18:解得28。 (y=26. 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的 售价为26万元. (2)设购进A型车m辆. 依题意，得18m+2x26≤150，解得m≤5号 m为整数，∴m的最大值是5. 答：A型车最多能购买5辆. 17.6【解析】设甲种运输车运输x吨，则乙种运输车 运输(46-x)吨根据题意，得5+≤10，解得x≥ 4 30,则。≥6，故甲种运输车至少需要安排6辆.